Указания методические рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики 2000 г Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет ______________________________________________________________ УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ ___________И.П.Чернов «___»_______2001 г. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Методические указания к выполнению контрольной работы № 4 по курсу «Общая физика» для студентов очной и заочной форм обучения Томск – 2001 УДК 53.08 Электромагнетизм. Методические указания к выполнению контрольной работы № 4 по курсу «Общая физика» для студентов очной и заочной форм обучения. Томск, изд. ТПУ, 2001. - 60 с. Составитель: О.Ю. Петрова Рецензент: профессор, д.ф.-м.н. Ю.Ю.Крючков Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим семинаром кафедры общей физики «___» ______2000 г. Зав. кафедрой И.П.Чернов Данные методические указания предназначены для ознакомления с методами решения некоторых типов задач, принадлежащих к следующим разделам физики 1. Общие сведения о магнитном поле. (С. 3) 2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение для расчета магнитных полей токов различной конфигурации (С. 4); принцип суперпозиции магнитных полей; определение векторов магнитной индукции B (жирным шрифом здесь и далее выделены векторные величины) и напряженности магнитного поля H (С. 8); расчет векторов магнитной индукции B и напряженности магнитного поля H по заданной конфигурации токов (С. 9). 3. Действие магнитного поля на проводники с током (сила Ампера) (С. 18); действие магнитного поля на проводники с током различной конфигурации (С. 21); работа, совершаемая магнитным полем над проводниками с током (С. 25). 4. Движение заряженных частиц в магнитном поле (сила Лоренца) (С. 28). 5. Электромагнитная индукция (С. 34). 6. Энергия магнитного поля (С. 40). 7. Магнитные свойства вещества (С. 42). Методические указания содержат также вопросы для самоконтроля овладения материалом по данному разделу курса физики (контрольные вопросы) (С. 60); справочные данные достаточные для решения предложенных в методическом пособии задач (таблица 2) (С. 60); и список рекомендованной литературы для более подробного ознакомления с рассмотренной темой. (С. 60). Приступим к последовательному рассмотрению упомянутых выше восьми тем. §1. Общие сведения о магнитном поле Эксперименты физики показывают, во-первых , что проводники, по которым течет электрический ток, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, оказывают друг на друга силовое воздействие (они притягиваются или отталкиваются). Во-вторых , магнитная стрелка, расположенная вблизи проводника с током, отклоняется от направления на северный магнитный полюс Земли в ту или другую сторону в зависимости от направления силы тока в проводнике. И, наконец, заряженные элементарные частицы вблизи контуров с токами либо вблизи постоянных магнитов изменяют направление своего движения. Для того, чтобы экспериментально определять числовое значение (модуль) и направление магнитной силы в некоторой заданной точке пространства, берут магнитные стрелки или проволочные рамки, обтекаемые током, малых размеров (по сравнению с расстояниями до проводников), силовое воздействие которых на эту (пробную) рамку или (пробную) стрелку исследуется. Иначе мы исследовали бы силовое воздействие изучаемой системы токов в некотором объеме пространства, а не в точке. Ниже для краткости мы будем упоминать лишь пробную рамку в тех случаях, когда надо сказать «пробная рамка» или «пробная магнитная стрелка». Эксперимент показывает, что проводники с током различной геометрической конфигурации изменяют силовое воздействие на пробную рамку, во-первых , в зависимости от величины силы тока в них (чем больше ток, тем больше силовое взаимодействие пробной рамки и проводников с током). Во-вторых , при изменении положения и конфигурации контуров в пространстве, образованных проводниками, в свою очередь изменяется как величина, так и направление силы взаимодействия при неизменном токе в проводниках. И, наконец , направление силы взаимодействия меняется на противоположное при изменении направления силы тока в одном из контуров. §2. Закон Био-Савара-Лапласа 2.1. Сравнительный анализ физических полей разных сил В предыдущих разделах физики Вы познакомились с понятием «поле сил». Вы изучили гравитационное и электростатическое поля. Можно заметить, что эти поля имеют во многом сходную структуру (см. Таблицу 1). Удобно считать, что распределенный в пространстве заряд (или масса) создают в пространстве так называемое «поле сил». (В науке говорят о поле любой физической величины в том случае, когда эта физическая величина характеризует каждую точку пространства.) О поле сил, соответственно говорят, в том случае, когда сила начинает характеризовать каждую точку пространства, как только в нее (в точку) помещен точечный (пробный) заряд (для электростатического поля) или точечная масса (для гравитационного поля). Ученые предположили, что поле в данной точке пространства существует и в отсутствии пробного заряда (или пробной массы). Таблица 1 Единица измерения гравитации – масса, m Единица измерения электростатики - заряд, q . Заряды бывают двух видов. Мы называем один вид статического электричества положительным зарядом, другой отрицательным. Известно соотношение для расчета силы взаимодействия между точечными массами: Соотношение для расчета величины силы электростатического взаимодействия похоже на соотношение гравитационного взаимодействия: точечные заряды взаимодействуют с силами, пропорциональными величине каждого заряда и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Направлена эта сила вдоль отрезка, соединяющего точечные массы, для каждого из тел в сторону другого тела Направлены эти силы вдоль отрезка, соединяющего точечные заряды, для каждого из зарядов в сторону другого заряда, если взаимодействует противоположное по знаку электричество; и в противоположную другому заряду сторону, если взаимодействует электричество одного знака. Если взаимодействующие массы нельзя считать точечными, то мы ищем результирующую силу взаимодействия между телами по принципу суперпозиции сил для распределенных в пространстве масс также как и для распределенных зарядов. Если взаимодействующие заряды нельзя считать точечными, то мы ищем результирующую силу взаимодействия между телами по принципу суперпозиции сил. В частности, если один заряд точечный - q , а другой распределен в пространстве - Q , то мы разбиваем область пространства, по которому распределен протяженный заряд на элементарные объемы, каждый из которых можно считать точечным зарядом - dQi ; находим все силы, которые действуют на точечный заряд q со стороны каждого элементарного объема с зарядом dQi ; и складываем все полученные так силы по правилу сложения векторов. Результирующая сила и будет искомой силой, действующей на точечный заряд в этом частном случае. 2.2. Поиск параметров описания магнитного поля по аналогии с известными полями На наш взгляд необходимо вспомнить некоторые моменты уже изученного материала, поскольку при исследовании любого нового раздела физики ученые стараются действовать по аналогии со сделанным ранее, до тех пор, пока это возможно. Ученые (Био, Савар и Лаплас) искали поле магнитных сил (магнитное поле), в виде структурно похожем на два изученных ранее поля (гравитационное и электростатическое). Модуль магнитной силы был найден достаточно быстро. Точечный элемент магнитного взаимодействия (аналог точечной массы и точечного заряда) был выбран как произведение силы тока на длину бесконечно малого отрезка проводника, по которому он (электрический ток) течет – i ×dl , причем отрезок dl имеет бесконечно малое сечение ds . Эксперимент показал, что модуль магнитной силы для фиксированного положения проводников друг относительно друга в этом случае совпадает с расчетом, произведенным по формуле, которая, вообще, не всегда верна. . (2) (Положения проводников фиксированы в смысле однозначного задания углов между направлениями каждого из элементарных отрезков с током dl 1 и dl 2 с отрезком прямой, соединяющей эти элементарные отрезки – r. Причем направления отрезков dl 1 и dl 2 берутся с учетом направления токов в них.) При произвольных поворотах проводников друг относительно друга (без изменения r ) модуль силы, рассчитанной из соотношения (2) меняется сложным образом. В течение более чем десяти лет Био, Савар и Лаплас пытались разобраться в том, как надо дополнить формулу (2), чтобы она охватила все возможные случаи взаимного положения проводников с током. Ученые нашли, что в общем случае (т.е. для любого случая, какая бы ситуация не возникла) в соотношение (2) следует ввести двойное векторное произведение. Тогда модуль магнитной силы в соответствии с исследованием Био-Савара-Лапласа совпадет с экспериментом, если мы рассчитаем ее (силу) так: (3) Ввести правило, в соответствии с которым можно было бы находить модуль и направление этой силы в произвольном случае не так просто как в случаях двух известных полей (гравитационного и электростатического). Особенно трудно было найти угол a, который надо подставить в эту формулу. Начнем формулировку правила нахождения направления магнитной силы в этом параграфе, а закончить придется в следующих. Сначала дадим определение вектора силовой характеристики магнитного поля – индукции магнитного поля, В . Аналогично тому, как было введено понятие напряженности электрического поля, мы поступим и для магнитного поля. (Вводя напряженность электрического поля мы «убрали» из формулы для кулоновской силы то, что относится к пробному заряду – q 2 (собственно, убрали из формулы для силы электростатического взаимодействия второй заряд), и оставили то, что создает и характеризует поле – первый заряд – q 1 , и расстояние до исследуемой точки – r .) Сравнивая электростатическое и магнитное поля, мы приходим к выводу, что напряженности электрического поля аналогична величина, названная индукцией магнитного поля - B . По закону Био-Савара-Лапласа вектор B в некоторой точке пространства равен векторному произведению двух векторов J dl (этот вектор направлен вдоль dl в сторону прохождения тока J ) и r (который направлен от элемента контура с током dl к исследуемой точке и по модулю r равен расстоянию между этими двумя точками) – соотношение (4). . (4) Размерность величины В введем ниже. Полезная аналогия в изучении двух типов полей оказывается нарушенной по формальному признаку. Дело в следующем. Поле удобно исследовать с помощью графического изображения так называемых силовых линий. Силовой линией называется линия, касательная к каждой точке которой совпадает с направлением силы, действующей на пробный заряд (электростатическое поле) или пробную рамку с током (магнитное поле). Для изображения модуля возникающей при этом величины (E или B ) через единицу площади поверхности перпендикулярной силовым линиям проводят такое число силовых линий, которому численно равна напряженность в этой области пространства. Анализируя правило задания модуля напряженности электрического поля и индукции магнитного, можно заметить, что силовые линии изображающие эти величины, должны прерываться на границе раздела двух сред, поскольку константы входящие в определения этих величин входят параметры среды x и m (и модули величин в разных средах будут разными). Для теоретических изысканий при поиске общих закономерностей поведения полей иногда удобнее иметь дело с величинами, силовые линии которых не прерываются при переходе из среды в среду. Поэтому из соображений удобства для характеристики полей ввели еще две величины – индукцию электрического поля – D, и напряженность магнитного поля – H, которые в явном виде не зависят от свойств среды. D =xx0 E; ; (5) H =mm0 B ; ; (6) Размерность величины Н введем позже. В соответствии с требованиями научной аналогии надо бы было назвать индукцию магнитного поля напряженностью и наоборот - напряженность индукцией магнитного поля. Но такие «перекрещенные» названия в электричестве и магнетизме сложились исторически, ученые к ним «привыкли», и в науке не нашлось авторитетного ученого, которому захотелось бы прекратить эту «путаницу». 2.3. Принцип суперпозиции магнитных полей Общий принцип суперпозиции работает и для сил магнитного поля. Эксперимент показывает, что индукция поля магнитной силы в некоторой точке пространства равна геометрической сумме векторов индукции, созданных в этой точке всеми отдельными отрезками проводников с током, образующими исследуемый контур. Если нам известны величины и направления векторов магнитной индукции от каждого из отрезков, образующих контур, то B = B 1 + B 2 + … + B i + …. B n (7) результирующее значение вектора индукции в некоторой точке равно векторной сумме индукций, создаваемых в этой точке отдельными отрезками контуров с током. В частности, когда длины отрезков контуров берутся бесконечно малыми, то (8) Часто контуры оказываются такими, что направления векторов dB от каждого J dl одинаковыми и мы находим интегральную сумму модулей элементарных индукций: (9). 2.4. Нахождение числовых значений В и Н - силовых характеристик магнитных полей токов, текущих по проводникам правильной геометрической формы Применим соотношения (4), (6), (8) и (9) для расчета силовых характеристик полей, создаваемых контурами проводников ничтожно малого сечения: а ) кругового проводника с током, б ) прямолинейным отрезком проводника с током конечной длины и в ) бесконечно длинным проводником с током. Вывод соотношений а ), б ), в ) можно рассматривать, как примеры решения задач . а ) Найти вектор индукции магнитного поля – В, кругового проводника радиуса R , обтекаемого током J на его оси (рис. 1). Разобьем проводник с током на бесконечно малые отрезки dl . Можно проверить, что для всех отрезков dl индукция, создаваемая протекающими в них токами, направлена вдоль образующей конуса, имеющего линейный угол при вершине, такой, что a /R =tgb (рис.1). (Вспомните, что векторное произведение двух векторов перпендикулярно плоскости, в которой лежат эти вектора.) Для того, чтобы выяснить в какую сторону вдоль этого перпендикуляра направлен вектор магнитной индукции, удобнее (удобнее чем общим правилом определения направления векторного произведения ) воспользоваться правилом буравчика. Далее, закручиваем правый винт (буравчик) ориентированный вдоль тока так, чтобы конец его ручки в первый момент движения совпал с точкой А. В какую сторону начнет двигаться ручка буравчика в первый момент движения, в ту же сторону вдоль перпендикуляра к плоскости векторов r и dl и направлен искомый вектор.) Рис. 1 На рис. 1 вектор магнитной индукции направлен от витка. Не трудно проверить, что если бы ток шел в другую сторону, то вектор магнитной индукции был бы направлен к витку. Определив направления векторов всех элементарных индукций dB , найдем направление и модуль суммарного вектора B . Из условий однородности материала витка, постоянства тока и высокой симметрии геометрии задачи, очевидно, что для каждого dBi , созданного элементом dli , найдется симметрично расположенный элемент dlj , такой, что созданная им магнитная индукция dBj в сумме с dBi даст вектор, направленный вдоль оси (см. рис. 1). В аналитической геометрии доказана теорема о том, что если известно направление результирующего вектора – суммы нескольких векторов, то эта результирующая сумма равна сумме проекций всех слагаемых на это направление. Воспользовавшись этой теоремой, замечаем, что проекция каждого из слагаемых dBi равна B = dBi = . (10) Как видно из рис. 1, sina=1 (угол между касательной к окружности и направлением на точку А для каждого dl равен 900 ), Cosb=R /(R 2 +a 2 )1/2 , r 2 = R 2 +a 2 . Подставляя соответственные значения величин в (9), получим, B = . И, наконец, взяв интеграл, придем к окончательному выражению для индукции кругового тока на его оси: B = (11) В центре кругового тока, когда a =0, получим соотношение B = соответственно (см. 6) H= (12) Направление вектора B показано на рисунке. Задача решена. б ) Нахождение магнитного поля прямолинейного проводника конечной длины, обтекаемого током J (рис. 2) Для проводника известной длины относительно любой точки А вблизи него нетрудно измерить величины r 0 , a 1 a 2 , будем считать эти величины заданными. Все элементы Jdl i и r i лежат в одной плоскости, которая образована отрезком l с током I – и радиусом-вектором, r 0 . Для того, чтобы определить в какую сторону вдоль перпендикуляра к этой плоскости направлен вектор магнитной индукции – к нам или от нас, воспользуемся правилом буравчика (см. с. 9). На рис. 2 вектор магнитной индукции направлен от нас за чертеж, такое положение вектора мы будем отмечать на чертеже кружком с перекрестием внутри расположенным рядом с вектором - + B . Не трудно проверить, если бы ток шел в другую сторону, то вектор магнитной индукции был бы направлен к нам, мы пометили бы его на чертеже кружком с точкой внутри – · B . Определив направление вектора, найдем его модуль. В предыдущих параграфах было рассмотрено соотношение для расчета магнитной индукции, создаваемой бесконечно малым отрезком проводника. Воспользовавшись соотношением (9). (Направления dBi от каждого элемента dl одинаковы. Проверьте по правилу буравчика!). , вычислим модуль В , подставляя значение dB из (4) . (13) С помощью рисунка 2, пользуясь теоремами элементарной геометрии, можно выразить величины r и dl через r o и тригонометрические функции переменного угла a. После этого взяв интеграл (10) в пределах от a1 до a2 , получим модуль индукции в точке А вблизи прямоли- Рис. 2 нейного проводника с током[1] . (14) Воспользовавшись соотношением связи между индукцией и напряженностью магнитного поля (6), получим – (15) в) для случая бесконечно длинного проводника a1 =0, a2 =1800 . Cosa1 =1, Cosa2 =-1 из (14-15) получим: (16) (17) Размерность Н можно определить с помощью (17): [Н ] = . Направлен вектор перпендикулярно чертежу за чертеж, как показано на рис. 2. Задача решена. г) Нахождение магнитного поля соленоида . Нетрудно показать (см., например, [1-4]), что магнитное поле многовитковой катушки длиной l в случае, когда l >>d (d – диаметр катушки), имеет напряженность Н= Jn , (14) где n число витков, приходящихся на единицу длины. [n ]=м-1 Такая катушка называется соленоидом. Поле внутри соленоида однородно. «Однородно» - означает одинаково по модулю и направлению в любой точке внутри соленоида. Направлен вектор B вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика, примененного к любому из его витков. Задача решена. Примеры решения задач на нахождение индукции магнитного поля, создаваемой различными контурами с током: Общие замечания. Все соотношения для расчета индукции магнитных полей, создаваемых конечными и бесконечно длинными проводниками, круговыми контурами и соленоидом мы получили с помощью принципа суперпозиции (т.е. геометрическим суммированием индукции от каждого бесконечно малого участка контура). Принцип суперпозиции применяется и по отношению к конечным участкам контуров. А именно, если сложный контур может быть условно разделен на элементы, представляющие собой прямолинейные участки и части окружности, то суммарная индукция находится как векторная сумма индукций. Каждое слагаемое в этой сумме рассчитывается по известной формуле (соответственно для отрезка ( 14), для окружности ( 13) и т.д.) Пример 1. Два параллельных длинных проводника, по которым текут в одном направлении одинаковые токи i 1 = i 2 =60 А, расположены на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого этими проводниками в точке С, отстоящей от одного проводника на расстоянии r 1 =5 см, от другого – на расстоянии r 2 =12см. Дано: J 1 =J 2 =60 A d =10см=0,1м r 1 =5см=0,05 м r 2 =12см=0,12 м m0 =4p×10-7 Гн/м Найти: B =? Решение Пользуясь теоремами элементарной геометрии, нетрудно доказать, что точка С лежит в плоскости перпендикулярной к каждому из проводников. Доопределим задачу. Будем считать, что имеем дело с проводниками бесконечной длины и исчезающе малого сечения. Каждый из таких проводников создает индукцию, модуль которой находится из соотношения (16). Направление индукции от каждого проводника идет вдоль перпендикуляра, восстановленного в точке C к плоскости, образованной проводником и перпендикуляром, опущенным из точки С на прямолинейный проводник. Направление вектора индукции вдоль этого перпендикуляра определяется по правилу буравчика. (Правило буравчика с. 9). Тогда при решении задачи можно применить принцип суперпозиции, складывая векторно два значения индукции, создаваемой каждым из проводников в отдельности. См. рис. 3. В 1 создает проводник D ; B 2 – A . Итак, из соотношения (16) модуль каждого из векторов находим следующим образом: (1) Если в задаче специально не оговорена среда, считается, что дело происходит в Рис. 3 воздухе, где mвоздуха =1. Абсолютное значение модуля суммарной магнитной индукции B может быть найдено, например, из теоремы косинусов B =(B 1 2 +B 2 2 +2B 1 B 2 cosa)1/2 , (2) Подставляя в (2) соотношения (1), получим: B = (r 1 -2 +r 2 -2 +2r 1 -1 r 2 -1 cosa)1/2 , (3) Из рисунка видно, что a=1800 -ÐДАС ; ÐДАС =b. По теореме косинусов запишем: d 2 = r 1 2 +r 2 2 -2r 1 r 2 cosb, откуда cosb=(r 1 2 +r 2 2 -d 2 )/(2r 1 r 2 ) и (3) преобразуется так: B = (r 1 -2 +r 2 -2 -2r 1 -1 r 2 -1 cosb)1/2 , (4) Подставляя числовые значения, получим: cosb= . [B ]= . Расшифровку размерности Гн мы проведем в пятом параграфе (см. с. 38). Итак, модуль В найден, направлен вектор В, как показано на рис. 3. Ответ: численное значение индукции B =0,308мТл, а направление В определяется правилом сложения векторов и показано на рисунке 3. Общие замечания. Если контур с током плоский, то направление индукции от каждого элемента этого контура одно и то же. Действительно, с помощью правила буравчика можно проверить, что вектор магнитной индукции В вблизи отрезка прямого проводника с током в каждой точке окружности, которая лежит в плоскости перпендикулярной проводнику, а центр которой (окружности) находится на прямой, направлен (вектор В ) каждый раз по касательной к этой окружности (см. рис. 4 а). Линия, в каждой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной к ней, называется силовой линией магнитного поля. а) ток направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам б) ток направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас Рис.4 Значит окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к проводнику с током, центры которых лежат на этом проводнике являются силовыми линиями магнитного поля, создаваемого им (отрезком с током). С помощью элементарной геометрии нетрудно доказать, что для любой заданной точки плоскости перпендикулярной обоим проводникам, окружности силовых линий от каждого провода соприкасаются в этой точке (рис. 4), и касательные векторы В i к каждой из окружностей складываются алгебраически. Путем аналогичных рассуждений можно убедиться, что от кругового плоского контура в заданной точке индукция направлена также, как от прямолинейного отрезка. Общность направления индукции от каждого элемента плоского контура можно проверять для каждой конкретной задачи (пока не привыкнешь к тому, что это в самом деле всегда так, а не иначе). Задачи часто подбираются так, чтобы искомая точка, в которой определяется В , являлась центром окружности круговой части контура. Поэтому при решении задач для каждого элемента плоского контура мы часто будем пользоваться формулами ( 11, 12, 15, и 16). Из принципа суперпозиции следует, что если нам дана часть кругового контура, в центре которой определяется индукция, (например, половина окружности, или четверть, то прежде, чем суммировать индукцию от круговой части контура, соотношение (11) надо будет помножить соответственно на . Пример 2 . По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток J =40 А. Сторона треугольника а =30 см. Определить индукцию магнитного поля в точке пересечения высот. Дано: J =40 A а =30 см =0,3 м m0 =4p×10-7 Гн/м В - ? Решение Расположим треугольный виток в плоскости чертежа, и зададим направление тока в нем (рис. 5). Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция поля треугольного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукцией, создаваемых каждой стороной в отдельности В=В 1 +В 2 +В 3 (1) При заданном направлении тока в точке О пересечения высот треугольника все векторы индукции, а значит и искомый результирующий вектор будут направлены перпендикулярно плоскости чертежа «к нам». (Проверьте, применив правило буравчика, с. 9). Рис.5 Кроме того, из соображения симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов будут одинаковы, т.е. В 1 =В 2 =В 3 , тогда абсолютное значение результирующего вектора В= 3В 1 . (2) Магнитная индукция В 1 поля, создаваемая отрезком прямолинейного проводника с током, выражается формулой (14) (3) где в соответствии с условиями вывода формулы (14) a1 и a2 – углы между радиус-векторами r 1 и r 2 , соединяющими концы этого отрезка с точкой, в которой исследуется поле и направлением тока в этом проводнике; r 0 – кратчайшее расстояние от исследуемой точки до проводника (рис. 5). Учитывая, что для отрезка равностороннего треугольника - проводника АВ, высота является биссектрисой a1 = , a2 = следовательно, и соотношение (3) можно переписать в виде Подставив это выражение в формулу (2), найдем: Используя теоремы равностороннего треугольника о том, что все высоты в нем являются одновременно биссектрисами и медианами, а в точке пересечения делятся в соотношении 1:3 -r 0 = , где h – высота. Из прямоугольных треугольников DCB и DOB найдем h =(а 2 -а 2 /4)1/2 = , r 0 = . Подставляя значение r 0 в последнее соотношение для В и учитывая, что если в задаче не оговорена среда, в которую помещен проводник, то m=1, получим Проверим размерность В : [B]= (Расшифровка размерности – Гн, будет произведена в §5, с 38 при исследовании явления самоиндукции.) Подставляя численные значения величин, получаем: Итак модуль и направление вектора В найдены. Ответ. B=0,24×10-3 Тл=0,24 мТл. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно плоскости чертежа и обращено к нам. §3. Действие магнитного поля на проводники с током 3.1. Сила Ампера Вернемся к соотношению (3, §2), перенумеруем его в новом параграфе: . (1) Био, Савар и Лаплас введя соотношение для вектора магнитной индукции B , переписали (1) для нахождения модуля силы так: dF =i dlB sina, (2) где a - угол между элементарным отрезком с учетом направления силы тока в нем и направлением вектора магнитной индукции. И в векторной форме dF =[i dl, В ]. (3) Соотношение (3) учитывает все случаи возникновения магнитной силы при любом возможном взаимном расположении проводников. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле в честь ученого исследовавшего связанные с ней (силой) проблемы названа силой Ампера. Для определения направления силы Ампера в случае, когда проводник перпендикулярен направлению силовых линий магнитного поля, удобнее, чем общим правилом определения направления векторного произведения, пользоваться правилом левой руки: Если ладонь левой руки расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в нее, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока, то оттопыренный большой палец укажет направление магнитной силы, действующей на элемент проводника. Если проводник прямолинейный, то все силы, действующие на его элементарные участки, окажутся направленными в одну сторону. И суммарная сила будет равна: F = i dlB(l) sina. (4) Если магнитное поле однородно (т.е. величина и направление вектора магнитной индукции постоянны в некоторой области пространства, в которую наш проводник целиком входит в процессе своего движения), то мы приходим к соотношению для силы Ампера, известному из средней школы: F =ilB sina, (5) при a=900 , (см. рис. 6) F =ilB . (6) Размерность магнитной индукции определяется из соотношения (5) и носит особое название Тл= . F = dF. (7) Если проводник не прямолинеен, а, например, имеет вид, приведенный на Рис.6 рис. 7, то, разбив весь проводник на элементарные участки dl , результирующую силу необходимо искать, суммируя геометрически все элементарные силы dF , действующие со стороны магнитного поля на отдельные участки проводника. В случае плоского контура (рис. 7) все элементарные силы dF лежат в одной плоскости, но при переходе от одного элемента dl проводника к другому, направление силы меняется. Поэтому, для нахождения результирующей силы, сначала следует отдельно искать ее проекции на две произвольные де- Рис.7 картовы оси координат (выбирают наиболее удобную в условиях конкретной задачи декартову систему), а затем искать результирующую силу по правилу векторного сложения (в частности это можно сделать с помощью теоремы Пифагора): Fх = dF х , Fу = dF у , F =( F2 х + F2 у )1/2 . (8) Соотношения (4-8) необходимо использовать с некоторой осторожностью. Они (эти соотношения) получены для случая достаточно жестких проводников, движущихся поступательно, когда каждую силу, приложенную к участку dl можно перенести в центр масс. 3.2. Взаимодействие проводников с током В предыдущем разделе закончено ознакомление с определениями и экспериментальными законами электромагнетизма. Определена силовая характеристика магнитного поля – магнитная индукция B , и с ее помощью определена сила Ампера. Дальнейший материал представляет собой примеры решения задач практического применения установленных величин. Некоторые из этих задач часто применяются в технике, имеют важное прикладное значение, и вынесены в лекционные курсы. Одна из таких задач – взаимодействие проводников с током. Силы взаимодействия параллельных токов рассчитываются с помощью закона Ампера. Причем считается, что один из параллельных проводников создает магнитное поле, а другой испытывает в этом поле силу Ампера. В случае, когда расстояние между проводниками – d , много меньше их длины l , индукцию магнитного поля B , создаваемую выбранным проводником (J 1 ), рассчитаем с помощью соотношения для бесконечно длинного прямого провода (см. § 2, (16)) а) Рис.8 б) Далее, в соответствии с (6) (проверьте, что в данном случае выполнены условия для применения именно этой формулы), другой проводник с током J 2 испытывает в этом поле силу: F 12 =J2 l Можно считать, что второй проводник создает поле, а первый испытывает в этом поле силу, тогда со стороны второго проводника на первый действует сила: (9) Нетрудно убедиться, что со стороны второго проводника на первый действует точно такая же сила, какая действует со стороны первого на второй. Направление сил при различных положениях токов показано на рис. 8. Модуль сил при всех этих направлениях одинаков и равен (9). 3.3. Плоский замкнутый контур в магнитном поле Действие магнитного поля на замкнутые проводники с током представляет большой интерес, так как на этом физическом явлении основаны все современные электрические двигатели. Рассчитаем величину момента магнитных сил M , поворачивающего прямоугольную рамку в однородном магнитном поле. Рассмотрим (рис. 9) проводник, изогнутый в виде прямоугольной рамки, помещенный в однородное магнитное поле с постоянной по величине и направлению в каждой точке пространства индукцией B . (Пусть этот проводник (он же рамка) свободно подвешен на неупругой нити). В отсутствии тока он (проводник-рамка) находится в положении безразличного равновесия. В процессе вывода соотношения для момента магнитной силы (как и многих других соотношений электромагнетизма) можно убедиться в том, что удобно ввести новую характеристику магнитного поля – магнитный момент контура с током - P m . В случае плоского контура P m =JS n , (10) где J – ток в контуре, S – площадь контура, n – орт (орт это единичный вектор) положительной нормали. (Нормаль считается положительной, когда из конца вектора P m , направление которого совпадает с направлением n (в силу равенства (10)), ток в контуре виден текущим против часовой стрелки).Удобство введения физической величины – вектора магнитного момента P m состоит в том, что произведение JS n достаточно часто встречается в физических законах электромагнетизма. Размерность магнитного момента определяется из (10) [P m ]=A×м2 . При пропускании через рамку постоянного тока, силы магнитного поля стремятся повернуть ее (рамку) таким образом, чтобы ее собственный магнитный момент совпал с направлением вектора индукции магнитного поля B. (О направлении силовых линий магнитного поля как раз и можно судить по ориентации в этом поле рамки с током. Плоскость рамки устанавливается перпендикулярно направлению B , причем из конца этого вектора ток в рамке виден идущим против часовой стрелки.) Возникает момент магнитных сил, действующих в однородном магнитном поле на прямоугольную рамку. Разберемся каким образом он (момент магнитных сил) возникает и рассчитаем его. Обозначим стороны, которые лежат в плоскостях параллельных B , буквой b, а стороны, перпендикулярные B , буквой a. Силы F 1 и F 3 , действующие на прямолинейные проводники 1-2 и 3-4, направлены перпендикулярно плоскости рисунка в противоположные стороны, но не вдоль одной линии действия, поэтому эти силы создают крутящий момент. (На рисунке 9, б показан вид рамки сверху). По закону Ампера обе эти силы численно равны величине, модуль которой рассчитывается с помощью соотношения (6) (проверьте, что в нашей задаче выполнены условия реализации соотношения (6)) F 1 = F 3 =JaB (11) Силы F 2 и F 4 , приложены к проводникам 2-3 и 4-3, направлены вдоль одной прямой (вдоль оси рамки), уравновешивают друг друга Рис.9 F 4 = JbB sin ( 90- a)) и крутящего момента не создают. Результирующий вращающий момент M , действующий на рамку, равен моменту пары сил F 1 = -F 3 , который рассчитывается так: M= [F 1 ,l ]. (12) По модулю плечо момента сил l =b sina. Подставляя в (12) значение плеча и силы, получаем: M =JaB b sina= JabB sina= JSB sina=P m B sin(P m B ) (13) Таким образом, по определению векторного произведения модуль момента сил рассчитывается как векторное произведение двух векторов P m и B . Определим порядок этих векторов в векторном произведении. (Векторное произведение некоммутативно, т.е. от порядка записи векторов зависит его знак, который (знак) соответствует направлению их произведения вдоль оси перпендикулярной пло-скости, в которой лежат эти вектора в ту или другую сторону). Вращение рамки под действием пары сил F 1 и F 3 происходит вокруг вертикальной оси, перпендикулярной P m и B (рис 9, б). Вектор вращающего момента M направлен вдоль оси вращения так, что из его конца вращение рамки под действием пары сил F 1 и F 3 видно происходящим против часовой стрелки (на рис. 4, б вектор M направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Чтобы убедиться в этом, повторите правило определения направления вектора момента сил, изученное в механике). Исходя из общего правила определения направления векторного произведения, чтобы направление М было верным, необходимо рассчитывать его так: M= [ P m , B ]. (14) 3.4. Поток вектора магнитной индукции Поток любого вектора через элементарную площадку определяется одинаково. Вспомним общее правило определения потока на примере потока вектора магнитной индукции dФ (см.рис.9) Рис.10 dФ =(B dS )=B dScos(Bn)= B dS cos(a )= Bn dS (15) 4, б вектор M направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. Чтобы убедиться в этом, повторите правило определения направления вектора момента сил, изученное в механике). Исходя из общего правила определения направления векторного произведения, чтобы направление М было верным, необходимо рассчитывать его так: M= [ P m , B ]. (14) 3.4. Поток вектора магнитной индукции Поток любого вектора через элементарную площадку определяется одинаково. Вспомним общее правило определения потока на примере потока вектора магнитной индукции dФ (см.рис.9) Рис.10 dФ =(B dS )=B dScos(Bn)= B dS cos(a )= Bn dS (15) здесь n – орт нормали к площадке dS , dS =n ×dS ; а – угол между направлением вектора индукции магнитного поля B и нормалью к площадке dS ; Bn – проекция вектора магнитной индукции на нормаль к площадке dS. Полный поток вектора B через поверхность S: (16) (При вычислении этого интеграла необходимо выбрать положительное направление нормали по одну сторону от поверхности.) Если поле однородно, а поверхность плоская, то Ф = B ×Scos( B, n) . Если при этом (при однородном поле) B параллельно n (т.е. S перпендикулярно B ), то Ф = B ×S (17) Размерность магнитного потока определяется из (17) и носит особое наименование. В СИ это Вебер – Вб=Тл×м2 . 3.4. Работа, совершаемая магнитным полем над проводником с током а) работа, совершаемая при перемещении проводника с током в однородном магнитном поле Пусть отрезок прямолинейного проводника длиной l , по которому течет ток J , переместился в однородном магнитном поле с индукцией B на расстояние dx в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля, вдоль линии действия силы Ампера (рис. (10). Магнитная сила (сила Ампера) совершит при этом работу dA =F dx cos00 =F dx =JBl sin900 dx = JBl dx . Так как l dx = S , получим dA =JB dS = J dФ. dA = J dФ (18) (Выражение (18) справедливо и в общем случае относительного расположения проводника и поля, но доказательство этого выражения для общего случая достаточно громоздко, хотя не представляет принципиальной сложности и может быть прове дено студентом самостоятельно в качестве задачи). При равно- Рис. 11 мерном движении про - водника для конечного перемещения Dх можно записать A = J DФ (19) DФ – магнитный поток сквозь поверхность прочерчиваемую проводником в процессе его равномерного движения. б) работа, совершаемая при перемещении в магнитном поле замкнутого контура с током Получим выражение искомой работы так же, как впредыдущем разделе, для частного случая. В случае осуществления условий движения, показанного на рис. 9 отрезки проводников с током – стороны b не совершают работы (движение происходит перпендикулярно к линии действия силы и угол а= 900 , в выражении для работы dA =F dx cosа превращает значение cosa в 0.) Отрезки а совершают работу, которую можно вычислить в соответствии с соотношением (17), причем работа проводника а будет положительной, а проводника b - отрицательной (косинус угла 1800 между линией действия магнитной силы и перемещением Dх равен –1). Суммарная работа контура А= J (Ф 1 -Ф 2 ). В однородном магнитном Ф 1 =Ф 2 поле DФ=Ф 1 -Ф 2 =0, DФ ¹ 0 лишь в том случае, когда происходит изменение собственного потока, пронизывающего контур проводника. Таким образом, замкнутый контур в магнитном поле может совершать работу лишь в том случае, когда изменяется поток, пронизывающий этот контур. Cоотношения (18) и (20), совпадая по внешней форме, имеют глубоко различный физический смысл. dА= J dФ (20) Как показал эксперимент Фарадея, соотношение (20) останется в силе при любом способе изменения величины потока магнитной индукции. В следующем разделе рассмотрим пример вращения замкнутого контура с током в однородном магнитном поле. б) работа, совершаемая при повороте замкнутого контура с током в однородном магнитном поле Из курса механики известно, что , здесь M – вращающий момент сил, действующий на контур с током, a - угол поворота контура; поворот осуществляется от угла a1 до a2 . В разделе 3.3 мы убедились в том, что M = [P m ,B ]. Подставляя значение момента сил и расшифровывая значение магнитного момента, производим несложное интегрирование (попытайтесь сделать это сами, прежде, чем прочтете следующий пример решения задачи) и получаем А= J (Ф 2 -Ф 1 ), (21) как и было «обещано» в предыдущем разделе. Пример решения задачи . Плоский квадратный контур со стороной а =20 см, по которому течет ток J =100 А, свободно устанавливается в однородном магнитном поле (В =0,1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси ОО`, проходящей через середины его противоположных сторон, на угол b=600 . (При повороте контура сила тока в нем неизменна.) Дано: a =0,2 м В =0,1 Тл J = 100 A b=600 Найти: А Решение Итак, , (1) здесь M – вращающий момент, действующий на контур с током, a - угол Рис.12 поворота контура; поворот осуществляется от угла a1 до a2 . В разделе 3.3 мы убедились, что M = [P m ,B ], или в скалярном виде M=JSB sina (2) (напомню, что P m =JS n ). По условию задачи контур свободно установился в магнитном поле. Это условие означает что момент сил, действующий на рамку равен нулю, это возможно, когда a=0 (см рис. 11), т.е. когда векторы P m и B совпадают по направлению. При повороте рамки именно этот угол a и будет меняться в соотношении (1) от a1 =0 до a2 =600 (3) В случае этой задачи S=а2 . (4) Подставляя (4) в (2), (2) в (1), учитывая пределы интегрирования в соответствии с (3), получаем , откуда А= Ja 2 B (-1)(cos0–- cos600 )= = J (Ф 2 Ф 1 )= =1/2×100×0,04×0,1=0,2Дж. (5) Заметим, что выражение, полученное в (5) представляет собой произведение тока J на скалярное произведение вектора магнитной индукции B и вектора-площадки S . (Что по определению представляет собой поток вектора магнитной индукции; проверьте, что угол, косинус которого стоит в формуле, соответствует углу скалярного произведения двух этих векторов.) Задачу можно было бы решить проще, сразу используя соотношение (5), но мы еще раз на этом примере убедились в справедливости завершающего вывода предыдущего раздела. Проверим размерность: [A ]=A×м2 ×Тл, размерность физической величины В – Тл, (как и любой другой) восстанавливаем с помощью соотношения, в котором она впервые появляется. Для физической величины – магнитной индукции это выражение для силы Ампера: dF =[J dl ,B ], откуда Тл= = . [A ]=A×м2 × =Н×м=Дж. Получили размерность работы Дж. §4. Движение заряженных частиц в магнитном поле 4.1. Сила Лоренца Магнитную силу в случае движения заряженной частицы в магнитном поле исследовал Лоренц. Сила Лоренца F Л =q [V ,B ] (1) Модуль этого векторного произведения: F Л =q ×V ×B sin(V ,B ), (2) Где q – заряд частицы, V – скорость ее движения, B – индукция магнитного поля. Проверьте, что размерность В, полученная из соотношения для силы Лоренца совпадает с размерностью, полученной из соотношения для силы Ампера. Можно провести аналогию между силой Лоренца и силой Ампера, если в определении силы тока J =dq /dt вместо dq записать величину элементарного заряда, а бесконечно малый делитель dt в формуле отнести к dl : F Л =dq/ dt [dl ,B ]= dq [dl / dt ,B ]= q [V ,B ] =F Л (3) (Но (3) нельзя считать доказательным выводом формулы для силы Лоренца из соотношения для силы Ампера. Операция дифференцирования применяется лишь до тех пор, пока величину заряда можно считать непрерывной. Дискретный элементарный заряд нельзя подвергать операции дифференцирования.) Промышленные токи имеют дело с зарядами, для которых дискретный характер заряда @10-19 Кл не проявляется в эксперименте при вычислении величин.Направление силы Лоренца можно определять по правилу левой руки, по правилу буравчика или по общему правилу определения векторного произведения как и в случае силы Ампера. Таким образом, сила Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат вектора магнитной индукции и скорости заряженной частицы (рис. (12)). Сила Лоренца, будучи всегда направлена перпендикулярно Рис.10 скорости заряженной частицы, сообщает ей нормальное ускорение, заставляя ее (частицу) двигаться по окружности, и не изменяет модуля ее скорости. Сила, перпендикулярная направлению движения не совершает работы (за счет равенства нулю косинуса в соотношении для силы и работы). Таким образом, сила Лоренца не совершает работы. 4.2. Примеры движения частиц в однородном магнитном поле а) угол a между векторами скорости заряженной частицы V и вектором магнитной индукции В равен 0 или p . В этом случае сила Лоренца равна нулю за счет равенства нулю синуса в векторном произведении соотношения (2) F Л =q ×V ×B sin(V ,B )= 0. В отсутствии действующих на частицу сил, она будет двигаться не изменяя скорости (по первому закону Ньютона). б) угол a между векторами скорости заряженной частицы V и вектором магнитной индукции В равен p /2 , то есть V перпендикулярна В . Тогда F Л =q ×V ×B (3) Частица будет двигаться по окружности в плоскости перпендикулярной вектору В. Поскольку, как мы уже отмечали ранее, сила Лоренца является центростремительной силой. Вспоминая из механики чему равно центростремительное ускорение, запишем: q ×V ×B =F Л =m ×aц =m =q ×V ×B, откуда R = . (4) Поскольку поле однородно, (В = сonst), и численное значение скорости не меняется. (Перпендикулярно направленная к ней (к скорости) сила не изменяет модуля скорости.) Поэтому R = сonst. Частица будет двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна В . Как видно из (4) радиус окружности зависит Рис. 14 от отношения заряда частицы к ее массе: , эта величина часто встречается в соотношениях физики и носит особое наименование, она называется удельным зарядом частицы. По характеру отклонения частицы в магнитном поле можно судить о знаке ее заряда. Эксперимент показывает, что для определения направления вращения частицы надо с помощью рис. 13 применить правило левой руки, учитывая, что отрицательная частица летит против направления тока (поскольку все соотношения электромагнетизма выведены с учетом того, что ток течет в направлении от + к -). В общем случае период обращения частицы при ее движении по окружности равен длине окружности - 2pR (пройденному частицей пути), поделенному на скорость ее движения - V . В магнитном поле период обращения частицы по окружности с учетом (4) равен: Т= (5) Анализируя (5) можно отметить, что период обращения частицы по окружности в магнитном поле не зависит от ее скорости. (Зависимость периода от скорости проявится лишь при стремлении V к скорости света С: V®C). в) Общий случай движения заряженной частицы в магнитном поле 0< a < p /2 (рис. 14) Одно из проявлений принципа суперпозиции состоит в том, что при анализе движения мы можем разложить вектор скорости на две любые перпендикулярные составляющие и изучать движение вдоль каждого из двух взаимно перпендикулярных направлений независимо друг от друга. Выбор перпендикулярных направлений мы осуществляем наиболее удобным в условиях заданной задачи образом. В нашем случае Рис. 14 пусть B и B . Задача свелась к двум предыдущим задачам: к движению со скоростью параллельной B и движению со скоростью перпендикулярной B , причем =V cosa , а =V sina (6) Частица движется по окружности, плоскость которой B со скоростью . И в то же время она движется поступательно с постоянной скоростью в направлении параллельном B . Таким образом, результирующая траектория заряженной частицы в постоянном магнитном поле представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с одной из силовых линий магнитного поля. (рис. 15). Частица, как бы навинчивается на силовую линию магнитного поля.) Причем шаг винтовой линии h (см. рис. 14) равен пути, пройденному вдоль винтовой линии, который (путь) равен скорости вдоль этого направления =V cosa , помноженной на время, затраченное на прохождение этого пути, которое (время) по определению шага винтовой линии равно как раз периоду обращения частицы вокруг силовой линии: t=T. Учитывая значения скорости (6) и периода (5), получаем: h = V cosa . (11) Пример решения задачи . Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U =1 кВт, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В =0,03 Тл под углом a =300 к направлению силовых линий поля. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон. Рис. 15 При решении данной задачи обычно полностью повторяют выводы а), б) и в) данного раздела, так, что раздел 4.1 можно считать решением данной задачи. В условии задачи значения B и a заданы явно, а скорость - V , задана неявно. Найдем в явном виде скорость и воспользуемся полученными ранее формулами. Пройдя ускоряющую разность потенциалов U , электрон разгоняется и приобретает скорость, которую можно найти из закона сохранения энергии. В подобных задачах предполагают, что в начальный момент времени заряженная частица имела нулевую скорость (эксперимент производимый в современных ускорителях подтверждает уместность такого предположения). Значит, разогнавшись, частица совершит механическую работу, равную изменению ее кинетической энергии А = (1) (в продолжении подобного эксперимента потенциальная энергия частицы не меняется, поскольку гравитационная сила исчезающе мала по сравнению с магнитной). Эта работа А совершается силами электрического поля. По определению разности потенциалов , где q – заряд частицы. В случае электрона заряд q равен заряду электрона, который обозначается символом e . Таким образом с другой стороны та же самая работа равна А= Ue . (2) Объединяя (1) и (2), получаем: = Ue , откуда , (3) где m e – масса электрона. Используя полученные ранее формулы (7) и (11), подставляя в них найденное значение V , получаем: (4) h = V cosa = (5) Проверим размерности полученных величин: Пояснение вывода размерности: в первом равенстве мы поименовали размерности входящих в (4) величин; во втором равенстве мы выразили размерность разности потенциалов - (U ), (Вольт, В) из определения разности потенциалов U = A / q , где размерность работы – А, это Джоуль (Дж), а размерность электрического заряда – q , это Кулон (Кл). А также во втором равенстве мы выразили размерность В - магнитной индукции – Тл, через соотношение силы Ампера (как на с. 28 этого методического пособия); в последнем равенстве мы расписали (Дж) через определение работы, (Н) через второй закон Ньютона (который представляет собой определение силы) и упростили выражение, сократив одинаковые размерности. Чтобы понять особенности вывода размерности шага винтовой линии, достаточно изучить данное абзацем выше пояснение, поскольку «шаг» зависит от тех же физических величин, что и радиус, следовательно, и расшифровки размерностей будут такие же. Вычислим числовые значения величин: Задача решена. Ответ: Радиус винтовой линии равен 1,8 мм, а шаг равен 1,96 см. §5 Электромагнитная индукция 5.1. Закон электромагнитной индукции Запишем полученное ранее соотношение (20, § 3) для работы, совершаемой магнитными силами при движении замкнутого контура в магнитном поле. dA = J dФ (1) По закону сохранения энергии эта работа должна быть на что-то затрачена. Она (работа) в этом случае может быть затрачена лишь на выделение тепла в контуре. Можно предположить, что это тепло Джоулево, т.е. разогрев проводника произойдет под действием направленного движения заряженных частиц, т.е. по проводнику потечет ток. Джоулево тепло подсчитывается по формуле – dQ = UJ dt . Приравнивая теплоту работе магнитной силы, получим: UJ dt = J dФ. (2) Поделив правую и левую части (2) на J dt , получим . (3) Согласно (3) можно предположить, что в замкнутом контуре, помещенном в магнитное поле при изменении во времени потока магнитной индукции в нем (в контуре) может возникать ЭДС индукции равная по величине dФ/ dt , которая вызывает (в контуре) падение напряжения равное U . Фарадей обнаружил это явление экспериментально (1831 г.). В замкнутом контуре, помещенном в магнитное поле при изменении потока магнитной индукции пронизывающего этот контур возникает ЭДС магнитной индукции x, равная x= -dФ/ dt (3) Знак (-) в (3) означает тот экспериментальный факт, что возникающая ЭДС производит индукционный ток , препятствующий изменению потока (правило Ленца). Правило Ленца соответствует условию выполнения закона сохранения энергии. Можно убедиться на конкретных примерах, что иначе закон сохранения энергии не выполнилось бы. Рис. 15 иллюстрирует как при увеличении магнитного потока Ф =(В, dS ) через контур возникающий ток уменьшает значение модуля В в пространстве плоскости контура (рис. 15, а) и увеличивает при уменьшении Ф . Эксперимент Фарадея показал, что возникающая ЭДС не зависит от способа, которым изменяют поток через поверхность, «натянутую» на контур. Магнитный поток может меняться, благодаря изменению формы контура и его расположения в магнитном поле, а также вследствие изменения во времени индукции В . Если закон изменения Ф (t ) не известен в общем виде в каждый момент времени, то рассчитывают среднее значение ЭДС индукции для моментов времени в которые Ф (t ) известны <x>=(Ф 2 -Ф1 )/ (t2 - t1 ) (4) Если контур, в котором индуцируется ЭДС, состоит из N витков (как, например, в случае соленоида), то индуцируемая ЭДС будет равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом из витков в отдельности (5) Рис. 15 Величина Y= называется потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если магнитный поток через каждый виток соленоида одинаков, то Y= . (6) Поскольку числовая константа N – безразмерна, то размерность потокосцепления такая же, как у потока - [Y]=[Ф ]=Вб. 5.2. ЭДС электромагнитной индукции в отрезке проводника Эдс электромагнитной индукции возникает не только в замкнутом проводнике, но и в отрезке проводника, пересекающем при своем движении линии индукции магнитного поля (рис. 16). Величина xi , возникшая в отрезке проводника l при перемещении в магнитном поле определяется тем же выражением (3): x= -dФ/ dt , (3) однако, смысл изменения магнитного потока несколько иной, а именно dФ /dt – это отношение магнитного потока сквозь поверхность, прочерчиваемую проводником при его движении за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка. ЭДС индукции в отрезке проводника будет наводиться как в постоянном так и в переменном магнитном поле. Соотношение (3) может быть выведено из соотношения для работы отрезка проводника с током в магнитном поле совершенно аналогично тому, как (3) выведено из (1). Рис. 16 5.2. Явление электромагнитной самоиндукции Вокруг всякого проводника с током существует собственное магнитное поле, которое (поле) создает потокосцепление в контуре, который (контур) этот проводник образует. Эксперимент показывает, что это (собственное) потокосцепление в свою очередь изменяет ток в контуре. Таким образом, ток действует сам на себя, например, замедляя нарастание собственной величины в катушке при замыкании цепи или замедляя убывание тока при ее (цепи) размыкании. Эксперимент показывает, что потокосцепление самоиндукции Yс пропорционально току, текущему по проводнику, и зависит от формы, размеров контура, а также от магнитных свойств среды: Yс =LJ , (7) где коэффициент – L , называемый индуктивностью проводника (контура) как раз и учитывает форму и размеры проводящего контура и магнитные свойства среды. Так индуктивность соленоида[2] L =mm0 n 2 lS , (8) здесь n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, l – длина соленоида, S – площадь одного витка контура с током. Физическая величина L играет важную роль в электротехнике, поэтому ее размерность имеет собственное наименование Генри (Гн). Генри связывают с остальными величинами физики с помощью соотношения (7): [L ]=Вб/А=Гн Если L остается постоянной (форма и размеры контура не изменяется, а также остается постоянной магнитная проницаемость среды – (ферромагнетиков нет см. § 7), то из (3), (6) и (7) следует xс = - L dJ / dt , (9) здесь dJ / dt – скорость изменения тока в контуре. В общем случае xс = - dY с / dt (9) Среднее значение ЭДС самоиндукции за интервал времени Dt определяется изменением тока DJ за этот интервал времени: <xс >=- L DJ / Dt (10) Примеры решения задач. В качестве примера возникновения ЭДС электромагнитной индукции в контуре можно рассмотреть наиболее часто встречающийся на практике случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения лежит в плоскости витка и перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В . Пример 1. В однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, содержащая N =1000 витков. Площадь рамки S =150 см2 . Индукция поля B =0,1 Тл. Рамка делает n =10 об/с. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки a0 =300 и момент времени, соответствующий этому повороту. Дано: N =1000 B =0,1 Тл S =150 см2 = =150×10-4 м2 n =10 об/с a0 =300 = Найти: x-?, t 0 Решение. Нередко случается, что текст задачи, приведенной в задачнике, оказывается недоопределенным. Наша задача недоопределена. Решим ее для случая, когда в начальный момент времени плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля и рамка вращается вокруг оси перпендикулярной линиям поля и проходящей через середины противоположных сторон рамки (рис.17). Мы доопределили задачу. Благодаря (6, § 5.1), эту задачу можно решить для одного витка, а затем результат умножить на N). Подставляя (2) в (1), получим (3) Так как по условию рамка вращается равномерно, т.е. угол a зависит от времени по линейному закону w=const и a=wt , следовательно: Ф= B Scosa= BS coswt (4) Здесь B – магнитная индукция, S – площадь витка, w - угловая скорость равномерного вращения. Угловая скорость, входящая в соотношения, записанные в системе единиц СИ, связана с числом оборотов в единицу времени соотношением w=2pn . (5) (Число оборотов в минуту чаще называется частотой вращения и обозначается n) Подставляя (4) и (5) в (3), получаем: Нам необходимо определить x для того момента времени, когда аргумент синуса 2pnt= a0 , откуда (7) t=a0 /2pn. (8) Проверяем размерность: [x]= . [t ]= . Находим числовые значения величин: x=1,5×10-2 ×6,28×103 ×10×0,1× =47,1В; t = с. Задача решена. Ответ: ЭДС индукции равна x=47,1 В, момент времени равен t =8×10-3 с. Пример 2. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 А в секунду, то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции x=0,08 В. Найти индуктивность соленоида. Дано: DJ = 50 A Dt = 1 c xc =0,08 В Найти: L ? Решение: Применим (10): <xс >=- L DJ / Dt (1) т.к. в условиях нашей задачи за любой промежуток времени Dt = 1 c ток изменяется на одну и ту же величину DJ = 50 A, dJ /dt ºDJ / Dt. При расчете константы, которая зависит от материала и конфигурации соленоида знак можно опустить (знак имеет значение в задаче определения направлений тока и (или) силовых линий индукции). L = (2) Размерность индуктивности – L, (Гн) как раз и определяется из соотношения (2): [L ]= =Гн. Найдем численное значение индуктивности: L =0,08/50=1,6×10-1 Гн =1,6 мГн. Задача решена. Ответ: индуктивность равна L =1,6 мГн. §6. Энергия магнитного поля Магнитное поле способно совершать механическую работу, следовательно, оно обладает энергией. Энергию магнитного поля можно определить, если подсчитать либо механическую работу, затрачиваемую на создание поля, либо работу, которая совершается в процессе исчезновения поля. По определению разности потенциалов dА /dq= U , разность потенциалов в контуре, вызываемая ЭДС самоиндукции производит работу (с учетом dq =J dt ): dA=xc J dt, где xc =L dJ /dt . За все время установления тока в цепи (за время создания магнитного поля) совершается работа: А = (1) При создании поля в начальный момент времени t 0 =0, ток равен нулю J =0, конечному времени создания поля t к соответствует установившийся ток J к , что учтено в установлении пределов интегрирования (1). Если индуктивность контура не зависит от силы тока в нем (т.е. m среды не зависит от силы тока в контуре, см. следующий параграф) то величина L выносится за знак интеграла, как константа, и А = (2) Эта работа целиком идет на создание магнитного поля, значит численно эта работа равна энергии магнитного поля. W = (3) Для соленоида, у которого L =mm0 n 2 V , (см. 8, § 6) выражение для энергии магнитного поля имеет вид: W =mm0 n 2 VJ 2 / 2 (4) Здесь V = l × S – объем соленоида. Выразим энергию магнитного поля через силовые характеристики магнитного поля – В и Н . В случае бесконечно длинного соленоида (практически, когда длина соленоида l много больше диаметра его витка d , l >> d ) H = nJ , откуда J = H / n (5) Здесь n – число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины. Подставляя значение тока из (5) в (4), получим (6) Учитывая связь Н и В , получим: (7) Магнитное поле бесконечно длинного соленоида было бы однородно, отлично от нуля только внутри соленоида и распределено по его объему с постоянной, объемной плотностью w=W / V : (8) [3] §7. Магнитные свойства вещества Эксперимент показывает, что магнитное поле проводников с токами, находящихся в какой-либо среде, существенно изменяется по сравнению с магнитным полем этих же проводников в вакууме. Это объясняется тем, что всякое вещество способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент – намагничиваться, в связи с этим (способностью намагничиваться) всякое вещество называют магнетиком. Модель, объясняющая подобные эксперименты, состоит в предположении движения электрических зарядов в атомах и молекулах вещества, которое создает микроскопические (молекулярные) токи, которые (токи) образуют собственные магнитные моменты атомов и молекул (см. §3.3). Ученые предположили, что магнитные моменты атомов и молекул в отсутствии внешнего магнитного поля ориентированы хаотически и далее, что, будучи помещенными во внешнее магнитное поле, собственные магнитные моменты атомов или молекул вещества приобретают преимущественную ориентацию и суммарный магнитный момент магнетика становится отличным от нуля. Расчеты, выполненные в соответствие со сделанными, таким образом, предположениями чаще всего дают хорошее согласие с опытом. Для характеристики намагниченности магнетика введена физическая величина – вектор намагниченности – J (не путать с величиной силы тока – J). J – представляет собой результирующий магнитный момент единицы объема вещества. J= . (1) Эксперимент показывает, что для изотропной среды связь между силовыми характеристиками магнитного поля определяется соотношением Н =В /m0 - J (2) Из (2) видно, что [ J ]= [Н ]= А/м. Соотношение (2) выполнится и в отсутствии вещества. В вакууме J =0 и мы приходим к полученному ранее соотношению связи В и Н : Н =В /m0 (3) Опыт показывает, что намагниченность магнетика пропорциональна внешнему магнитному полю: J= c× Н, (4) где коэффициент пропорциональности - c, для одних веществ зависит от Н , такие вещества называют ферромагнетиками, для других не зависит. Подставляя (3) в (2), получим: Н = . (5) Безразмерная величина m=1+c называется относительной магнитной проницаемостью, учитывая это переобозначение, получаем: Н =В /mm0 , откуда В = mm0 Н . (6) Отметим, что векторы В и Н имеют одинаковые направления только в изотропной среде. В данном случае анизотропия пространства может проявляться в том, что вдоль разных направлений ориентации В в веществе, мы будем получать разные значения m. Используя (3) и (5), получим: m= В/ В 0 , (7) где В 0 – мы обозначили магнитное поле вещества в вакууме. Таким образом, относительная магнитная проницаемость среды - m, показывает во сколько раз изменяется магнитная индукция в веществе по сравнению с ее значением в вакууме. По магнитным свойствам вещества подразделяют на парамагнетики, диамагнетики и феррамагнетики. Парамагнетики имеют m>1, следовательно c=m-1>0. Магнитное поле в парамагнетике незначительно возрастает. Вещества с m<1 и c=m-1<0 называют диамагнетиками. Такие вещества незначительно ослабляют поле. На этом заканчивается изложение теоретического материала. В соответствии со следующей таблицей студенты заочного отделения выполняют контрольные работы. Задачи под номерами, соответствующие номерам в этой таблицы приведены ниже. Таблица 1       Вари-ант Н о м е р а з а д а ч 0 4.04 4.11 4.30