Пособие учебно-методическое Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов высших учебных заведений экономических специальностей Нижний Новгород ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского» Чалиев А.А., Овчаров А.О. СТАТИСТИКА Часть 1 Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов высших учебных заведений экономических специальностей Нижний Новгород 2007 УДК 311(075.8) ББК У051 Ч–12 Ч–12 Чалиев А.А., Овчаров А.О. СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие. Часть 1. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007.– 87 с. Рецензент: к.э.н., доцент Козлов А.И. Настоящее издание содержит учебную программу и основные разделы теоретической и прикладной статистики. В учебно-методическом пособии даны примеры решения типовых задач, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов всех специальностей финансового факультета ННГУ. УДК 311(075.8) ББК У051 © Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, 2007 Содержание Введение.. 4 1. Цели и задачи дисциплины... 4 2. Программа курса.. 6 3. Тематика контрольных (курсовых) работ.. 13 4. Методические указания и контрольные задания.. 15 Часть 1. Теоретическая статистика. 15 Тема 1. Абсолютные и относительные статистические величины.. 15 Тема 2. Средние величины и показатели вариации.. 22 Тема 3. Выборочное наблюдение. 29 Тема 4. Ряды динамики.. 33 Тема 5. Индексы.. 41 Тема 6. Статистическое изучение взаимосвязей.. 47 Часть 2. Социально-экономическая статистика. 56 Тема 1. Социально-демографическая статистика.. 56 Тема 2. Статистика уровня жизни населения. 61 Тема 3. Статистика национального богатства.. 66 Тема 4. Статистика труда.. 72 5. Экзаменационные вопросы... 83 6. Литература.. 84 Приложения.. 85 Приложение 1. Значения F-критерия Фишера. 85 Приложение 2. Значения t-критерия Стьюдента. 86 Введение Учебная дисциплина «Статистика» является обязательным компонентом в подготовке дипломированных специалистов по экономическим специальностям. Основное назначение данной дисциплины состоит в повышении экономико-математической подготовки студентов в области современных методов сбора, обработки и анализа статистической информации, достижении высокого и устойчивого уровня профессионализма. Современный специалист должен обладать глубокими знаниями, уметь проводить количественный анализ сложных экономических проблем, применять математические расчеты в решении экономических задач. Поэтому изучение данной дисциплины поможет сформировать у студентов целостный взгляд на место и роль статистической науки в современной экономике. 1. Цели и задачи дисциплины 1.1. Цель курса: Цель преподавания курса «Статистика» – подготовка специалистов, владеющих современными методами сбора, обработки и анализа статистической информации, принятыми в отечественной и международной практике учета и статистики. Структурно изучаемая дисциплина состоит из двух разделов: общей теории статистики и экономической статистики. В первом разделе рассматриваются общие понятия и методы сбора, обработки и обобщения массовых данных. Во втором – система показателей и их экономическая интерпретация для конкретных социально-экономических процессов. 1.2. Задачи курса: – овладение комплексом статистических методов наблюдения, сводки и группировки массовых данных; – освоение системы статистических величин, характеризующих количественную сторону социально-экономических явлений и процессов; – применение методов статистического анализа при исследовании различных сфер экономики. 1.3. Место курса в профессиональной подготовке выпускника: Эффективное изучение дисциплины «Статистика» предполагает знание основ экономической теории, математики и теории бухгалтерского учета. 1.4. Требования к уровню освоения содержания курса: В результате изучения дисциплины студенты должны: а) знать: ─ основные категории и классификации в статистике; ─ методы расчета обобщающих показателей, выявления тенденций и закономерностей социально-экономических процессов; ─ принципы построения системы национальных счетов; б) уметь: ─ анализировать результаты статистического наблюдения в виде таблиц и графиков; ─ рассчитывать статистические величины и делать аргументированные выводы; ─ применять теоретические положения статистики на практическом уровне; в) иметь представление: ─ об органах государственной статистики в РФ; ─ о международных сопоставлениях макроэкономических показателей; ─ об организации практической статистической работы. 2. Программа курса 2.1. Содержание лекционных занятий. Тема 1. Предмет и метод статистики. Предмет статистики. Статистика как наука. Ее связь с другими науками. Категории и задачи статистики. Три группы методов статистики. Статистическое наблюдение как первый этап статистического исследования. Понятие, назначение и задачи статистического наблюдения. Виды статистического наблюдения. Способы статистического наблюдения. Программно-методологические основы наблюдения: цель, объект, единица и время наблюдения. Программа наблюдения и требования к ней. Статистический формуляр: понятие, назначение, виды и особенности применения. Статистическая инструкция, ее назначение и содержание. Статистические сводки и группировки как второй этап статистического исследования. Понятие о сводке, ее назначение и задачи. Виды сводок. Простая (монотетическая) и сложная (политетическая) группировки. Виды группировок: типологическая, структурная, аналитическая. Комбинационная группировка. Целевые задачи каждого вида группировки. Принципы группировки: выбор основания группировки и группировочного признака; распределение единиц совокупности по группам; определение числа групп и интервалов группировки. Интервалы: равномерные и неравномерные, закрытые и открытые. Серединное значение интервала, центрирование интервалов. Формула Стерджесса для определения числа групп и интервала равномерной группировки. Вторичная группировка, ее назначение и виды. Алгоритм укрупнения и разукрупнения первичных группировок. Многомерные группировки в статистике. Методы многомерных классификаций. Тема 2 . Статистические величины и показатели вариации. Абсолютная величина: сущность, виды и единицы измерения. Классификация относительных величин, способы их расчета. Средняя величина как обобщающий показатель. Виды и принципы применения средних величин. Классификация средних величин: степенные и структурные; простые и взвешенные; пространственные и временные. Виды степенных средних – простые и взвешенные; арифметическая, гармоническая, геометрическая. Правило мажорантности этих средних. Свойства степенных средних величин. Математические свойства средней арифметической. Расчет средней в интервальных рядах и методом условного нуля. Групповые средние. Расчет средней для совокупности на основе групповых средних. Структурные средние величины: мода и медиана. Способы расчета для интервальных статистических совокупностей. Причины и необходимость изучения вариации. Абсолютные и относительные показатели вариации: размах вариации; среднее линейное и квадратическое отклонение; коэффициенты осцилляции, относительного линейного отклонения, вариации. Понятие о дисперсии. Математические свойства дисперсии. Общая, внутригрупповая и межгрупповая дисперсии. Расчет общей дисперсии четырьмя методами: методом прямого счета (по определяющей формуле); методом условного нуля; методом средних величин (разность между средним квадратом и квадратом средней); по правилу сложения внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Тема 3. Ряды динамики. Сущность ряда динамики, его элементы и правила построения. Показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Средние показатели ряда динамики. Графическое изображение рядов динамики. Сопоставимость в рядах динамики. Причины несопоставимости. Преобразование рядов в сопоставимый вид. Смыкание рядов динамики при территориальных изменениях. Понятие об общей тенденции развития ряда, ее значение и методы выявления. Метод укрупнения временных периодов. Метод усреднения краткосрочных отрезков за ряд лет (временных периодов), метод скользящей средней. Метод аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов. Метод экстраполяции. Индекс сезонности. Тема 4. Выборочное наблюдение. Понятие о выборочном наблюдении. Необходимость, принципы и задачи выборочного наблюдения. Генеральная и выборочная совокупность, доля и средняя. Индивидуальный и групповой отбор. Методы отбора. Определение средней и предельной ошибок выборочного наблюдения. Необходимая численность выборки. Способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность. Тема 5. Индексы. Экономическая сущность индексов и сферы их применения. Классификация индексов. Агрегатный индекс как основная форма индексов. Индексный метод. Типовые экономические задачи с применением статистических индексов. Двухфакторный индексный анализ. Мультипликативная (алгебраическая) связь индексов и аддитивная (арифметическая) связь приростов, полученных за счет переменных индексных факторов. Средние индексы. Индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов: методика расчетов и экономический смысл. Трехфакторный индексный анализ сложных явлений. Территориальные индексы: принципы построения и сфера применения. Тема 6 . Статистическое изучение взаимосвязей. Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа. Парная корреляция. Расчет линейного коэффициента корреляции. Эмпирическое корреляционное отношение. Множественная корреляция. Коэффициент множественной корреляции и коэффициент детерминации. Непараметрические методы оценки связи. Однофакторный регрессионный анализ. Нахождение теоретической формы связи. Выравнивание по прямой. Коэффициент эластичности. Нелинейные зависимости. Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ. Парные и частные коэффициенты корреляции. Применение корреляционно-регрессионного анализа в прогнозировании социально-экономических процессов. Тема 7. Социально-демографическая статистика. Демография как отрасль статистической науки. Категории и группировки населения. Показатели численности и размещения населения. Естественное и механическое движение населения: понятие и расчет основных коэффициентов. Демографический прогноз: сущность и виды. Прогнозирование будущей численности населения по методу передвижки возрастов. Основные показатели социальной характеристики населения. Тема 8. Статистика уровня жизни населения. Понятие и система показателей уровня жизни населения. Номинальные, располагаемые и реальные доходы. Индексация доходов. Группировка потребительских расходов по целевому назначению. Показатели объема, состава и динамики потребления материальных благ и услуг населением. Расчет коэффициента эластичности потребления. Баланс доходов и расходов населения. Дифференциация населения по уровню доходов. Коэффициент фондов и децильный коэффициент. Модальный и медианный доход. Коэффициент Джини. Кривая Лоренца. Величина прожиточного минимума, его структура, натуральное и денежное выражение. Агрегированные показатели бедности: глубины и остроты. Индексы развития человеческого потенциала и нищеты населения. Тема 9. Статистика национального богатства. Определение и структура национального богатства. Национальное имущество и природные ресурсы. Финансовые и нефинансовые активы. Статистика природных ресурсов. Земельный и лесной фонды. Показатели их состояния и использования. Водные ресурсы, показатели их состояния, использования и эффективности очистки. Полезные ископаемые, их классификация и показатели запасов, добычи, эффективности использования. Система экологического и экономического учета. Основные фонды: сущность, способы оценки и методы амортизации. Производственные и непроизводственные основные фонды. Статистическая группировка основных производственных фондов. Натурально-вещественный состав основных фондов в отдельных отраслях народного хозяйства – производственной и непроизводственной сферы. Активная и пассивная части основных фондов. Показатели состояния основных фондов: коэффициенты ввода, выбытия, обновления, износа, годности. Показатели эффективности использования фондов: фондовооруженность труда, фондоотдача, фондоемкость. Увязка изменения фондоотдачи со структурными сдвигами в активной части фондов. Индексный анализ эффективности использования основных фондов. Двух- и трехфакторные модели изменения объема продукции. Понятие, состав и классификация оборотных фондов. Производственные и непроизводственные оборотные фонды, формы их статистического учета. Количественные показатели оборотных фондов. Процессы ускорения и замедления оборачиваемости, их оценка. Тема 10. Система национальных счетов. Система национальных счетов (СНС): сущность, принципы построения и основные показатели. Счет как элемент СНС. Методы балансировки счета. Две стороны счетов. Группы счетов СНС, их характеристика. Использование СНС в макроэкономическом анализе и прогнозировании. Валовой внутренний продукт (ВВП) как ключевой макроэкономический показатель СНС. Методы расчета ВВП. Анализ динамики ВВП. Индекс–дефлятор ВВП. Методы переоценки ВВП в сопоставимые цены. Международные сопоставления ВВП. Национальный доход и другие показатели доходов в СНС. Концепция дохода Дж. Хикса. Межотраслевой баланс производства и использования товаров и услуг (МОБ) как элемент СНС. Основное уравнение МОБ. Виды МОБ и методы оценки его показателей. Тема 11. Статистика труда. Рынок труда и его элементы. Экономически активное население. Группировка населения по статусу занятости. Показатели движения трудовых ресурсов. Рабочее время и его использование. Единицы измерения рабочего времени. Календарный, табельный и максимально возможный фонды рабочего времени, способы их расчета. Баланс рабочего времени. Статистика трудовых конфликтов. Понятие и элементы фонда оплаты труда. Методика расчета средней заработной платы. Коэффициент дифференциации заработной платы. Индексный метод анализа динамики оплаты труда. Производительность труда: сущность и показатели ее уровня. Производительность общественного труда. Анализ выработки и трудоемкости. Натуральный, трудовой и стоимостной методы анализа динамики производительности труда. Двухфакторная модель изменения стоимости продукции. Тема 12. Статистика финансов. Финансы как объект статистического учета. Статистика государственных и негосударственных финансов. Бюджетная статистика: понятие, задачи, классификации доходов и расходов. Анализ исполнения бюджетов всех уровней. Статистика налогов. Применение абсолютных и относительных показателей в налоговой статистике. Прибыль: понятие, экономическое значение, виды, статистический учет. Статистический анализ балансовой прибыли, прибыли от реализации продукции (работ, услуг), прибыли от реализации иных ценностей, внереализационной прибыли, налогооблагаемой прибыли, чистой прибыли. Рентабельность как важнейший показатель экономической эффективности. Виды рентабельности, их статистический учет и анализ. Факторный анализ прибыли и рентабельности в их причинно-следственной зависимости. Коэффициентный анализ ликвидности, устойчивости и платежеспособности предприятия. Система показателей статистики денежного обращения: денежный оборот, денежная масса, денежная база, скорость обращения, продолжительность оборота. Структура денежной массы. Факторный анализ динамики денежной массы. Влияние инфляции на состояние денежного оборота. Понятие фондового рынка и задачи статистики. Индивидуальные характеристики ценных бумаг, их рейтинг. Расчет биржевых индексов. Индексы рынка государственных ценных бумаг. Статистика валютного курса. Основные абсолютные показатели статистики страхования. Статистический учет страховых рисков. Показатели эффективности страхования. Задачи статистики кредита. Основные статистические показатели кредита: средний размер задолженности, средний срок ссуды, средняя процентная ставка. Анализ динамики кредитных вложений. Система показателей банковской деятельности. Рейтинг банков. Виды и способы начисления банковских процентов. Расчет наращенной суммы и современной стоимости. Финансовые ренты: сущность, параметры и виды. Тема 13. Статистика коммерческой деятельности. Задачи статистики коммерческой деятельности. Статистическое изучение торговли товарами и услугами; статистика товарных запасов и товарооборачиваемость. Статистика инфраструктуры коммерческой деятельности, статистика финансов и инвестиций в коммерции, статистика труда и обслуживания потребителей в коммерческой деятельности. Статистические методы оценки и прогнозирования коммерческой деятельности. Задачи и система показателей статистики цен. Средняя арифметическая и средняя гармоническая цена. Состав и структура цен. Виды цен в РФ. Экономические элементы отпускной и розничной цены. Тарифы. Динамика цен. Индексы потребительских цен, методы их расчета. Количественные оценки инфляции. Влияние инфляции на динамику цен. Индексы цен во внешней торговле. Тема 14. Статистика отраслей народного хозяйства. Общие принципы исчисления показателей отраслей и секторов экономики. Статистика продукции промышленности. Натуральные и стоимостные показатели объема продукции. Расчет показателей качества и сортности продукции. Система показателей продукции сельского хозяйства. Урожайность и валовой сбор: экономическая сущность и индексный метод анализа. Расчет показателей численности и продуктивности животноводства. Классификация строительной деятельности. Производственный метод исчисления продукции строительства. 2.2. Распределение часов по темам и видам работ № п/п Тема Количество часов Очное отделение Очно-заочное отделение Заочное отделение Лекции Семинары Лекции Семинары Лекции Семинары 1 Предмет и метод статистики 4 4 1 1 1 2 Статистические величины и показатели вариации 6 6 2 2 1 1 3 Ряды динамики 4 4 2 2 1 1 4 Выборочное наблюдение 4 4 1 1 1 5 Индексы 6 8 2 2 1 1 6 Статистическое изучение взаимосвязей 4 4 1 1 1 7 Статистика населения 4 6 2 2 1 1 8 Статистика национального богатства 4 6 2 2 1 9 Система национальных счетов 6 8 2 2 2 1 10 Статистика уровня жизни населения 6 8 2 2 1 1 11 Статистика труда 4 6 2 2 1 12 Статистика финансов 8 10 4 4 2 1 13 Статистика коммерческой деятельности 4 6 1 1 1 1 14 Статистика отраслей народного хозяйства 4 4 1 1 1 Итого 68 84 25 25 16 8 Примечание: предложенное распределение бюджета времени относится к специальности «Финансы и кредит», для других специальностей изложение материала ведется по сокращенному бюджету времени. 3. Тематика контрольных (курсовых) работ Задания к контрольной (курсовой) работе составлены в 10 вариантах. должна содержать 2 части – теоретическую и практическую. Первая часть включает теоретическое изложение конкретной темы курса, вторая – решение комплексных задач по важнейшим разделам статистики. При выполнении контрольной работы необходимо выполнить только практическую часть, задания к которой приведены в следующем разделе. Выбор варианта зависит от последней цифры зачетной книжки студента: Последняя цифра зачетки Номер варианта 0 10 1 1 2 2 3 3 и т.д. и т.д. При выполнении курсовой работы необходимо руководствоваться следующими требованиями: 1. На титульном листе работы должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, выполнившего работу, номер группы и номер варианта. Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании. 2. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие. Само решение следует сопровождать необходимыми расчетами и пояснениями с указанием применяемых формул, анализом и выводами. 3. Все расчеты относительных показателей нужно производить с точностью до 0,001, а процентов – до 0,01, используя при этом правила округления. 4. Работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво без помарок, зачеркиваний и сокращений слов. Допускается выполнение работы на компьютере в каком-либо текстовом редакторе. В конце работы следует привести список использованной литературы, составленной в соответствии с общепринятыми правилами. Задания к теоретической части курсовой работы Номер варианта Тема 1 Задачи и основные показатели статистики цен 2 Социально-демографическая статистика 3 Статистика денежного обращения и кредита 4 Статистический анализ рынка труда 5 Система показателей уровня жизни населения 6 Статистика государственных финансов 7 Расчет и оценка макроэкономических показателей 8 Статистика национального богатства 9 Особенности статистического анализа окружающей среды и природных ресурсов 10 Статистика внешней торговли 4. Методические указания и контрольные задания Часть 1. Теоретическая статистика Тема 1. Абсолютные и относительные статистические величины Методические указания по теме Задача 1 . Расход топлива на производственные нужды предприятия характеризуется в отчетном периоде следующими данными: Вид топлива Теплотворная способность, МДж/кГ Расход, т по плану фактически Дизельное топливо 41,9 1000 1050 Мазут 40,1 750 730 Уголь 26,4 500 555 Определить общее количество потребленного условного топлива (1 т.у.т. = 29,3 МДж/кГ) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по общему расходу топлива. Решение. Учитывая стандартную теплотворную способность 29,3 МДж/кГ, определяем количество потребленного условного топлива каждого вида по плану (X ’1 i ) и фактически (X 1 i ): – дизельное топливо: X ’1дт = 41,9/29,3*1000 = 1430,034 т.у.т. дизельное топливо: X 1дт = 41,9/29,3*1050 = 1501,536 т.у.т.; – мазут: X ’1м = 40,1/29,3*750 = 1026,451 т.у.т. мазут: X 1м = 40,1/29,3*730 = 999,078 т.у.т.; – уголь: X ’1у = 26,4/29,3*500 = 450,512 т.у.т. уголь: X 1у = 26,4/29,3*555 = 500,068 т.у.т. Суммируя количество потребленного условного топлива каждого вида, получим общее количество потребленного условного топлива: – по плану X ’1 = ∑X ’1 i = 2906,997 т.у.т.; – фактически X 1 = ∑X 1 i = 3000,682 т.у.т. Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение значений по факту и плану отчетного периода: , ( 1) Применяя формулу (1), имеем: = 3000,682/2906,997 = 1,032, то есть план по общему расходу топлива перевыполнен на 3,2%. Задача 2 . Рассчитать индекс и темп изменения, если в марте произведено продукции 130 тонн, а в феврале 100 тонн. Решение. Индекс изменения (динамики) характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2): , ( 2) где подиндексы означают: 1 — отчетный или анализируемый период, 0 — прошлый или базисный период. Критериальным значением индекса динамики (темпа роста) служит единица, то есть если >1, то имеет место рост явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад явления. Применяя формулу (2), имеем: = 130/100 = 1,3 (или 130%) > 1 – рост объема произведенной продукции. Темп изменения (прироста) определяется по формуле (3): . ( 3) Применяя формулу (3), имеем: Т = 1,3 – 1 = 0,3 (или 30%), то есть объем произведенной продукции вырос в марте по сравнению с февралем на 30%. Задача 3 . Рассчитать индексы планового задания, выполнения плана и динамики, если выпуск продукции в отчетном году составил 100 млн. рублей, на следующий год планировалось 140 млн. рублей, а фактически получено 112 млн. рублей. Решение. Индекс планового задания – это отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного. Он определяется по формуле (4): , ( 4) где X ’1 — план анализируемого периода; X 0 — факт базисного периода. Применяя формулу (4) имеем: = 140/100 = 1,4 (или 140%), то есть на следующий год планировалось выпустить продукции в размере 140% от объема предыдущего года. Индекс выполнения плана определим, применяя формулу (1): = 112/140 = 0,8 (или 80%), то есть план по увеличению выпуска продукции выполнили лишь на 80% или недовыполнили на 20%. Индекс динамики можно определить по формуле (2) или перемножая индексы планового задания и выполнения плана, то есть = 1,12. Задача 4 . Суммарные денежные доходы россиян в 2005 г. составили 13522,5 млрд. руб., из которых 8766,7 млрд. руб. составила оплата труда, 1748,4 млрд. руб. – социальные выплаты, 1541,7 млрд. руб. – доход от предпринимательской деятельности, 1201,5 млрд. руб. – доходы от собственности, остальное – прочие доходы. Рассчитать относительные величины структуры и координации, приняв за основу оплату труда. Построить секторную (круговую) диаграмму структуры доходов. Решение. Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части величины (совокупности) ко всему ее значению. Он определяется по формуле (5): ( 5) Применяя формулу (5) и округляя значения до 3-х знаков после запятой, имеем: – доля оплаты труда d ОТ = 8766,7/13522,5 = 0,648 или 64,8%; – доля социальных выплат d СВ =1748,4/13522,5 = 0,129 или 12,9%; – доля доходов от предпринимательской деятельности d ПД =1541,7/13522,5 = 0,114 или 11,4%; – доля доходов от собственности d ДС =1201,5/13522,5 = 0,089 или 8,9%. Долю прочих доходов найдем, используя формулу (6), согласно которой сумма всех долей равна единице: . ( 6) Таким образом, доля прочих доходов d проч = 1 – 0,648 – 0,129 – 0,114 – 0,089 = 0,020 или 2,0%. Для иллюстрации структуры (составных частей) доходов построим секторную диаграмму (рис.1): Рис.1. Структура денежных доходов населения РФ в 2005 году. Таким образом, очевидно, что наибольшую долю в суммарных денежных доходах составляет оплата труда (64,8%), на 2-м месте – социальные выплаты (12,9%), затем следуют предпринимательский доход (11,4%), доходы от собственности (8,9%), а прочие доходы составляют лишь 2%. Индекс координации – это отношение какой-либо части величины к другой ее части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7): . ( 7) Применяя формулу (7) и принимая за основу оплату труда, имеем: – индекс координации социальных выплат = 1748,4/8766,7 ≈ 0,129/0,648 = 0,199; – индекс координации предпринимательского дохода =1541,7/8766,7 ≈ 0,114/0,648 = 0,176; – индекс координации доходов от собственности = 1201,5/8766,7 ≈ 0,089/0,648 = 0,137; – индекс координации прочих доходов ≈ 0,02/0,648 = 0,031. Таким образом, социальные выплаты составляют 19,9% от оплаты труда, предпринимательский доход – 17,6%, доходы от собственности – 13,7%, а прочие доходы – 3,1%. Задача 5 . Запасы воды в озере Байкал составляют 23000 км3 , а в Ладожском озере 911 км3 . Рассчитать относительные величины сравнения запасов воды этих озер. Решение. Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий. Он определяется по формуле (8): , ( 8) где А , Б — признаки сравниваемых объектов или территорий. Применяя формулу (8) и принимая за объекты А и Б , соответственно, озера Байкал и Ладожское, найдем индекс сравнения: = 23000/911 = 25,25, то есть запасов воды в озере Байкал в 25,25 раза больше, чем в Ладожском озере. Меняя базу сравнения, найдем индекс сравнения Ладожского озера с Байкалом по той же формуле: = 911/23000 = 0,0396 или 3,96%, то есть запасы воды в Ладожском озере составляют 3,96% запасов воды в озере Байкал. Задача 6 . Рассчитать относительную величину интенсивности валового внутреннего продукта (ВВП) в сумме 1416,1 млрд. $ на душу населения в России в 2004 году при численности населения в 144,2 млн. человек. Решение. Показатель интенсивности – это отношение значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времени и одной территории или объекта. Он определяется по формуле (9): . ( 9) Применяя формулу (9) имеем: i ИН = 1416,1/0,1442 = 9820,39 $/чел в год. Контрольные задания по теме Вариант 1. Определить общее производство моющих средств в условных тоннах (условная жирность 40%) по плану и фактически, а также процент выполнения плана по следующим данным: Вид продукта Жирность, % Физическая масса, т по плану фактически Мыло хозяйственное 60 500 600 Мыло туалетное 80 1000 1500 Стиральный порошок 10 50000 40000 Вариант 2. По данным о численности жителей двух крупнейших городов России (тыс. чел) определить индексы сравнения и динамики. Город Год 2004 2005 Москва 10391 10407 Санкт-Петербург 4624 4600 Вариант 3. 1. По плану на 2005 год намечалось увеличение товарооборота на 3%. В 2005 году плановое задание перевыполнили на 600 млн. руб. или на 2,5%. Определить фактический прирост товарооборота (в млн. руб.) в 2005 году по сравнению с 2004 годом. 2. По данным о товарообороте из предыдущей задачи, состоящего из реализации собственной продукции и продажи покупных товаров, определить относительные величины координации и структуры собственной и покупной продукции в 2004 и 2005 годах, если известно, что доля собственной продукции в 2004 году составила 65%, а в 2005 году она увеличилась на 10%. Вариант 4. Жилищный фонд и численность населения России следующие (на начало года): Год 2002 2003 2004 2005 Весь жилищный фонд, млн. м2 2853 2885 2917 2949 Численность населения, млн. чел. 145,6 145,0 144,2 143,5 Охарактеризовать изменение обеспеченности населения жилой площадью с помощью относительных величин динамики и координации. Вариант 5. 1. В России в 2004 численность женщин составила 77144,3 тыс. чел, а мужчин – 67023,9 тыс. чел. Рассчитать относительные величины структуры и координации. 2. По плану объем продукции в отчетном году должен возрасти по сравнению с прошлым годом на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 3,0%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 25,3 млн. руб. Вариант 6. Определить общий объем фактически выпущенной продукции по следующим данным по трем филиалам предприятия, выпускающих однородную продукцию: Номер филиала Планируемый объем выпуска продукции, млн. руб. Выполнение намеченного плана, % 1 500 104 2 750 92 3 250 116 Вариант 7. По промышленному предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции: Наименование продукции План на I квартал, тыс. т Фактический выпуск, тыс. т Отпускная цена за 1 т, у.е. январь февраль март Сталь арматурная 335 110 115 108 1700 Прокат листовой 255 75 90 100 2080 Определить процент выполнения квартального плана: 1) по выпуску каждого вида продукции; 2) в целом по выпуску всей продукции. Вариант 8. Определить процент выполнения плана по продажам условных школьных тетрадей (1 у.ш.т. – 12 листов) по каждому виду тетрадей и в целом по магазину по следующим данным: Вид тетради Цена, руб./шт. Объем продаж, тыс. шт. по плану фактически Тетрадь общая 90 листов 20 50 40 Тетрадь общая 48 листов 13 200 350 Тетрадь общая 16 листов 9 700 500 Вариант 9. В России на начало 2005 года численность населения составила 144,2 млн. чел., в течение года: родилось 1,46 млн. чел., умерло – 2,3 млн. чел., мигрировало из других государств 2,09 млн. чел., мигрировало за границу – 1,98 млн. чел. Охарактеризовать изменение численности населения в 2005 году с помощью относительных величин. Вариант 10. Определить общий объем фактически выпущенной условной консервной продукции (1 у.к.б. = 0,33 л) по следующим данным: Вид продукции Планируемый объем выпуска продукции, тыс. шт. Выполнение плана, % Томатная паста 1 л 500 85 Томатная паста 0,5 л 750 104 Томатная паста 0,2 л 250 130 Тема 2. Средние величины и показатели вариации Методические указания по теме Задача 1 . Имеются следующие данные о возрастном составе студентов группы заочного отделения ВУЗа (лет): 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 22; 23; 23; 24; 25; 25; 25; 26; 27; 29. Для анализа распределения студентов по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения и его график; 2) рассчитать модальный, медианный и средний возраст, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации; 3) проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса. Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n ): n = 1 +3,322 lg N, (10) где N – число величин в дискретном ряде. В нашей задаче n = 1 + 3,322lg 25 = 1 + 3,322*1,398 = 5,64. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 6. После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле: h = H / n, (11) где H – размах вариации, определяемый по формуле (12). H = Хмах –Х min , ( 12) где X м a x и Xmin — максимальное и минимальное значения в совокупности. В нашей задаче h = (29 – 19)/6 = 1,67. Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты. Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи Xi , лет fi ХИ XИ fi ХИ - (ХИ - )2 (ХИ - )2 fi (ХИ - )3 fi (ХИ - )4 fi до 20,67 12 19,833 237,996 -2,134 25,602 4,552 54,623 -116,539 248,638 20,67-22,33 4 21,5 86,000 -0,467 1,866 0,218 0,871 -0,406 0,189 22,33-24 3 23,167 69,501 1,200 3,601 1,441 4,323 5,190 6,231 24-25,67 3 24,833 74,499 2,866 8,599 8,217 24,650 70,659 202,543 25,67-27,33 2 26,5 53,000 4,533 9,067 20,552 41,105 186,348 844,806 более 27,33 1 28,167 28,167 6,200 6,200 38,446 38,446 238,383 1478,091 Итого 25 — 549,163 — 54,937 — 164,018 383,636 2780,498 На основе этой группировки строится график распределения возраста студентов (рис.2). Рис.2. График распределения возраста студентов. Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (13): , ( 13) где ХMo – нижнее значение модального интервала; f Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака (вес признака) в модальном интервале; f Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; f Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах. В нашей задаче чаще всего повторяется (12 раз) первый интервал возраста (до 20,67), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (13), определяем точное значение модального возраста: Мо = 19 + 1,667*(12-0)/(2*12-4-0) = 20 (лет). Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая – меньше медианы. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так: , ( 14) где XMe – нижняя граница медианного интервала; h – его величина (размах); – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; f Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале. В нашей задаче второй интервал возраста (от 20,67 до 22,33) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (14), определяем точное значение медианного возраста: Ме = 20,67 + 1,667*(12,5-12)/4 = 20,878 (года). Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (15). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (16). = ; ( 15) = . ( 16) При этом обозначено: Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (15) и (16) при разных показателях степени m , получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2). Таблица 2. Виды степенных средних и их применение m Название средней Формула расчета средней Когда применяется простая взвешенная 1 Арифметическая = ( 17) = ( 18) Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних –1 Гармоническая ГМ = ( 19) ГМ = ( 20) Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности 0 Геометрическая ( 21) ( 22) Для осреднения цепных индексов динамики 2 Квадратическая = ( 23) = ( 24) Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений) 3 Кубическая = ( 25) = ( 26) Для расчета индексов нищеты населения 1 Хронологическая ( 27) (28) Для осреднения моментных статистических величин Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то . В нашей задаче, применяя формулу (18) и подставляя вместо середины интервалов возраста ХИ , определяем средний возраст студентов: = 549,163/25 = 21,967 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3. Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации. Среднее линейное отклонение определяется по формулам (29) и (30): – простое; ( 29) – взвешенное. ( 30) Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (31): . ( 31) Дисперсия определяется по формулам (32) или (33): – простая; ( 32) – взвешенная. ( 33) В нашей задаче, применяя формулу (30), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = 54,937/25 = 2,198 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим линейный коэффициент вариации : = 2,198/21,967 = 0,100. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,100 < 0,333). Применяя формулу (33), получим в итоге дисперсию: Д = 164,018/25 = 6,561. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = 2,561 (года). Разделив это значение на средний возраст, получим квадратический коэффициент вариации : = 2,561/21,967 = 0,117. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего возраста, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,117 < 0,333). В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка (34) и коэффициент асимметрии Пирсона (35): , ( 34) . ( 35) Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен. В нашей задаче = =383,636/25 = 15,345; =2,5613 = 16,797; =15,345/16,797 = 0,914 > 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (21,967-20)/2,561 = 0,768. Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка: = . (36) Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка , который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (37): . ( 37) Для приближенного определения эксцесса может быть использована формула Линдберга (38): , ( 38) где – доля количества вариант, лежащих в интервале, равном половине (в ту и другую сторону от средней величины). В нашей задаче числитель центрального момента 4-го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге по формуле (37) имеем: Ex = (2780,498/25)/2,5614 –3 = 111,220/43,017–3 = -0,415. Так как Ex<0, то распределение низковершинное. Это подтверждает и приблизительный расчет по формуле (38): в интервале 21,967 0,5*2,561, то есть от 20,687 до 23,248 находится примерно 21,4% студентов. Таким образом, Ex = 0,214 – 0,3829 = –0,169. Контрольные задания по теме По имеющимся в следующей таблице данным по группе из 20 студентов заочного отделения необходимо: 1) построить интервальный ряд распределения признака и его график; 2) рассчитать модальное, медианное и среднее значение, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации; 3) проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.       № п/п Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Рост, см Вес, кг Доход, у.е./мес. IQ (тест Айзенка) Тет-радь, листов Воз-раст, лет Соот-ношение «рост/вес» Стаж работы, мес. Кол-во друзей, чел. Время решения контрольной, час. 1 159 45 430 95 24 20 3,533 26 5 8,5 2 160 61 640 115 32 25 2,623 63 7 6,2 3 161 56 610 111 24 28 2,875 94 10 6,8 4 162 48 330 97 24 19 3,375 16 4 12,0 5 162 54 420 105 60 23 3,000 49 2 7,5 6 164 58 290 98 16 20 2,828 14 6 10,0 7 166 51 480 109 90 26 3,255 78 9 7,2 8 169 62 610 120 24 19