Указания методические к курсовой работе «разработка математических моделей электронных схем в различных режимах их работы» Министерство образования Украины Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт» Институт телекоммуникационных систем Теория электрических цепей и сигналов Методические указания к курсовой работе «РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ» Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов Рассмотрены и одобрены на заседании института телекоммуникационных сетей и систем Протокол №________________________ от _________________________________ Киев - 2002г УДК 621.395.001 Теория электрических цепей Методические указания у курсовой работе «РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ В РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ИХ РАБОТЫ» Б.Н.Шелковников, О.В.Колчанов -НТУУ «КПИ», 2002г. Методические указания включают три раздела: Математические модели различных режимов работы электронных схем и методы и алгоритмы расчета различных режимов работы электронных схем. Методы и алгоритмы анализа чувствительности электронных схем. Методы и алгоритмы оптимизации электронных схем. Методические указания к курсовой работе предназначены для выполнения курсовой работы студентами института телекоммуникационных систем НТУУ «КПИ», по вышеупомянутой дисциплине, а также для самостоятельной работы при изучении курса. Библиография назв. Рецензенты: ВВЕДЕНИЕ Использование персональных электронных вычислительных машин (ПЭВМ) во всех областях человеческой деятельности - характер­ная черта научно-технической революции. ПЭВМ, особенно высоко­производительные, способствуют ускорению прогресса в радиоэлектронной промышленности. Использование ПЭВМ предполагает разработку соответствующего специализированного математического (методы, алгоритмы) и программного обеспечения. Цель курса изложенного в методических указаниях - помочь в изучение электронных схем как объектов исследования и проектирования, получение навыков формулирования задач исследования и проектирования, овладение методами и алгорит­мами решения задач исследования в проектирования электронных схем, навыками реализации задач в виде программного обеспечения на ПЭВМ. Изложение курса базируется на знаниях студентами курсов математики, физики, теоретических основ электротехники, полупро­водниковых приборов, электронных цепей непрерывного и импульсно­го действия. В методические указания входит изучение структур, режимов работы, качественных показателей, характеристик электронных схем. Про­цесса проектирования электронных схем, математических моделей компонентов электронных схем, математических моделей электронных схем, методов и алгоритмов анализа математических моделей элек­тронных схем, ознакомление с задачами автоматизации конструирова­ния и изготовления электронных схем, с принципами построения программ моделирования электронных схем и системами автоматизация проектирования. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ Транзисторный усилитель (ТРУ), представленный электрической принципиальной схемой (на рис. 1 ), в зависимости от характера вход­ного сигнала может работать в различных режимах. При отсутствии входного сигнала (или постоянном сигнале) усилитель нахо­дится в статическом состоянии (режим постоянного тока). При малом быстроизменяющемся входном сигнале допустимо считать, что транзис­тор проявляет только линейные динамические свойства, и усилитель работает в режиме линейного усиления. При большом быстроизменяющемся входном сигнале транзистор проявляет нелинейные динамические свойства, усилитель функционирует в динамическом нелинейном режиме. В зависимости от формы входного сигнала (гармонический, импульсный) функционирование усилителя может рассматриваться во временной или частотной областях. Рис 1 Каждый режим работы усилителя можно представить соответствую­щей эквивалентной цепью (схемой) и математической моделью и оце­нить множеством качественных показателей (характеристик, схемных функций) и параметров. Качественные показатели определяются на основе математической модели и проверяются экспериментально. Все множество качественных показателей характеризует свойства и функциональные возможности усилителя в целом. К основным качественным показателем и параметрам усилителя относятся коэффициент передачи (коэффициент усиления) Кр , входное и выходное сопротивлени­ях Zвх, Zвых , динамический диапазон, коэффициент нелинейных искажений, коэффициент шума. Чтобы найти эти качественные показатели необходимо проанализировать усилитель в статическом режиме, в динамическом режиме во временной и частотной областях при большом и малом входных сигналах. Эквивалентная схема ТРУ для каждого режима имеет свое мно­жество элементов (компонентов) и свою структуру (т.е. специфичное для режима соединение элементов). Так, например, режим малого входного сигнала представляется линейной эквивалентной схемой - соединением линейных элементов, статический режим - нелинейной эквивалентной схемой на постоянном токе и т.д. Следует отметить, что отмеченные режимы характеризуют работу большинства электронных схем приемно-усилительных устройств и поэтому решение задач расчета схем в этих режимах имеет общее значение. Множество качественных показателей, определяемых в соответ­ствующем режиме в представляющих задачи анализа, зависит от множества элементов и их параметров - d р э , от структуры их соедине­ния - S p , типа входного сигнала (постоянный, частотный, временной): Кр =F(S p , d р э , U p ) (1) где р - cоответствующий режим. Динамические качественные показатели всегда зависят от исход­ного статического режима, что можно отразить зависимостью: d р э = ¦ ( Кст ) Только в пассивных схемах статический режим может ха­рактеризоваться нулевыми значениями переменных. Соотношения вида (1) представляют основные задачи расчета, анализа качественных показателей ТРУ и электронных схем. Большое значение при проектировании электронных схем имеет решение задач расчета чувствительности качественных показателей по параметрам элементов- S р d , позволяющее определить допуска на параметры, и задач оптимизации, т.е. поиска множества опти­мальных параметров d р опт , обеспечивающих необходимое откло­нение множества качественных показателей от заданных в техническом задании. Из перечисленных режимов наиболее общим является динамичес­кий режим при воздействии большого сигнала, изменявшегося во вре­мени. Остальные режимы - частные от этого режима. Динамический нелинейный режим (временная и частотная область) - при большом входном сигнале. Статический ре­жим наблюдается, когда внешнее воздействие постоянно во времени. Динамический линейный режим (временная и частотная область) - при малом входном сигнале. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ ПРИ БОЛЬШОМ СИГНАЛЕ. ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ. При большом быстроизменяющемся входном сигнале в ТРУ транзистор проявляет нелинейные и динамические свойства (рис. 2 ) , которые могут быть представлены эквивалентной схемой (на рис. 2 выделена штрихами) и математической моделью Эберса-Молла [1,2] . Рис.2 В модели Эберса-Молла свойства элементов выражаются следующими соотношениями: Iк=Iко•( e (К1•Uкб) -1)= ¦ К ( Uкб ), К1=1/(mк • j Т ), (2) Iэ=Iэо•( e (К2•Uбэ) -1)= ¦ Э ( Uбэ ), К2=1/(mэ • j Т ) J дк = a N •I э , J дэ = a I •I к , UR б = i R б •R б I ск = Ск (U кб )•dU кб /dt, Ск (U кб )=C кб + Скд = Со кб /(1-U кб / j К )0.5 + Со кд •I к Со кд=К1/(2• p •F a i ) Iсэ=Сэ(Uбэ)•dUбэ/dt, Сэ(Uбэ)=Cэб+Сэд=Со кб/(1-Uбэ/ j К )0.5 +Со кд•Iэ Со эд=К2/(2• p •F a n ) где, Uкб, Uбэ - напряжение коллектор-база, база-эмиттер соответственно; К1, К2 - температурный потенциал; j т - контактная разность по­тенциалов; Iко, Iэо - токи насыщения коллекторного и эмитерного переходов; mк , mэ - коэффициенты отражающие технологию изготовления транзиторов; a N , a I - коэффициенты усиления по току при нормальном и инверсном режимах; i Rб - ток через резистор базы; Rб - сопротивление базы; Со кб , Со эб - барьерные ем­кости при нулевом смещении; F a n F a i - предельные частота транзистора при нормальном и инверсном включениях. Свойства остальных элементов эквивалентной cxeмы ТРУ (рис. 2) для динамического режима описываются соотношениями: UR1 = i R1 •R1 , UR2 = i R2 •R2 , UR б = i R б •R б , UR3 = i R3 •R3 , UR4 = i R4 •R4 , UR5 = i R5 •R5 , UR6 = i R6 •R6 , UR7 = i R7 •R7 В общем виде можно записать для элементов схемы : Резисторы: URi = i Ri •Ri , i - номер резистора (3) Емкости: i Cj =Cj • dUcj/dt , j - номер емкости Источники постоянного тока: J= =const Входное ток: J~ = ¦ ( t ) =Jм •sin( w •t+ y J ) - функция времени. Элементы схемы (или ветви), соединяясь в узлах, образуют в схеме контура. Токи в узлах (сечениях) схемы и напряжения в контурах подчиняются, соответсвенно, первому и второму законам Кирх­гофа; 1. Алгебраическая cyммa токов i в любом узле (в замкнутом сечении) электрической схемы равна нулю (вытекающий ток из узла берется со знаком "+" , втекающий ток в узел берется со знаком "-" ) n S i= 0 (4) к =1 2. Алгебраическая сумма напряжений u ветвей в любом кон­туре электрической схемы равна нулю n S u = 0 к=1 Уравнения соединений, составленные по законам Кирхгофа, определяются только схемами соединений ветвей, т.е. геометрической структурой цепи, и не зависят от вида и характеристик элементов, т.е. физического содержания ветвей. Поэтому при составлении урав­нений соединений удобно отвлекаться от вида и характеристик вет­вей цепи и заменять их линиями, соединяющими узлы, с сохранением числа ветвей и узлов. В результате получают так называемый линей­ный граф (топологический граф), который представляет совокупность или систему узлов (вершин), изображаемых точками, и ветвей (ребер) изображаемых отрезками линий, соединяющих любую пару узлов. Таким образом, элементами графа являются узел и ветвь (рис. 3) . Рис.3 Объединенные множества уравнений ветвей (компонентных уравне­нии (2) , (3) и топологических уравнений (4) составляют мате­матическую модель схемы (ММС) для динамического режима при боль­шом сигнале. Если схема имеет l ветвей, то число уравнений к число переменных ММС равно l •2 при выборе независимых сечений и контуров. Для нашей схема при указанных стрелками направлениях токов уравнение (4) имеет вид : Узел 1 i R1 + i С1 - J~ =0 Узел 2 - i С 1 + i R3 + i R2 + i R б =0 Узел 3 - i R б + i Ск + i Сэ - i К - i Э - i ДК - i ДЭ =0 (5) Узел 4 - i R5 - i С 2 - i Сэ + i Э + i ДЭ =0 Узел 5 i R4 + i С 3 - i Ск + i К + i ДК =0 Узел 6 - i R4 - i R2 - i R7 + J= =0 Узел 7 - i C3 + i C4 - i R6 =0 Кроме токов и напряжений ветвей, введем в рассмотрение новые переменные - потенциалы узлов ji относительно базисного узла ( j 0 =0 ) . В качестве базисного узла удобно взять узел, общий для входа и вы­хода схемы. Тогда согласно второму закону Кирхгофа, напряжения всех ветвей u и узловые потенциалы ji связываются соотношениями : u R1 = j1 -j0 , u C1 = j1 -j2 , u R2 = j2 -j6 , u R3 = j2 -j0 , u С3 = j5 -j7 u Rб = j2 -j3 , u R4 = j5 -j6 , u R6 = j7 -j0 , u R5 = j0 -j4 , u C4 = j7 -j0 u С2 = j0 -j4 , u Cк = j3 -j5 , u Cэ = j3 -j4 , u Iк = j5 -j3 , u Iэ = j4 -j3 u Jдк = j5 -j3 , u Jдэ = j4 -j3 (6) Множества уравнений (5) и (6) можно записать в матричной форме в общем виде | A | • | i |=0 (7) | u |=| At | • | j | (8) где | i | = | i R1 , i С1 , i R2 ……, J~ , J= |t - вектор токов всех ветвей схемы; | u | = | u R1 , u С1 , u R2 ……, u Jдк , u Jдэ |t -вектор напряжений всех ветвей; | j | = | j1 , j2 , j3 , j4 ,…. jq |t - вектор узловых потенциа­лов; q - число узлов, t - знак транспонирования. Матрица |A| , называемая матрицей инциденций узел-ветвь, для схемы представлена на рис.3 и характеризует ее структурные свойства. Матрице |A| и соотношениям (7)-(8) соответствует топологический (направленный) граф схемы, построенный на множестве переменных схемы i , u и j. Граф явля­ется геометрическим образом структуры схемы. На графе выделены узлы j1 , j2 , j3 , j4 , j5 , j6 , j7 . Выбор направления токов в ветвях графа определяет систему независимых токов в напряжений в МУС. Выразим уравнения (5) используя уравнения (2),(3) и (6) . В результате получим систему уравнений (9) : Узел 1 ( j1 -j0 )/R1 +С1•d( j1 -j0 )/dt - J~ =0 Узел 2 - С1•d( j1 -j0 )/dt +( j2 -j0 )/R3 +( j2 -j6 )/R2 +( j2 -j3 )/Rб =0 Узел 3 - ( j2 -j3 )/Rб +Ск ¦ ( j3 -j5 )•d( j3 -j5 )/dt +Сэ ¦ ( j3 -j4 )•d( j3 - - j4 )/dt- ¦ К ( j5 -j3 )- ¦ Э ( j4 -j3 ) - a N • ¦ I э ( j4 -j3 ) - a I • ¦ I К ( j5 -j3 )=0 Узел 4 - ( j0 -j4 )/R5-С2•d( j0 -j4 )/dt-Сэ ¦ ( j3 -j4 )•d( j3 -j4 )/dt+ + ¦ Э ( j4 -j3 )+ + a I • ¦ I К ( j5 -j3 )=0 (9) Узел 5 ( j5 -j6 )/R4 +С3•d( j5 -j7 )/dt +Ск ¦ ( j3 -j5 )•d( j3 - -j5 )/dt+ ¦ К ( j5 -j3 )+ a N • ¦ Iэ ( j4 -j3 )=0 Узел 6 - ( j5 -j6 )/R4 -( j2 -j6 )/R2-( j6 -j0 )/R7+ J= =0 Узел 7 -С3•d( j5 -j7 )/dt +С4•d( j7 -j0 )/dt -( j7 -j0 )/R6 =0 Эти уравнения, называемые узловыми, составлены методом, по­добным методу узловых потенциалов для линейных цепей. Сис­тема (9) - это система алгебро-дифференциальных нелинейных уравнений относительно переменных j1 , j2 , j3 , j4 , j5 , j6 , j7 ,J= ,J~ Она состоит из трех групп уравнений: линейных алгебраических (7) , линейных дифференциальных (1,2,6) , нелинейных дифференциальных (остальные уравнения). Соответственно, переменные делятся на линейные Xл=J= и J~ , линейные дифференциальные Xлд= | j1 , j2 , j6 , j7 |t нелинейные дифференциальные Xнд= | j3 , j4 , j5 |t . С учётом сказанного система (9) может быть записана в сокращен­ном виде: ¦ л=( Xл, Xлд, Xнд)=0; ¦ лд=( Xл, X'лд, Xнд)=0 ¦ нд=( Xл, Xлд, X'лд, Xнд, X'нд)=0 (10) где -¦ л - линейный оператор; ¦ н - нелинейный оператор. X'нд, X'лд - производные переменных по времени Множество ветвей схеме (2)-(3) соответственно свойствам их уравнений, можно разделить на характерные подмножества ветвей: (11) - источников тока J= , J~ ; - линейных резисторов R и проводимоcтей G ; UR = i R •R , или i R =UR •G ,где G=1/R - нелинейных резисторов Iн= ¦ (UR ) ; - зависимых источников тока Iд= a •Iн ; - линейных емкостей i СЛ = Сл•d(Ucл)/dt ; - нелинейных емкостей i СН = Сн ¦ ( Ucн)•d(Ucн)/dt . Этому разбиению соответствует разбиение топологической мат­рицы |A| на субматрицы и запись топологических урав­нений (7)-(8) в форме Ветви Узлы J= J~ R1 R2 R3 R Б R4 R5 R6 R7 I к I э I дк Iдэ С1 С2 С3 С4 Ск Сэ 1 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 0 -1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 6 1 0 0 -1 0 0 -1 0