Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 19
|
ХIII научно-практическая конференция школьников «Магические квадраты» Ученицы 8 «А» класса ПТП лицея Шолоховой Анны Руководитель Анохина М.Н. Псков 2008 год СОДЕРЖАНИЕ.
История создания моей работы………………………………………………2 Магический квадрат.......................................................................3 Исторически значимые магические квадраты...................4-5 КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7 Квадрат Альбрехта Дюрера ...........................................................8 Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9 Дьявольский магический квадрат .........................................10-11 ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ .....12 СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15 Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18 Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23
БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25 Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27
История создания моей работы
.
7 8 0 5 Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби. После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку. Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой
, М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 М(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105 Первые значения магических констант приведены в следующих таблице. Исторически значимые магические квадраты.
4 9 2 3 5 7 8 1 6 У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15. Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Рис.1
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо. 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4 Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов. Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка. 27 29 2 4 13 36 9 11 20 22 31 18 32 25 7 3 21 23 14 16 34 30 12 5 28 6 15 17 26 19 1 24 33 35 8 10 Квадрат Альбрехта Дюрера
Магический квадрат 4х4, изображенный на гравюре А. Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины(1514) 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия. 67
1
43
13
37
61
31
73
7
Рис.3 рис.4 3
61
19
37
43
31
5
41
7
11
73
29
67
17
23
13
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский магический квадрат
- магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор)
в обоих направлениях. Такие квадраты называют ещё пандиагональными
. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата: Рис. 5 рис. 6 1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6 1 12 7 14 8 13 2 11 10 3 16 5 15 6 9 4 Рис.7 1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4 Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные. Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…). Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными.
Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные. Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже. 1
15
24
8
17
9
18
2
11
25
12
21
10
19
3
20
4
13
22
6
23
7
16
5
14
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число. Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n. СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.
Каким же образом составляют магические квадраты? Создание магического квадрата «Ло-Шу». Задача
: Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны. Решение:
Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5. Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу». Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения. Квадрат
«Ло-Шу»
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Создание магического квадрата
Альбрехта Дюрера.
Задача
:
Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны. Решение
: Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки
В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно». Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность! Задача:
заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась. Решение:
шаг 1
Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.
9
2
3
7
4
5
8
3
1
4
6
7
6
8
5
3
7
8
3
6
5
1
4
2
9
4
7
3
1
5
8
5
1
4
8
7
6
5
1
8
4
4
8
3
1
3
7
4
5
2
Шаг 2 Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!
9
2
3
7
4
5
8
3
1
4
6
7
6
8
5
3
7
8
3
6
5
1
4
2
9
4
7
3
1
5
8
5
1
4
2
8
7
6
5
1
8
4
4
8
7
3
1
3
7
9
4
5
2
Шаг 3 Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...
9
2
3
7
4
5
8
3
1
4
6
7
6
8
5
3
7
8
3
6
5
1
4
2
9
4
7
3
1
5
8
5
1
4
2
8
7
6
5
1
8
4
4
8
7
3
1
3
7
9
4
5
2
1
9
2
3
6
7
8
4
5
8
3
5
1
2
4
6
9
7
6
4
7
8
9
5
2
3
1
7
8
3
6
5
1
4
2
9
9
2
6
4
7
3
1
5
8
5
1
4
2
8
9
7
6
3
2
6
9
5
1
8
3
7
4
4
5
8
7
3
2
9
1
6
3
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||