Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 20
|
Содержание занятия:
Компьютерное моделирование в школьном курсе информатики. Цели и задачи моделирования. 1
Понятие “модель”. Натуральные и абстрактные модели. 2
Системный анализ и моделирование. 5
Компьютерное моделирование в школьном курсе информатики. Цели и задачи моделирования.
Одной из важнейших проблем школьной информатики остается проблема обоснования содержания этой учебной дисциплины, условия ее общеобразовательной значимости. Проблема содержания школьной информатики не может рассматриваться вне контекста общей проблемы структуры и содержания общего среднего образования в целом. Как известно, информатика изучает процессы получения, передачи, преобразования, хранения и использования информации. Информационные процессы характерны для живой природы, т.е. биологических объектов. человека, общественных систем и части технических систем. Эти системы в совокупности составляют предметную область информатики, поскольку именно в них и происходят информационные процессы. Однако, в настоящее время в школьной информатике вместо фундоментализации содержания наблюдается противоположная тенденция - усиление технологической направленности, т.е. мы имеем курс, задачей которого являет формирование навыков технологии обработки информации. Таким образом, заданная в самом начале становления предмета ориентация курса на компьютерную грамотность стала доминантой его содержания. В настоящее время стоит проблема перегрузки школ учебными предметами. Выход из этой ситуации – устранение одночасовых предметов, введение интегрированных курсов, отход от классно-урочной системы и более широкое внедрение взамен ее проектно-исследовательских форм, выход учебно-воспитательного процесса за пределы школьных стен: в музеи, в лаборатории, на кафедры высших учебных заведений и научных учреждений. Стратегия модернизации российского образования предусматривает приоритетное использование информационных технологий в учебном процессе. Традиционное обучение естественнонаучным школьным дисциплинам (физика, химия) построено на так называемых хорошо сформулированных (иными словами, поставленных) задачах. В каждой задаче, предлагаемой школьнику для решения, точно определена модель (в виде законов. которыми надо воспользоваться), указаны исходные данные и результаты. А в реальной жизни школьник, как и любой человек, имеет дело с жизненными, “непоставленными задачами”. Использование непоставленных задач на первое место выводит востребование тех моделей, которые могут предложить учебные предметы для решения этих задач. Упрощенно можно сопоставить традиционный курс и курс, основанный на систематическом рассмотрении “непоставленных задач”, при помощи следующей схемы: Традиционный курс (“поставленные задачи”) Курс, основанный на решении “непоставленных задач” Изложение имеющихся фактов или их наблюдение в эксперименте Формулировка “жизненной задачи” Постановка задачи: выделение существенных факторов (предположений) для построения модели Предъявление модели, объясняющей факты Построение модели Проверка адекватности модели. Коррекция модели (если нет адекватности) Решение задачи на применение модели Решение задач с использование построенной модели Из приведенной схемы ясно, что решение “непоставленных задач” требует разнообразия используемых моделей, а это нереально при традиционном “безмашинном” преподавании. Поэтому в традиционном обучении дисциплинам, оперирующим непоставленными задачами (биология, география, история и др.), как правило, не делается попыток научить школьников решать такие задачи. В то же время проблемы, затрагиваемые такими “непоставленными задачами”, имеют большое мировоззренческое значение.
Понятие “модель”. Натуральные и абстрактные модели.
Моделирование, как средство познания и преобразования материального мира, широко применяется во многих отраслях науки и техники. Моделирование
представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель
- это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследования и т.д. Большинство современных процессов характеризуются наличием значительного числа разнообразных факторов, влияющих на процесс; большим количеством внутренних связей между факторами и их сложным взаимным влиянием на процесс; развитием различных направлений процесса, конкуририрующим между собой и определяющих его ход; воздействием на процесс большого числа неконтролируемых и неуправляемых факторов, играющих роль возмущений. Представив процесс в виде “черного ящика”(рис. 1 ), все многообразие действующих на его входе параметров (оказывающих влияние на выходной параметр процесса) можно разбить на три основные группы. y1 . yn Y Рис.1 В этом случае состояние объекта “черного ящика” характеризуется n-мерным вектором Y
, называемым выходом системы, или вектором отклика
, а его составляющие y1
, y2,
y3, ...,
yn -
параметрами или функциями отклика. Вектор отклика является функцией входных параметров, действующих в исследуемом процессе. Первая группа составляет k - мерный вектор X
управляемых параметров, т.е таких, которые можно измерять и целеноправленно изменять, поддерживая при этом некоторый заданный режим исследуемого процесса. Вектор X
называют вектором факторов
; его составляющие {Xi
}i=1
i=k
-
факторами, а область их возможных значений в N опытах x1N,
x2N,
x3N
, ... - факторным пространством. Вторая группа образует p- мерный вектор W
контролируемых, но неуправляемых параметров Очевидно, что выход системы Y
может состоять из любого числа функций отклика, интересующих исследователя обычно в разной степени. Вполне понятно, что при исследовании процесса чаще всего работают именно с первой группой входных параметров. Однако следует помнить, что соответствие полученных результатов эксперимента исследуемому процессу зависит от того, насколько полно в модели будут учтены все те входные параметры, которые в большей степени влияют на функцию отклика и ее конкретные значения Различают моделирование предметное и абстрактное
. При предметном
моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом. Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим
. Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, производились соответствующие испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивалась надежность функционирования и степень выполения технических требований , предъявляемых к объекту. Если желаемый результат не достигался, то приходилось все переделывать заново, т.о. этот тип моделирования сопряжен с большими материальными и временными затратами. Существует и другой подход к предметному моделированию. Многие явления различной физической природы имеют аналогичные количественные закономерности и описываются с помощью одного и того же математического аппарата. Это обстоятельство делает возможным количественное описание некоторого явления путем исследования процесса совершенно другой физической природы. Такой подход называется аналоговым моделированием, а модель исходного процесса, реализуемая с помощью иных физических механизмов - аналоговой моделью. Абстрактное моделирование
связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Математическое моделирование позволяет при помощи математических символов и зависимостей составить описание происходящего процесса. Математическая модель
- это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использование ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. Проведение исследований на такой модели называют вычислительным экспериментом
. Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели. Алгоритм
- это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), системы алгебраических уравнений, простые алгебраические уравнения, бинарные отношения, матрицы и др. Сложные модели требуют больших затрат времени на проведение вычислительных экспериментов. Системы уравнений таких моделей обычно отличаются плохой обусловленностью, что создает проблемы обеспечения устойчивости вычислительного процесса, достижения необходимой точности при приемлемых затратах времени.
Системный анализ и моделирование.
Моделируемые процессы весьма разнообразны по своей природе и степени сложности. В связи с этим существуют различные подходы к их анализу и способу построения моделей. Все процессы делятся на детерминированные и стохастические
. Детерминированными
называются такие процессы, в которых отсутствуют случайные воздействия, динамика которых полностью определяется начальными условиями, и динамические переменные являются функциями времени. Поэтому динамику можно однозначно предсказать на основе изучения его механизма. Модели отображающие детерминированные процессы называются детерминированными
. Стохастическими
процессами называются такие, параметры которых изменяются случайно, под воздействием неконтролируемых дестабилизирующих воздействий, поэтому однозначно предсказать поведение таких процессов на основе их изучения затруднительно; можно говорить лишь о вероятности того или иного типа их поведения. В стохастических системах динамические переменные при фиксированных начальных условиях могут принимать различные значения. В то же время, может быть определена вероятность заданного значения динамической переменной и ее среднего значения. Модель отбражающая такой процесс называется стохастической
. Стохастическое поведение может быть следствием случайных воздействий на динамическую систему или, что очень существенно, выражать внутренние свойства системы. Стохастический процесс может быть следствием особенности системы и возникает при определенных условиях даже без внешних воздействий. Математическое моделирование позволяет установить условия, при которых динамическая система переходит от детерминированного процесса к стохастическому. В соответствии с характером изучаемого процесса строятся жесткие или вероятностные модели. Жесткие (детерминированные) модели строятся обычно без использования статистических вероятностных распределений. В этом случае определенному значению входного параметра процесса соответствует вполне определенное значение его выходного параметра. Связь между входным и выходным параметрами в этом случае является функциональной связью.
Возьмем, например, закон Бойля—Мариотта, который формулируется следующим образом: «При постоянной температуре объем (V),
данной массы газа обратно пропорционален давлению (р),
т. е. V =сопst/р.
Обозначив через Х
объем газа и через Y
его давление,-можно этот закон представить в виде следующей математической модели, описывающей функциональную связь между объемом газа; (входной параметр) и его давлением (выходной параметр): Y=В/Х,
(1.1) где В —
постоянная величина, зависящая от единиц измерения давления и объема, а также от массы и температуры газа. Поэтому, выбрав надлежащим образом меры для объема и давления, а также, считая массу и температуру газа постоянными, можно (с целью упрощения) принять B=1 и тогда выражение (1.1) примет вид Y=1/Х.
(1.2) Если представить выражение (1.2) графически в прямоугольной системе координат (задавая определенные значения входного параметра X,
вычисляем вполне определенные значения выходного параметра Y),
получим кривую в виде гиперболы (рис. 1.2). С другой стороны, задаваясь постоянными значениями количества и температуры газа и проведя эксперимент по выяснению зависимости упругости газа от его объема, можно получить ряд экспериментальных точек и в прямоугольной системе координат построить ту же кривую. И тогда не представит труда от этой экспериментальной кривой, которая по виду близка к гиперболе, перейти к выражению (1.1). Такая легкость объясняется именно функциональной связью между входным и выходным параметрами исследуемого процесса, что является характерным для жестких моделей, описывающих детерминированные процессы. Значительно сложнее обстоит дело с вероятностными моделями, описывающими стохастические процессы.
Большинство изучаемых современных процессов носят, как правило, случайный характер, когда выходной параметр связан с входным параметром статистически, т. е. нельзя заранее с точностью, характерной для функциональной связи, предсказать значение выходного Y Рис. 1.1. Графическое изображение закона Бойля-Мариотта X параметра, соответствующее определенному значению входного. В случае статистической связи
выходного параметра Y
с входным X,
каждому определенному значению Х
соответствует не определенное значение V
(как в случае функциональной связи), а распределение значений Y,
изменяющегося с изменением X.
Поэтому вероятностные модели (когда решение принимается в условиях неопределенности) строятся с использованием методов теории вероятностей и математической статистики. Для построения математической модели, отображающей зависимость функции отклика Y
от фактора X,
статистические данные, обрабатывают, подсчитывая средние значения сначала, например, функции отклика Целью корреляционного анализа является установление тесноты корреляционной связи между рассматриваемыми параметрами, а целью регрессионного анализа — установление формы этой связи (является ли корреляционная связь прямолинейной или криволинейной и каким конкретно уравнением регрессии она может быть описана). При этом могут возникнуть следующие варианты. 1. Оба признака Х
и Y тесно связаны друг с другом (например, электрический ток и напряжение в законе Ома—функциональная связь. Зависимость между обоими признаками выражается в виде формулы. При функциональных связях, как уже отмечалось ранее, каждому определенному значению х
соответствует вполне определенное одно или несколько значений у,
и наоборот. 2. Оба признака Х и Y не
строго связаны между собой, и их связь носит статистический характер. В этом случае каждому фиксированному значению х
соответствуют не определенные значения у,
а ряд изменяющихся вместе с изменением Х
значений Y
и, наоборот, каждому фиксированному значению у
соответствует ряд значений X,
которые тоже изменяются с изменением Y.
3. Оба признака Х
и Y
не связаны между собой. В этом случае значения признака Y не меняются с изменением X,
и наоборот. Таким образом, оба признака Х
и Y
не зависят друг от друга. На практике связь между двумя признаками в интересующей области может быть линейной или приблизительной линейной. В тех случаях, когда она нелинейная, часто путем преобразования (логарифмированием, извлечением корня и т. п.) одного из признаков можно произвести линеаризацию характера кривой. Кроме того, практически любая нелинейная зависимость может быть разделена на участки с линейной зависимостью рассматриваемых признаков. «Наилучшая» прямая, выравнивающая опытные данные, определяется методом наименьших квадратов. Если наблюдаемые значения признаков обозначить через (х1
, y1
), (х2
,
y2
),..., (xn
, уп
),
то прямая регрессии Y на Х запишется в виде у=
где Если рассматривать характер изменения Х
по Y,
т. е. считать, что Х
зависит от значений признака Y, то прямая регрессии Х
на Y будет иметь вид х=
Оба уравнения регрессии (1.3) и (1.4) не эквивалентны, так как Ь'
¹
1/Ь;
прямая регрессии Y на Х не совпадает с прямой регрессии Х
на Y, хотя обе они проходят через точку с координатами (
Полученные две прямые регрессии отражают различный подход к проблеме. В первом случае по известному значению Х
получаем оценку для Y,
а во втором случае по известному значению Y—оценку для X.
Соответственно для сглаживания экспериментальных значений, находим минимум суммы квадратов отклонений по вертикали и горизонтали. Если форма связи рассматриваемых признаков определяется видом уравнения регрессии, то степень связи — коэффициентом корреляции r
Концептуальные модели. Концепция
определяется как комплекс требований к исследуемому объекту для выполнения его назначения и содержит описание основы фукционирования объекта. Одним из важнейших первичных этапов математического моделирования является выбор концепции моделирования. Обычно математическая модель включает некоторые фундаментальные первичные законы, а также частные закономерности специфических для рассматриваемого объекта процессов. Не следует стремиться с самого начала работы к созданию адекватной модели рассматриваемого процесса, хотя эта цель должна, разумеется, существовать. Однако попытка сразу, с первого подхода, достигнуть высокой адекватности имеет шансы на реализацию только при наличии большого опыта математического моделирования именно в рассматриваемой области. На любом уровне иерархии исследуемый объект можно представить в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем. При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного структурированию система низшего уровня становится элементом системы нового уровня, и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. В этом случае часто оказывается нецелесообразным использование одних и тех же видов математических моделей на разных уровнях. Обычно чем ниже уровень иерархии блочного структурирования объекта (например, технического), тем более детальное описание его физических свойств. Следовательно, на низших уровнях используют наиболее сложные математические модели, На высших уровнях могут быть с успехом применены более простые модели. Их можно получить путем аппроксимации моделей низших иерархических уровней. К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. При моделировании в новой области можно рекомендовать следующий подход к решению задачи. На первом этапе следует создать “грубую”, по терминологии академика А. А. Андронова, или даже “максимально грубую” модель. Речь идет об учете только небольшого числа самых существенных факторов. Разумеется, претендовать на высокую адекватность “грубой” модели не приходится. Однако работа с такой моделью разовьет интуицию исследователя и составит базу для создания следующей, более адекватной модели, в которую целесообразно включить дополнительный фактор по сравнению с теми, которые вошли в первую — самую “грубую” модель. Получив вторую модель, следует проверить, даст ли правильный результат предельный подход к первой модели. Этот переход можно осуществить, если, например, устремить к нулю какой-либо параметр, значение которого связано с дополнительным фактором, введенным во вторую модель. В результате предельного перехода будут получены уравнение “грубого” приближения и его решение. Такая проверка с помощью предельного перехода может быть проведена, как при численном решении задачи, так и при аналитическом. Метод последовательного усложнения модели введением дополнительных факторов или процессов может продолжаться до достижения необходимой адекватности модели. Именно так поступают на практике, постепенно переходя от простого к более сложному. В качестве имитационной модели исследуемого процесса сначала рассматривается модель в виде линейного полинома (1-го порядка), как наиболее простой и грубой модели, и осуществляется первоначальное планирование и проведение эксперимента. Только после анализа и оценки результатов эксперимента переходят к более сложной предполагаемой имитационной модели (2-го порядка), на основании которой вновь осуществляют планирование и проведение эксперимента. После чего вновь проводятся анализ и оценка результатов эксперимента. Этот процесс усложнения имитационной модели продолжается до достижения необходимой адекватности математической модели исследуемому процессу. К преимуществам системы разработки моделей, основанной на принципе постепенного перехода от простого к более сложному, следует отнести: развитие интуиции в ходе моделирования;
дополнительный способ проверки правильности результатов;
выявление роли дополнительных факторов и их взаимодействий, которые последовательно вводятся в модель.
На основе анализа содержательного описания определяется общий замысел модели, выдвигаются основные гипотезы, фиксируются сделанные допущения. Уточняется задача моделирования. Обычно концептуальная модель сложной системы представляет собой упрощенное алгоритмическое отображение реальной системы. С учетом рекомендаций Н.П. Бусленко сложная система расчленяется на конечное число частей (декомпозиция системы), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Полученные части при необходимости вновь расчленяются до тех пор, пока не получатся элементы удобные для математического или алгоритмического описания. В результате этого сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции взаимосвязанных элементов, объединяемых в подсистемы (подмодели) различных уровней. При этом стремятся к тому, чтобы получаемые подмодели отвечали реально существующим фрагментам системы. Структура
- это упорядоченное множество элементов и их отношений. Исследуемый объект при системном подходе рассматривается как система, состоящая из взаимодействующих элементов, составляющих упорядоченное множество. Структура объекта характеризуется качественным и количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами, называемыми параметрами элементов. Физические свойства объекта определяются его структурой и параметрами элементов, из которых он состоит. Внешние воздействия зависят от физических свойств внешней среды и характера ее взаимодействия с объектом. Физические свойства внешней среды также определяются ее параметрами. В принципе, существует множество толкований основных определений таких понятий, как компоненты и параметры модели, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции моделирования. Для определенности будем пользоваться следующими определениями: 1. Каждая модель представляет собой некоторую комбинацию таких составляющих, как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции.
2. Под компонентами
понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Иногда компонентами считают также элементы системы или ее подсистемы. Система определяется как группа или совокупность объектов, объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции. Изучаемая система состоит из компонент. 3. Параметр
- это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Параметрами являются величины, которые исследователь может выбирать произвольно, в отличие от переменных
модели, которые могут принимать только значения, определяемые видом данной функции (т.е. типом данной модели). В модели системы будем различать переменные двух видов - экзогенные и эндогенные. Экзогенные
переменные, это входные переменные, которые порождаются вне моделирующей системы или возникают в результате воздействия внешних причин. Эндогенными
переменными называются переменные, возникающие в системе в результате воздействия внутренних причин. 4. Функциональные зависимости
описывают поведение переменных и параметров в пределах компоненты или же выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения по своей природе могут быть либо детерминистскими(в которых отсутствуют случайные процессы), либо стохастическими( в которых присутствуют средние характеристики случайных процессов). 5. Ограничения модели
представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия их изменений. Они могут вводиться либо разработчиком (тогда они называются искусственными
), либо устанавливаться самой системой вследствие присущих ей внутренних свойств. 6. Целевая функция
(функция критерия) представляет собой точное отображение целей и задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. Выражение для целевой функции должно быть однозначным определением целей и задач, с которыми должны соизмеряться принимаемые решения. Формализация и алгоритмизация процессов. Развитие процесса моделирования прошло несколько стадий. Вначале ЭВМ применялась лишь для выполнения вычислений по методикам, ориентированным на ручное решение. Это не вносило ничего нового, а лишь ускоряло процесс. Затем начали использовать математические модели, позволяющие имитировать функционирование исследуемых объектов. Были разработаны единые подходы к получению математических моделей для целых классов задач, и эти подходы удалось формализовать. В результате процесс формирования математической модели оказалось возможным возложить непосредственно на ЭВМ. Полностью формализовать и автоматизировать процесс решения какой-либо проблемы практически невозможно и нецелесообразно. Например, в области техники, где сейчас широко применяется САПР (система автоматического проектирования), такие этапы как: разработка концепции технической системы, формирование технического задания, выбор технического решения, синтез структуры, принятие решений и др., осуществляются на основе опыта и интуиции конструктора и, как правило, непредсказуемы и не поддаются формализации. В то же время, операции и процедуры функционального проектирования (на котором определяются основные параметры объекта), почти полностью поддаются формализации, что в конечном итоге создает необходимые условия для определения и выбора оптимальных параметров и структуры технического объекта. При этом используются математические модели создаваемых объектов, модели оценки и принятия решений, которые в виде соответствующих алгоритмов реализуются при проектировании. Вопросы на понимание материала 1. Какие виды моделирования бывают? Дайте краткую характеристику. 2. Что такое математическая модель и вычислительный эксперимент? 3. Что представляет собой концептуальная модель сложной системы? 4. Дайте краткую характеристику параметрам системы. 5. Что понимается под адекватностью модели? 6. Как осуществляется формализация процессов в моделировании?
| |||||||||||||||||||||||||||