Для Вашей компании существуют 4 возможных направления инвестирования капитала в размере 200 тыс. условных единиц сроком на 1 год:
1. Облигации государственного займа, по которым гарантировано 7% дохода через год.
2. Облигации газовой компании с фиксированным доходом и сроком займа на 10 лет. Однако, Ваша компания продает облигации в конце 1-го года, т.е. процент будет известен в конце года (см. таблицу).
3. Проект А, предполагающий выплаты в конце года, которые будут зависеть от состояния экономики.
4. Проект В, аналогичный проекту А, но с другим распределением выплат.
Требуется оценить ожидаемый доход и риск для всех четырех вариантов и выбрать один из них. Информация о предполагаемых доходах содержится в таблице.
Таблица 1. Норма дохода, %
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
Облигации газовой компании
|
11
|
12,5
|
10,5
|
9,5
|
9
|
Проект А
|
-2
|
-1,5
|
11,5
|
13,5
|
18,5
|
Проект В
|
1
|
1
|
10,5
|
12,5
|
19
|
При выборе решения в качестве критериев риска используется показатель:
R = Hij
∙ p
где р – вероятность наступления рискового события.
Предпочтение отдается решению, имеющему наименьший средневзвешенный показатель риска, определяемый как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее им значение потерь:
Ri
=∑j=1
Hij
∙ pj
, (i=1,m)
Потери (Нij
) рассчитываются как разность между ожидаемым результатом действия при наличии точных данных обстановки и результатом, который может быть достигнут, если данные определены:
Нij (PiOj)
= maxj
aij
– aij
Определим для нашего задачи maxj
aij
.
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
Облигации газовой компании
|
11
|
12,5
|
10,5
|
9,5
|
9
|
Проект А
|
-2
|
-1,5
|
11,5
|
13,5
|
18,5
|
Проект В
|
1
|
1
|
10,5
|
12,5
|
19
|
max(aij)
|
11
|
12,5
|
11,5
|
13,5
|
19
|
Теперь определим величины потерь для каждого варианта инвестирования капитала и для каждого состояния экономики.
Величины потерь
|
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
4
|
5,5
|
4,5
|
6,5
|
12
|
Облигации газовой компании
|
0
|
0
|
1
|
4
|
10
|
Проект А
|
13
|
14
|
0
|
0
|
0,5
|
Проект В
|
10
|
11,5
|
1
|
1
|
0
|
Рассчитаем показатель риска для каждого варианта решения, воспользовавшись формулой: Ri
=∑j=1
Hij
∙ pj
, (i=1,m)
Величина риска
|
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
0,4
|
1,65
|
1,8
|
0,975
|
0,6
|
Облигации газовой компании
|
0
|
0
|
0,4
|
0,6
|
0,5
|
Проект А
|
1,3
|
4,2
|
0
|
0
|
0,025
|
Проект В
|
1
|
3,45
|
0,4
|
0,15
|
0
|
Общая величина риска при различных вариантах инвестирования:
Величина риска
|
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Общая величина риска
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
0,4
|
1,65
|
1,8
|
0,975
|
0,6
|
5,425
|
Облигации газовой компании
|
0
|
0
|
0,4
|
0,6
|
0,5
|
1,5
|
Проект А
|
1,3
|
4,2
|
0
|
0
|
0,025
|
5,525
|
Проект В
|
1
|
3,45
|
0,4
|
0,15
|
0
|
5
|
Таким образом, наименее рискованным является приобрести облигации газовой компании. Здесь подразумевается риск упущенной выгоды (потери).
Выбор того или иного решения зависит не только от целевых установок и ограничений, но и от склонности к риску лиц, принимающих данное решение.
Одним из классических критериев, учитывающих также и этот параметр, является критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица.
Данный критерий, как правило, используется, если требуется остановиться между стратегией (линией поведения) в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее.
В этом случае предпочтение отдается варианту решений, для которого окажется максимальный показатель Gi
, определенный по формуле:
Gi
= k ∙(minj
aij
) + (1-k)∙ (maxj
aij
)
где k – коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0≤k≤1), при этом k=0 – линия поведения в расчете на лучшее, при k=1 – в расчете на худшее; аij
– выигрыш, соответствующий i-му решению при j-м варианте обстановки. При k=1 критерий Гурвица ориентирован на осторожное поведение. При k=0 – ориентация на предельный риск, т.к. большой выигрыш, как правило, сопряжен с большим риском. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от обстановки и склонности к риску лица, принимающего решения.
Определим критерии Гурвица для различных вариантов решений и значений коэффициента k, для этого воспользовавшись вспомогательной таблицей, в которой мы определим максимальные и минимальные значения aij
.
Вариант инвестирования капитала
|
Состояние экономики и его вероятность
|
Спад
|
Застой
|
Неб. рост
|
Подъем
|
Бурн. рост
|
minj
aij
|
maxj
aij
|
0,1
|
0,3
|
0,4
|
0,15
|
0,05
|
Облигации государственного займа
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
Облигации газовой компании
|
11
|
12,5
|
10,5
|
9,5
|
9
|
9
|
12,5
|
Проект А
|
-2
|
-1,5
|
11,5
|
13,5
|
18,5
|
-2
|
18,5
|
Проект В
|
1
|
1
|
10,5
|
12,5
|
19
|
1
|
19
|
Определение оптимального решения с учетом критерия Гурвица
Варианты решений
|
Значение коэффициента Гурвица (k)
|
0
|
0,25
|
0,5
|
0,75
|
1
|
Р1
(облигации государственного займа)
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
Р2
(облигации газовой компании)
|
12,5
|
11,625
|
10,75
|
9,875
|
9
|
Р3
(проект А)
|
18,5
|
13,375
|
8,25
|
3,125
|
-2
|
Р4
(проект В)
|
19
|
14,5
|
10
|
5,5
|
1
|
Оптимальное решение
|
Р4
|
Р2
|
Р2
|
Р2
|
Р2
|
Из данных таблицы видно, что в условиях неопределенности лицо, ориентированное на любое поведение, кроме риска, выберет реализацию оптимального для него решения Р2
, и только лицо, ориентированное на предельный и близкий к предельному риск, предпочтет реализацию оптимального решения Р4
.
Выбором является решение P2.
Эксперты компании "ХМК" определили следующие показатели прибыли (тыс руб) в зависимости от вида стратегии и ситуации на рынке.
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Выпуск холодильников
|
57
|
61
|
65
|
Выпуск морозильников
|
95
|
22
|
53
|
Выпуск кондиционеров
|
73
|
55
|
77
|
1. Стратегия при благоприятной конъюнктуре.
Если известно, что конъюнктура благоприятна – значит, можно сделать оптимистический прогноз.
Воспользуемся критерием Гурвица.
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Среднее
|
Макс
|
Мин
|
Выпуск холодильников
|
57
|
61
|
65
|
61
|
65
|
57
|
Выпуск морозильников
|
95
|
22
|
53
|
56,66667
|
95
|
22
|
Выпуск кондиционеров
|
73
|
55
|
77
|
68,33333
|
77
|
55
|
K=
|
0
|
0,5
|
1
|
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Выпуск холодильников
|
65
|
61
|
57
|
Выпуск морозильников
|
95
|
58,5
|
22
|
Выпуск кондиционеров
|
77
|
66
|
55
|
Наиболее оптимистичное решение – при к=0. Значит, наилучший стратегией будет выпуск морозильников.
2. Условия реализации неблагоприятны.
Подсчитаем некоторые статистические показатели.
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Среднее
|
Макс
|
Мин
|
Дисперсия
|
Выпуск холодильников
|
57
|
61
|
65
|
61
|
65
|
57
|
16
|
Выпуск морозильников
|
95
|
22
|
53
|
56,66667
|
95
|
22
|
1342,333
|
Выпуск кондиционеров
|
73
|
55
|
77
|
68,33333
|
77
|
55
|
137,3333
|
Если условия неблагоприятны, то выбрать стоит стратегию, которая грозит минимальным риском. В данном случае это означает, что дисперсия между максимальной и минимальной прибылью должна быть минимальна, поэтому нет необходимости подсчитывать риски. То есть, в случае неудачи – потери будут меньше и поэтому надо выпускать холодильники.
3. Существует следующий риск:
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Риск
|
0,45
|
0,3
|
0,25
|
Выпуск холодильников
|
57
|
61
|
65
|
Выпуск морозильников
|
95
|
22
|
53
|
Выпуск кондиционеров
|
73
|
55
|
77
|
При выборе решения в качестве критериев риска используется показатель:
R = Hij
∙ p
где р – вероятность наступления рискового события.
Предпочтение отдается решению, имеющему наименьший средневзвешенный показатель риска, определяемый как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее им значение потерь:
Ri
=∑j=1
Hij
∙ pj
, (i=1,m)
Потери (Нij
) рассчитываются как разность между ожидаемым результатом действия при наличии точных данных обстановки и результатом, который может быть достигнут, если данные определены:
Нij (PiOj)
= maxj
aij
– aij
Определим для нашего задачи maxj
aij
.
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Риск
|
0,45
|
0,3
|
0,25
|
Выпуск холодильников
|
57
|
61
|
65
|
Выпуск морозильников
|
95
|
22
|
53
|
Выпуск кондиционеров
|
73
|
55
|
77
|
max
|
95
|
61
|
77
|
Теперь определим величины потерь для каждого варианта стратегии и для каждой ситуации.
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Выпуск холодильников
|
38
|
0
|
12
|
Выпуск морозильников
|
0
|
39
|
24
|
Выпуск кондиционеров
|
22
|
6
|
0
|
Величина риска:
Стратегия компании
|
Ситуация 1
|
Ситуация 2
|
Ситуация 3
|
Риск
|
0,45
|
0,3
|
0,25
|
Риск
|
Выпуск холодильников
|
17,1
|
0
|
3
|
20,1
|
Выпуск морозильников
|
0
|
11,7
|
6
|
17,7
|
Выпуск кондиционеров
|
9,9
|
1,8
|
0
|
11,7
|
Как видно, стратегией с минимальным риском является выпуск кондиционеров, при заданных вероятностях событий.
Выпускник школы выбирает работу. Работа сторожем гарантирует ему ежемесячный заработок 2 тыс. руб. и много свободного времени. Работа контролером в общественном транспорте обеспечивает ему заработок в зависимости от количества оштрафованных: с вероятностью 0,4 заработок составит 1,8 тыс. руб. и с вероятностью 0,6 - 3 тыс. руб. Полезность в зависимости от дохода для выпускника представлена в таблице.
Доход, тыс. руб.
|
1,5
|
1,8
|
2
|
2,5
|
2,6
|
2,8
|
3,2
|
Полезность, у.е.
|
2
|
3
|
5
|
12
|
14
|
19
|
27
|
Какую работу выберет выпускник, максимизирующий полезность и чему равна премия за риск?
Исходя из условия максимизации полезности, выпускник должен выбрать работу с полезностью 27 или 19 у.е. Такую полезность он получит при доходе 3,2 и 2.8 тыс. рублей, соответственно.
Так как работа сторожем может обеспечить только 2,0 тыс. руб. в месяц, при этом полезность равна 5 у.е., значит выпускник предпочтет работу контролером в общественном транспорте (из условия максимизации полезности). Эта работа может обеспечить ему в свою очередь только 3,2 тыс. руб. в месяц, соответственно, полезность в размере 27 у.е.
Премия за риск составляет 1 тыс. рублей (см. таблицу).
Работа
|
Обстановка 1
|
Обстановка 2
|
Премия[1]
/ потери[2]
|
(вероятность 0,4)
|
(вероятность 0,6)
|
Сторож
|
2
|
2
|
0 / 0
|
Контролер
|
1,8
|
3
|
1 / 0,2
|
Если наступит обстановка 2
|
Если наступит обстановка 1
|
Задача 4. X=2
В первых графах таблицы приведены статистические данные о финансовых инструментах А, Б и В. Проанализировать риск этих инструментов (оценить стандартное отклонение и коэффициент вариации), а также возможных портфелей, если предприниматель может выбрать одну из двух стратегий:
а) выбрать один из финансовых инструментов;
б) составить портфель, в котором 50% будет составлять один из активов и 50% - другой.
Годовые % возможных инвестиций
Год
|
Виды активов
|
Портфели
|
А
|
Б
|
В
|
АБ
|
БВ
|
АВ
|
(50%А+ 50%Б)
|
(50%В+ 50%Б)
|
(50%А+ 50%В)
|
1
|
9
|
13
|
23
|
11
|
18
|
12
|
2
|
9
|
11
|
25
|
10
|
18
|
13,5
|
3
|
15
|
17
|
25
|
16
|
21
|
14
|
Коэффициент вариации (ν) рассчитывается по формуле:
Стандартное отклонение (σ):
Дисперсия (Д):
Инструмент А
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
9
|
11
|
12
|
3,46410162
|
31,4918329
|
2
|
9
|
3
|
15
|
Инструмент Б
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
13
|
13,7
|
9,33
|
3,05505046
|
22,3540278
|
2
|
11
|
3
|
17
|
Инструмент В
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
23
|
24,3
|
1,33
|
1,15470054
|
4,74534468
|
2
|
25
|
3
|
25
|
Инструмент АБ
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
11
|
12,3
|
10,3
|
3,21455025
|
26,063921
|
2
|
10
|
3
|
16
|
Инструмент БВ
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
18
|
19
|
3
|
1,73205081
|
9,11605688
|
2
|
18
|
3
|
21
|
Инструмент АВ
|
Год
|
Норма дохода
|
хср
|
Д
|
σ
|
ν
|
1
|
12
|
13,2
|
1,08
|
1,040833
|
7,90506076
|
2
|
13,5
|
3
|
14
|
Сгруппируем полученные данные по коэффициенту вариации, т.е. по степени риска.
Слабая вариация, низкий риск (ν до 10%)
|
Умеренный риск
(ν = 10 … 25%)
|
Высокий риск
(ν свыше 25%)
|
В = 4,7; БВ = 9,11; АВ = 7,9
|
Б=22,35
|
А=31,49; АБ=26
|
Если предприниматель должен выбрать один из финансовых инструментов А, Б, или В (стратегия а), то наименее рискованным для него будет инструмент В (коэффициент вариации 4,7%).
Если предприниматель может составить портфель из этих инструментов, то наименее рискованным является портфель АВ, включающий 50% инструмента А и 50% инструмента В.
В портфеле предприятия "Сибин" находятся два вида акций с разными среднегодовыми нормами доходности – акции "А" и акции "Б" с соответствующими характеристиками абсолютного размера риска в виде среднеквадратических отклонений σ (А) и σ (Б). Коэффициент корреляции текущих норм доходности акций "А" и "Б" равен: –1.
Среднегодовая норма доходности
|
Абсолютный размер риска
|
акции А
|
акции Б
|
σА
|
σБ
|
11
|
15,5
|
4,95
|
13,8
|
Найти пропорцию распределения денежных средств, инвестируемых в акции, соответствующие минимуму риска (нулевой дисперсии).
Известно, что коэффициент корреляции равен –1. Данный коэффициент рассчитывается по формуле:
, (1)
где х и y – зависимые величины. В нашем случае это нормы доходности акций А и Б, т.е.:
= 11
= 15,5
Подставим значения этих величин в формулу коэффициента корелляции:
Выразим
:
Значит средняя величина произведений норм доходности акций А и Б равна 102,19.
При распределении денежных средств, соответствующим минимуму риска, дисперсия стремится к нулю.
Выразим из формулы (1) произведение σА
σБ
и приравняем к нулю.
= 0
Значит распределение средств должно быть таким, чтобы произведение средних норм доходности акций было равно 102,19.
1. Романов В.С. Понятие рисков и их классификация как основной элемент теории рисков // Инвестиции в России. — 2000г. — № 12, с. 41—43
2. Романов В.С., Бутуханов А. В. Рискообразующие факторы: характеристика и влияние на риски // Управление риском. — 2001 г. № 3, с.10—12.
3. Романов В. С. Риск-менеджмент как условие развития предприятия. Теория и практика реструктуризации предприятий: Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции. Пенза, 2001 г. — с.144—146.
4. Романов В. С. Управление рисками: этапы и методы // Факты и проблемы практики менеджмента: Материалы научно-практической конференции 30 октября 2001 г. — Киров: Изд-во Вятского ГЛУ, 2001 г. — с. 71—77.
|