а. 11 Заключение. 16 НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ КГООУ «Красноярская санаторная школа-интернат». ПРОЦЕНТ – ЕГО ВЕЛИЧЕСТВО Выполнила ученица 7 класса КГООУ «Красноярская санаторная школа-интернат» Тевризова Маргарита. Руководитель: учитель математики КГООУ «Красноярская санаторная школа-интернат» Сташкова Надежда Федоровна. Красноярск 2010 г. ОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение 3 Глава I. Процент - его величество. 5 Глава II. Исследования по теме а. 11 Заключение. 16 Список литературы. 17 Приложение ответы и решения. 18 ВВЕДЕНИЕ Проценты - одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Мы часто читаем или слышим, что, например, - рейтинг хит-парада равен 75 %; - уровень инфляции составляет 8 % в год; - банк начисляет 12 % годовых; - молоко содержит 3,2 % жира…, но, иногда, не понимаем, о чем идет речь. Во многих школьных учебниках естественно – математического цикла встречаются задачи на проценты, но в них нет компактного и четкого изложения соответствующей теории вопроса. Практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у многих учащихся и взрослых при использовании процентов в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку, так как прикладное значение этой темы затрагивает демографическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Цель исследовательского а: раскрыть практическую значимость знаний понятия «процент» и показать широту применения процентных расчетов в реальной жизни. Задачи: - знать широту применения процентных вычислений в жизни; - научиться решать основные задачи на проценты; - применять устные и письменные приемы, рационализирующие вычисления. Методы проведенных исследований: - анализ исторических сведений о процентах; - мониторинг знаний учащихся 6 – 9 классов при решении простейших задач на проценты; - подбор некоторых видов задач на процентные расчеты Основные результаты научно-исследовательской работы: - выделены основные понятия, связанные с темой « Проценты»; - рассмотрены алгоритмы решения типовых задач; - подобраны серии задач на расчеты процентов в жизненных ситуациях. ГЛАВА 1 ПРОЦЕНТ – ЕГО ВЕЛИЧЕСТВО Что такое его величество процент? Процент – это сотая часть числа Проценты были известны индийцам ещё в 5 веке. Индийские математики вычисляли проценты, применяя тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления. [7](Энциклопедический словарь юного математика,1989 год). До нас дошли в клинописных табличках вавилонян задачи на расчёт процентов. Ими же были составлены таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег (они считали не со ста, а с шестидесяти, т.к. вавилоняне пользовались шестидесятеричными дробями). Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем мире. В средние века в Европе, в связи с широким развитием торговли, много внимания обращали на умение вычислять проценты. Отдельные конторы и предприятия разрабатывали свои таблицы, которые составляли коммерческий секрет. Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). [13](Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9 классы, авт. – сост. Студеницкая Л.С. и др., 2006 год). Долгое время под процентами понимали исключительную прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Это применялось только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали встречаться в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова pro centum, которое в переводе означает «за сотню» или «со ста». В процентных расчётах в то время писали, например, 17 сто. Из упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента (17 %). Существует и другая версия: предполагается, что этот знак произошёл в результате опечатки наборщика. В 1685 году в Париже была опубликована книга « Руководство по коммерческой арифметике » Матье де ла Порта, где наборщик принял «cto» за дробь и напечатал «%» [1](Виленкин Н.Я. и др., Математика, 5 класс,2007год). После этой ошибки математики стали употреблять знак «%» для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие тысячные доли, «промилле» (от латинского слова «pro mille» - «с тысячи», обозначаемые по аналогии знаком «‰»). Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему её развитию. Для успешного решения задач на проценты полезно: - знать определение процента: 1% = 0,01 = 1/100; Р % = 0,01Р = Р / 100; - уметь переводить проценты в десятичную или обыкновенную дробь; - помнить , что: 50% величины - это её половина, 50% = 0,5 = ½ 25% величины - это её четвёртая часть, 25% = 0,25 = ¼ 20% величины - это её пятая часть, 20% = 0,2 = 1/5 10% величины - это её десятая часть, 10% = 0,1 = 1/10. 40% величины - в 4 раза больше, чем 10%. 33% величины - это примерно её треть. 100% = 1, 12,5% = 0,125 = 1/8, 200% = 2, 5% = 0,05 = 1/20, С процентами связаны следующие основные понятия: 1. Нахождение процентов данного числа. 2. Нахождение числа по его процентам. 3. Нахождение процентного отношения чисел. 1. Как найти процент от числа? Чтобы найти процент от числа, надо: - выразить процент обыкновенной или десятичной дробью; - умножить данное число на эту дробь. Например, найдём 18% от 20. Найдём 4 % от 8. 18% = 0,18 4% = 0,04 20*0,18 = 3,6 8*0,04 = 0,32 Можно и так: 20:100*18 = 3,6 8:100*4 = 0,32 Как устно найти, а% от в (или в% от а)? Найдём а% от в: в:100 * а = а*в:100. и в% от а: а: 100 * в = а * в: 100. Результаты одинаковые. Значит, вместо того, чтобы находить 12 % от 25, найдём 25 % от 12. Это будет 3. 18 % от 50, т.е. 50 % от 18. 1/2 *18 = 9. 15 % от 20, т. е. 20 % от 15. 1/5 * 15 = 3. Можно и так : 18 % от 50 18 * 50 : 100 = 900 : 100 = 9. 15 % от 20 15 * 20 : 100 = 300 : 100 = 3. 14 % от 5 14 * 5 : 100 = 70 : 100 = 0,7. 8 % от 125 8 * 125 : 100 = 1000 : 100 = 10. При решении задач на нахождение процента от данного числа, важно помнить от какого числа находить процент. Задача[9]. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет 75 % длины. Вспахано 35 % этого участка. Сколько гектаров не вспахано? Длина - 120 м 35 % площади вспахано Ширина – 75 % 65 % площади не вспахано 120* ( 120 * 75 : 100 ) * 65 : 100 = 7020(м² ) = 0,702(га) или 120 * (120 * 0,75) * 0,65 = 7020(м ²) = 0,702(га). Задача [9] . Длина дистанции трёхдневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25 % всего пути, а во второй 55 % оставшегося пути. Сколько километров проехали велосипедисты в третий день? 1день – 25 % 480 : 4 = 120(км) – проехали в1 день. 2 день – 55 % остатка 480 – 120 = 360(км) – остаток. 3 день - ? 360 * 0,55 = 198(км) – проехали во 2 день. 360 – 198 = 162(км) – проехали в 3 день. Задача[11]. Телевизор стал дороже на 10 %, а потом его цена понизилась на 10 %. Стал он дороже или дешевле? Телевизор стал дешевле, т. к. второй раз 10 % берётся от большего числа. 2.Как найти число по его проценту? Чтобы найти число по его проценту, надо: - выразить проценты дробью; - разделить данное число на эту дробь. Задача [8] . Найти число, 4 % которого равны 8. 4 % = 0,04, 8 : 0,04 = 800 : 4 = 200 или 8:4*100=200. Задача [8] (устно). Найти число, 25 %, 20 %, 10% которого равны 12. Ответ : 48, 60, 120. Задача [12] . 36 участников соревнований по лыжам стартовали на дистанции 3 км, а остальные 55 % участников стартовали на дистанции 2 км. Сколько участников стартовало на дистанции 2 км? Решение. 3 км - 36 участников. 2 км -?, 55% всех. 1 способ. 100%-55%=45% - на 3 км 36: 0,45 = 3600 : 45 = 80(уч.) – всего 80 – 36 = 44(уч.) – на 2 км. 2 способ. 100%-55%=45% - на 3 км 36 : 45 * 55 = 44(уч.)- на 2 км. Задача [8] . Тупой угол разбит двумя лучами на 3 угла. Найти его величину, если один из углов 78˚, другой составляет 40 % от ÐАВС, а третий 20 % от второго. Пусть х – величина ÐАВС, тогда ÐКВМ = 0,4х, а ÐМВС = 0,4х * 0,2 = = 0, 08х, т.к. ÐАВК=78˚, то 78˚ + 0,4х + 0,08х = х. х – 0,48х = 78˚ 0,52х = 78˚ х = 78˚: 0,52 х = 150˚. Ответ : величина тупого угла 150˚. 3. Как найти процентное отношение чисел? Чтобы найти процентное отношение чисел надо : отношение этих чисел умножить на 100 ( а : в * 100 ). Например. Сколько процентов составляет 150 от 600? 150: 600 * 100 % = 25 %. Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо: а) найти, на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина; б) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины. Задача[8] . Найти изменения величины в процентах, если она именилась: а) от 40 до 48? в) от 200 до 50? 48 – 40 = 8 200 – 50 = 150 8 : 40 = 0,2 = 20 %. 150 : 200 = 0,75 = 75 %. Величина увеличилась на 20 % Величина уменьшилась на 75 %. Задача [11] . Как изменится площадь и периметр квадрата, если его сторону увеличить на 20 %? была стала изменилась сторона квадрата Х 1,2Х 0,2Х 20 % площадь Х2 1,44Х2 0,44Х2 44 % периметр 4Х 4,8Х 0,8Х 20 % ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕМЕ А В сборниках тестов по математике для промежуточной аттестации включено много заданий на вычисление процентов. А много ли их в наших учебниках? Оказалось, что не так и много, причем большее их число приходиться на 5-6 классы. Математика 5класс [1] 65 задач Математика 6 класс [2] 90 задач Алгебра 7 класс [4] 15 задач Алгебра 8 класс [5] в 5 заданиях Алгебра 9 класс [6] 30 задач Сборник тестов для промежуточной аттестации (под редакцией Лысенко Ф.Ф., 2008 год) [15] в 24 вариантах из 30 Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ (под редакцией Денщиковой А.Г., 2005 год) [14] в 18 заданиях из 280 Умеют ли решать задачи на проценты ученики нашей школы? Для выяснения этого вопроса были составлены и предложены для решения простейшие, типовые задачи: 1. Сколько человек в театре, если 1 % всех зрителей составляет 7 человек? 2. За первую четверть ученик получил «отлично» по 4 предметам из 16. Сколько процентов «отличных» баллов у этого ученика? 3. Первую четверть 67,5% учащихся лицея закончили удовлетворительно, а остальные имели хорошие и отличные оценки. Сколько процентов учеников имели хорошие и отличные оценки? 4. 15 % от 40 – это сколько? Получили следующие результаты: Решали задачи 6«а»кл. 6«б» кл. 7«а»кл. 7«б»кл. 8кл. 9кл. всего Количество учащихся 9 12 12 16 20 15 84 №1 3 6 6 15 11 14 54 (64%) №2 1 0 0 4 4 8 17 (20%) №3 1 0 9 12 4 7 33 (40%) №4 1 0 1 1 3 6 12 (14%) Из таблицы видно, что ученики школы слабо решают задачи на проценты т.к. не знают алгоритмов решения типовых задач и свойств, рационализирующих вычисления. Задачи №2 и №4 оказались самыми сложными. Только 2 ученика из 8 класса справились с решением всех четырех задач. Лучший результат у учеников 9 класса и совсем слабые знания процентов у учеников шестых классов. Для того чтобы научиться решать задачи на процентные вычисления, а также увидеть необходимость этого умения во взрослой жизни, в этой работе представлен комплекс задач для устных и письменных вычислений. Для устного решения: 1. Найти 1% от: А) 34000 р.; г) 700 овец; Б) 1 км ; д) 6 тыс. жителей; В) 200г; е) 12 т. 2. Найти целое, если 1% от него составляет: А) 10 р; г) 0,03 а ; Б) 38 чел; д) 5 кг; В) 0,2 л; е) 3 мин. 3. Найти: А) 50% от 200; Г) 20% от 50; Б) 20% от 750; Д) 25% от 1200; В) 10% от 15000; Е) 75% от 40. 4. Что больше: А) 15% от 17 или 17% от 15? Б) 72% от 20 или 70% от 22? В) 1,2% от 17 или 12% от 170? На расчеты в жизненных ситуациях [10]: 1. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара? 2. При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 9000 рублей. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц? Замечание: при начислении налога на доходы физических лиц учитывать вычет 400 рублей, налог 13% берется от оставшейся суммы. 3. Занятия ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке ежемесячно по 250 рублей. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю? 4. Цена за лечение пульпита составляет 250% от цены за лечение кариеса. Сколько денег пришлось потратить родителям шестиклассника, если при осмотре у него обнаружился кариес на трёх зубах и пульпит на двух, а лечение одного кариозного зуба стоило 356 рублей? На тему «Здоровье» [13] : 1. Повышенную работоспособность человек испытывает два раза в день – с 9 до 13 ч дня и с 19 до 21 ч вечера. Какую часть суток человек испытывает прилив сил? Выразите ответ дробью и в процентах. 2. В период эпидемии гриппа 70% учащихся 7 класса заболели. Сколько учеников «устояло» перед вирусом, если всего в классе 20 человек? 3. Неразумный молодой человек выкуривает в день пачку сигарет по цене 24,8 р. Какой процент своего месячного заработка он тратит на сигареты, если зарабатывает 3500 рублей в месяц? 4. В России ежегодно умирает 500000 мужчин среднего возраста. 42% из них умирает из-за болезней, связанных с курением. Сколько человек могли бы продолжать жить, если бы своевременно бросили курить? 5. Из 32 учащихся восьмых классов в день контрольной работы 25% болели гриппом, 25% из оставшихся болели ОРВИ и двое из оставшихся просто проспали. Сколько учеников «мужественно сражалось» с заданиями контрольной работы? 6. Учебный год состоит из 9 месяцев. Каникулы и праздники отнимают месяц. Полноценно ученик работает только вторник, среду и четверг. Сколько дней за учебный год ученик проработал полноценно? Какую часть эти дни составляют от всего учебного времени? Выразите ответ в процентах. Занимательные задачи [12] : 1. На складе хранится центнер огурцов. Влажность их (т. е. количество содержащейся в них воды) составляет 99%. Полежав на складе, огурцы подсохли. Теперь их влажность составила 98%. Каким стал вес всех этих огурцов? 2. Витя Верхоглядов записал два числа. Нашёл 1% каждого числа. Полученные числа оказались равными. Может ли такое быть? 3. Задумайте десятичную дробь. Умножьте её на 100. Найдите 1% полученного числа. В итоге получилось задуманное число. Почему? 4. У горного барана весом150 кг масса рогов равна 30 кг. Сколько процентов составляет масса рогов от веса тела: 20% или 25%? 5. Рост человека археологи могут определить даже по отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости составляет 22% роста человека, а локтевой кости составляет 16% роста человека. А) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 39,3 см. Каков был рост человека? Б) Как можно доказать, что локтевая кость длиной 20,3 см не могла принадлежать тому же человеку? ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе сделана попытка раскрытия практической значимости понятия «процент» и показа широты применения процентных расчетов в реальной жизни через рассмотрение различных типов задач на простые проценты. Подобраны некоторые виды задач на процентные расчеты, а также показаны устные и письменные приемы, рационализирующие вычисления: а) для устных упражнений (найти, а% от в или в% от а) по формуле: а*в:100 б) для определения процентного отношения чисел а и в по формуле: а:в*100 в) при арифметическом решении: находить, сколько того или иного вещества приходится на один процент. Производить процентные расчеты необходимо уметь каждому человеку не только для успешной аттестации в школе, но и для того чтобы знать широту их применения во взрослой жизни. Только тогда, например, обманутый в торговой сделке покупатель может обоснованно требовать процент торговой скидки или вкладчик сбережений будет учиться жить на проценты, грамотно вкладывая деньги в прибыльное дело. ЛИТЕРТУРА 1 Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чеснаков А.С., Швацбург С.И. Математика 5. – М.: Мнемозина, 2007, 2 Математика 6. – М.: Мнемозина, 2007. 3 Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е., Семёнов П.В. 4 Алгебра 7. – М.: Мнемозина, 2007, 5 Алгебра 8. – М.: Мнемозина, 2009, 6 Алгебра 9.- М.: Мнемозина, 2009. 7 Эциклопедический словарь юного математика /сост. Э-68 Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. 8 Математика 8 – 9 классы: сборник элективных курсов / авт. – сост. Сагателова Л.С., Студеницкая В.Н. – Волгоград: Учитель, 2006. 9 Математика 5 класс: 2 полугодие: Подсказки на каждый день: Рабочая тетрадь. – М.:Гуманит. изд. Центр ВЛАДОС, 1998. 10 Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984. 11 Шарыгин И.Ф. Математический венигрет.: - М.:Орион, 1991. 12 Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя – М.: Просвещение, 1995. 13 Акимова Т.А.: Сборник заданий по математике на тему здоровье. 5 – 9 классы: Методическое пособие. М.: 2003. 14 Учебно-тренировачные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика - М.:Интеллект-центр. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др.,2005. 15 Сборник тестов для промежуточной аттестации под редакцией Лысенко Ф.Ф., 2008 год ПРИЛОЖЕНИЕ: Ответы и решения. Для устного решения 1. а)340р; в)2г; д)60жит; б)10м; г)7овец; е)120кг. 2. а)1000р; в)20л; д)500кг; б)3800ч; г)3а; е)5ч. 3. а)100; в)1500; д)300; б)150; г)10; е)30. 4. а)1,5*17=1,7*15 б)7,2*20>0,7*22 в)0,012*17<,012*170 На расчеты в жизненных ситуациях 1. Пусть а – первоначальная цена, на 0,3а – снизили. а – 0,3а = 0,7а – цена после снижения. 0,7а * 0,3 = 0,21а – на столько повысили 0,7а + 0,21а = 0,91а – новая цена. а – 0,91а = 0,09а, на 9% понизилась цена. 2. (9000 – 400)* 0,13 = 1118(р.) – налог. 9000 – 1118 = 7882(р.) 3. Найдём 4% от 250. 250 * 0,04 = 10(р.) – стоит один просроченный день. 10 * 7 = 70(р.) – штраф. 250 + 70 = 320(р.)- придётся заплатить. 4. 356: 100 * 250 = 890(руб.) стоит лечение пульпита. 356 * 3 + 890 * 2 = 1068 + 1780 = 2848(руб.) стоит всё лечение. На тему «Здоровье» 1. С 9 ч до 13 ч - 4 часа. С 19 ч до 21 ч - 2 часа. 6: 24 = 0,25 = 25%. 2. 100% - 70% = 30% учеников не заболели. 20 * 0,3 = 6(чел.) – « устояли» перед вирусом. 3. (24,8 * 30) : 3500 = 0,21≈22%. 4. 500000 * 0,42 = 210000(чел.) 5. 32 * 0,25 = 8(чел) болели гриппом. ( 32 – 8 )* 0,25 = 6(чел.) болели ОРВИ. (32 – 8 – 6 ) – 2 = 16(чел.) решали контрольную работу. 6. 9 – 1 = 8 – рабочих месяцев. 30 * 8 = 240 – рабочих дней. 3*4=12 – полноценных дней в месяц. 12* 8 = 96 – полноценных дней в год. 96: 240 = 0,4 = 40%. Занимательные задачи 1. 1ц = 100кг. В 1ц огурцов 1% «сухого» вещества, т.е. 1кг. После усыхания огурцов вес «сухого» вещества стал 100% – 98% = 2% = 0,02, 1кг : 0,02 = (100 : 2) = 50кг. 2. Да, если Витя записал равные числа. 3. Пусть а – задуманное число, тогда а * 100 : 100 = а. 4. 1 способ. Найти 25% от 150. 2 способ. Найти 20% от 150. 3 способ. Найти, сколько процентов составляет 30 кг от 150 кг. 4 способ. 20% составляет 1\5 от 100%, а 30 кг от 150 кг? 5 способ. 25% составляет 1\4 от 100%,а 30 кг от 150? 5. а) (39,3*100):22≈179(см) б) (20,3*100):16≈130(см) 130см≠179см, значит, локтевая кость не принадлежит человеку ростом 179см.