Диофант. Диофантовы уравнения Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №10» г.Перми Диофант. Диофантовы уравнения Выполнила работу Ильина Яна, ученица 11 б класса Руководитель Золотухина Л. В, учитель математики высшей категории Пермь, 2010 Содержание Введение…………………………………………………………………….3 1. Диофант………………………………………………………………..…4 2. Числа и символы…………………………………………………………6 3. Диофантово уравнение………………………………………………..…8 4. Способы решения………………………………………………………..12 Заключение…………………………………………………………………15 Список литературы…………………………………………………………16 Введение Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Эти методы будут очень полезны для сегодняшних одиннадцатиклассников, которым предстоит сдавать экзамен по математике. Диофант внес такой же огромный вклад в развитие математики, как и Архимед. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед. 1. Диофант Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет! Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира. Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э. Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые для нас остались совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов. «Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач. 2. Числа и символы Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять. В классической греческой математике, которая нашла своё завершение в «Началах» Евклида, под числом άριJμός — «аритмос » или «арифмос »; отсюда название «арифметика» для науки о числах) понималось множество единиц, т.е. целое число. Ни дроби, ни иррациональности числами не назывались. Строго говоря, никаких дробей в «Началах» нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; иррациональности появляются как отношения несоизмеримых отрезков, например, число, которое мы теперь обозначаем √2, для греков классической эпохи было отношением диагонали квадрата к его стороне. Об отрицательных числах не было и речи. Для них не существовало даже никаких эквивалентов. Совершенно иную картину мы находим у Диофанта. Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом (άριJμός — «аритмос »). Но этим дело не ограничивается. Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином λει̃ψις — «лейпсис » — производное от глагола λει̃πω — «лейпо », что означает недоставать, нехватать, так что сам термин можно было бы перевести словом «недостаток». Кстати, так поступает известный русский историк науки И. Тимченко . Положительное число Диофант называет словом ΰπαρξις — «ипарксис », что означает существование, бытие, а во множественном числе это слово может означать имущество или достояние. Таким образом, терминология Диофанта для относительных чисел близка к той, которую употребляли в Средние века на Востоке и в Европе. Скорее всего, это было просто переводом с греческого на арабский, санскрит, латынь, а затем на различные языки Европы. Заметим, что термин λει̃ψις — «лейпсис » — нельзя переводить как «вычитаемое», как это делают многие переводчики Диофанта, потому что для операции вычитания Диофант применяет совершенно иные термины, а именно άφελει̃ν — «афелейн » или άφαιρει̃ν — «афайрейн », которые являются производными от глагола άφαιρεω — «афайрео » — отнимать. Сам Диофант при преобразовании уравнений часто употребляет стандартное выражение «прибавим к обеим сторонам λει̃ψις». Мы так подробно остановились на филологическом анализе текста Диофанта, чтобы убедить читателя, что мы не отступим от истины, если будем переводить термины Диофанта как «положительное» и «отрицательное». Диофант формулирует для относительных чисел правило знаков: «отрицательное, умноженное на отрицательное, даёт положительное, тогда как отрицательное на положительное даёт отрицательное, и отличительный знак для отрицательного есть — перевёрнутая и укороченная (буква) ψ». Далее он пишет: «После того как я тебе объяснил умножение, становится ясным и деление предложенных членов; теперь будет хорошо приступить к упражнениям над сложением, вычитанием и умножением таких членов. И положительные и отрицательные члены с различными коэффициентами прибавлять к другим членам, которые либо положительны, либо, равным образом, и положительны и отрицательны, и от положительных членов и других отрицательных отнимать другие положительные и, равным образом, положительные и отрицательные». Заметим, что хотя Диофант ищет только рациональные положительные решения, в промежуточных выкладках он охотно пользуется отрицательными числами. Мы можем, таким образом, отметить, что Диофант расширил числовую область до поля рациональных чисел, в котором можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики. 3. Диофантово уравнение Определение - алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. ax + by = 1 где а и b — целые взаимно простые числа Взаимно простые числа, несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и - 1. Наименьшее кратное попарно простых чисел равно их произведению. имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn у = y0 -an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Другой пример Д. у. x2 + у2 = z2 Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х , у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2 у = 2mn z = m2 + n2 где m и n — целые числа (m > n > 0). Это уравнение определяет на плоскости R 2 алгебраическую кривую Γ. Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой Γ. В дальнейшем мы часто будем прибегать к языку геометрии, хотя сам Диофант нигде его не применяет. Однако геометрический язык стал в настоящее время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью. Прежде всего, необходимо дать какую-нибудь классификацию уравнений (2) или, что тоже, алгебраических кривых. Наиболее естественной и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам. Напомним, что порядком кривой (2) называется максимальный порядок членов многочлена f (x , y ), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y . Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки. Так, например, окружность x 2 + y 2 = 1 и прямая x + y = 2 пересекаются в двух комплексных точках, а гипербола x 2 – y 2 = 1 и прямая y =x — в двух бесконечно удалённых точках, та же гипербола с прямой x =1 имеет одну общую точку кратности 2. Однако для целей диофантова анализа (такое название получила область математики, выросшая из задач решения неопределённых уравнений; впрочем, теперь её чаще называют диофантовой геометрией) классификация по порядкам оказалась слишком грубой. Рис. 1. Поясним сказанное на примере. Пусть задана окружность C : x 2 + y 2 = 1 и любая прямая с рациональными коэффициентами, например, L : y =0. Покажем, что рациональные точки этой окружности и прямой можно поставить во взаимно однозначное соответствие. Это можно сделать, например, так: закрепим точку A (0,–1) окружности и поставим в соответствие каждой рациональной точке B прямой L точку B' окружности C , лежащую на пересечении C и прямой AB (рис. 1). То, что координаты точки B' будут рациональными, предоставим читателю доказать самому либо прочесть аналогичное доказательство у Диофанта (оно будет изложено в следующем параграфе). Очевидно, что такое же соответствие можно установить между рациональными точками любого конического сечения, если на нём лежит хотя бы одна рациональная точка, и рациональной прямой. Мы видим, что с точки зрения диофантова анализа окружность C и прямая L неотличимы: множества их рациональных решений эквивалентны. И это несмотря на то, что порядки обеих кривых различны. Более тонкой является классификация алгебраических кривых по родам, которая была введена только в XIX веке Абелем и Риманом. Эта классификация учитывает число особых точек кривой Γ. Будем считать, что в уравнении (2) кривой Γ многочлен f (x , y ) неприводим над полем рациональных чисел, т.е. он не раскладывается в произведение многочленов с рациональными коэффициентами. Как известно, уравнение касательной к кривой Γ в точке P (x 0 , y 0 ) будет y – y 0 = k (x – x 0 ), где k = – fx ' (x 0 , y 0 ) fy ' (x 0 , y 0 ) . Если в точке P производная fx ' или fy ' отлична от нуля, то угловой коэффициент k касательной имеет вполне определённое значение (если fy ' (x 0 , y 0 ) = 0, a fx ' (x 0 , y 0 ) ≠ 0, то k =∞ и касательная в P будет вертикальной). Если же в точке P обе частные производные обращаются в нуль, fx ' (x 0 , y 0 ) = 0 и fy ' (x 0 , y 0 ) = 0, то точка P называется особой . Например, у кривой y 2 = x 2 + x 3 точка (0, 0) будет особой, так как в ней fx ' = –2x – 3x 2 и fy ' = 2y обращаются в нуль. Рис. 2. Наиболее простыми особыми точками являются двойные, в которых хотя бы одна из производных fxx '' , fxy '' и fyy '' отлична от нуля. На рис. 2 изображена двойная точка, в которой кривая имеет две различные касательные. Другие более сложные особые точки изображены на рис. 3. Рис. 3. 4. Способы решения Правило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d. Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Хо ; уо ) уравнения ах + ву = 1; числа СХо , Суо составляют решение уравнения ах + ву = с. Решить в целых числах (х,у) уравнение 5х - 8у = 19 … (1) Решение. Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения. Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1) имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Хо = 7; уо =2. Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1). Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2) Вопрос: Как, имея одно решение, записать все остальные решения? Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: 5(х -7) – 8(у - 2) =0. Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z. Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде: n Z. Второй способ . Решение уравнения относительно одного неизвестного. Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19 х = . Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа. Если у = 0, то х = = . Если у =1, то х = = . Если у = 2, то х = = = 7 Z. Если у =3, то х = = . Если у = 4 то х = = . Итак, частным решением является пара (7;2). Тогда общее решение: n Z. Третий способ . Универсальный способ поиска частного решения. Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1. План решения: 1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида. 2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2. 3. Запишем общее решение данного уравнения (1). 1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида. 8 = 5 1 + 3. 5 = 3 3 = 2 . Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2 = 3 – (5 - 3 ) = = 3 - 5 = 3 = (8 - 5 - 5 8 2 -5 = 5 (-2). Итак, m = -3, n = -2. 2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19m; уо =19n. Отсюда получим: Хо =19 ; уо =19 . Пара (-57; -38)- частное решение (1). 3. Общее решение уравнения (1): n Z. Четвертый способ. Геометрический. План решения. 1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически. 2. Запишем частное решение уравнения (1). 3. Запишем общее решение данного уравнения (1). 1 Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие -ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов. На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли - ю часть окружности, так что х = у + . Итак, Хо = 5, уо =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1. 2. Частное решение уравнения (1): Хо = 19 уо =19 3. Общее решение уравнения (1): n Z. Заключение Между тем большинство историков науки, в противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и применял для этого искусственные приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле в большинстве диофантовых уравнений мы наблюдаем похожие алгоритмы решений. Сегодня, как мы видим, существует несколько различных способов решения, алгоритмы которых несложно запомнить. Как уже было сказано ранее это уравнение обычно встречается в задании С6 на ЕГЭ. Исследование алгоритмов решения Диофантовых уравнений может помочь при решении этого задания, которое оценивается в значительное количество баллов. Список литературы 1.Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). М., «Наука», 1974. 2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука (перевод И. Н. Веселовского). М., Физматгиз, 1959. 3. Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века (перевод П. Юшкевича). М.–Л., Гостехиздат, 1932 4. А. В. Васильев, Целое число. Петербург, 1919 5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров, Математика, ЕГЭ, МЦНМО, 2010