Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ. 2 1. Уравнение в полных дифференциалах. 3 2. Интегрирующий множитель. 5 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 8 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 10 ВВЕДЕНИЕ Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных[1] . Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому). 1. Уравнение в полных дифференциалах. Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах , т. е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что dF (t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) О D (f) = D (g)). Тогда следующее уравнение является его полным интегралом: F (t , x ) = C (t , x Î D 1 ). Доказательство. Пусть функции t = y(s ), x = j(s ) определены на некотором промежутке J Ì R . Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C эквивалентен тождеству [f (t , x )dx + g (t , x )dt ]|t = y , dt = y¢ ds , x = j , dx = j¢ ds º 0, которое, в свою очередь эквивалентно тождеству [d F(t , x )]|t = y , dt = y¢ ds , x = j , dx = j¢ ds º 0. Последнее в точности означает, что d [F(t , x )]|t = y , x = j º 0 и y, j Î D 1 , или, что, то же, F[y(s ), j(s )] º C и y, j Î D 1 . Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C Û F(t , x ) = C (t , x Î D 1 ). Для уравнения с разделяющимися переменными f (x )dx – g (t )dt = 0 существует функция F(t , x ) = F (x ) – G (t ), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах. Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах [2] . Пусть в уравнении f 1 (x )dx 1 + f 2 (x )dx 2 + ... + fn (x )dxn = 0 функции fi (x) = fi (x1 , ..., xn ) непрерывны вместе со своими частными производными ¶fi /¶xk (i ¹ k) на декартовом произведении интервалов J1 × J2 ×... × Jn = D. Тогда левая часть уравнения f 1 (x )dx 1 + f 2 (x )dx 2 + ... + fn (x )dxn = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F(x) в том и только том случае, если ¶Fi ¶xk = ¶Fk ¶xi (i , k = 1, 2, ..., n ; i ¹ k ; x Î D). При этом функция F находится по формуле F(x ) = n å k = 1 ò xk x 0 k f (x 1 , ..., xk –1 , x, x 0 k +1 , ..., x 0 n ) d x (x0 k Î Jk — произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения f 1 (x )dx 1 + f 2 (x )dx 2 + ... + fn (x )dxn = 0 можно записать в виде: F(x ) = C (x Î D 1 ). В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными f 1 (x 1 )dx 1 + f 2 (x 2 )dx 2 + ... + fn (xn )dxn = 0, если функции fk : Jk ® R непрерывны; полный интеграл имеет вид F 1 (x 1 ) + F 2 (x 2 ) + ... + Fn (xn ) = 0, где Fk –первообразная fk (k = 1, ..., n ). 2. Интегрирующий множитель. Итак, если для уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах: ¶f ¶t = ¶g ¶x ((t , x ) Î J 1 ×J 2 ). не выполнено, то иногда удается найти функцию m = m(t , x ), такую, что для уравнения m · f (t , x )dx + m · g (t , x )dt = 0 оно уже выполнено. В этом случае функция m называется интегрирующим множителем . Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t. Если, например, считать, что m зависит только от x, то ¶m · f ¶t = m ¶f ¶t = ¶m · g ¶x = m¢ + m ¶g ¶x , и аналог условия ¶f ¶t = ¶g ¶x ((t , x ) Î J 1 ×J 2 ). для m · f (t , x )dx + m · g (t , x )dt = 0 выглядит так: m¢ = é ê ë æ ç è ¶f ¶t – ¶g ¶x ö ÷ ø / g ù ú û · m. Если выражение в квадратных скобках не зависит от t , то m¢ = é ê ë æ ç è ¶f ¶t – ¶g ¶x ö ÷ ø / g ù ú û · m. есть линейное однородное уравнение относительно m = m(x ); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C . Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t . Найдем интегрирующий множитель m = m(x ) для уравнения (3t 2 /x 2 – 1)dt + (3 – 2t /x )dx = 0 (оно получено почленным делением уравнения (3t 2 – x 2 )dt + (3x 2 – 2tx )dx = 0 на x 2 , поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель m = x 2 существует). Выпишем для уравнения (3t 2 /x 2 – 1)dt + (3 – 2t /x )dx = 0, умноженного почленно на m, условие полного дифференциала: ¶m · (3 – 2t /x ) ¶t = m · æ ç è – 2 x ö ÷ ø ; ¶m · (3t 2 /x 2 – 1) ¶x = m¢(3t 2 /x 2 – 1) + m · æ ç è – 6t 2 x 3 ö ÷ ø ; , m¢ = é ê ë æ ç è – 2 x + 6t 2 x 3 ö ÷ ø / (3t 2 /x 2 – 1) ù ú û · m = 2 x m. Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t , искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения: ¶m m = 2dx x ; m = Cx 2 . В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель m = x 2 . ЗАКЛЮЧЕНИЕ Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений[3] . Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные. Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Если в дифференциальном уравнении функции М (х , у ) и N (x , y ) удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что Тогда из уравнения следует, что что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U . Ее можно найти в виде: любые числа, входящие в область определения функций М и N , а – произвольная постоянная. Интегрирующий множитель, множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения обращается в полный дифференциал (дифференциальное исчисление) некоторой функции V(x, y). T. о., если Если множитель мю (x,y) известен, то задача интегрирования уравнения (*) сводится к квадратурам, т. к. остаётся найти функцию U(x, y) по её полному дифференциалу [4] . В нашем е мы рассмотрели уравнение в полных дифференциалах и интегрирующий множитель. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 2005. - 384с. 2. Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с. 3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2002. 4. Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 2003. 5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2001, ч. I, II. 6. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с. 7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001. 8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 2002. 9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с. 10. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения:примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 2003. – 383 с. [1] Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с. [2] Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 2001. - 416 с. [3] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с. [4] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.