Игры, в которые играет ИГРЫ, В КОТОРЫЕ ИГРАЕТ ПРИРОДА Новый научно-популярный журнал Выпуск 1-ый. Май 2004 г Содержание Часть 1. Игра Эренфеста-Шредингера............................................................... 3 1.1. Введение..................................................................................................... 4 1.2. Описание игры Эренфеста-Шредингера……………………………………………………………..……………..5 1.3. Анализ графиков при N > 20..................................................................... 7 1.4. Анализ графиков при N < 20.................................................................... 11 1.5. Поведение системы в зависимости от общего количества фишек (N).... 12 1.6. Поведение системы. Анализ...................................................................... 15 1.7. Выводы...................................................................................................... 16 Часть 2. Флуктуации, флуктуации,чтоб мы делали без вас.............................. 17 2.1. Загадка голубого неба.............................................................................. 18 2.2. Не было ни гроша, да вдруг алтын, или как из газа получить кристаллы 21 2.3. Как верблюду в игольное ушко пролезть?.............................................. 23 2.4. Молекулярный футбол............................................................................. 25 Часть 1. Игра Эренфеста-Шредингера 1.1. Введение Рождение и смерть звезды, скатывание мячика, ржавение железа, вспышки на Солнце, переход тепла от более нагретого тела к менее нагретому. Все это необратимые процессы. Необратимые процессы – это такие процессы, которые развиваются в пространстве и времени. Если некоторые процессы можно было бы остановить или обратить вспять, то эти - никогда. Они будут безудержно развиваться. Мы хотели понять природу этих процессов, хотели понять, почему их так много. Среди бесконечного множества примеров необратимых процессов для моделирования мы выбрали самый понятный и простой - диффузия. Диффузия – движение частиц среды, приводящее к переносу вещества и выравниванию концентраций, равномерному распространению молекул одного вещества среди молекул другого вещества. В нашей работе мы коснемся только закрытых систем, то есть таких систем, которые не имеют обмена веществом с внешней средой. Например, принесем в комнату ватку, намоченную одеколоном. Через некоторое время вы, стоя в другом конце комнаты, начнете чувствовать запах одеколона. Это значит, что частицы одеколона дошли до вас, распространившись по всей комнате, и, взяв 1 см³ воздуха в разных частях комнаты мы получим, что количество молекул одеколона в разных местах комнаты стало примерно одинаково. Чтобы более наглядно показать поведение молекул в тех или иных ситуациях, понять, почему они ведут себя именно так, а не иначе, в своей работе мы использовали в качестве модели игру Эренфеста-Шредингера. Эта игра моделирует диффузию газа в сосуде, перегороженном на две половины перегородкой с отверстием такого размера, чтобы молекула газа могла свободно через неё пройти. Эту игру придумали знаменитые голландские физики – супруги Эренфесты, примерно в начале XX века. В неё играли Кольрауш и Шредингер, причем вручную, и опубликовали свои результаты. 1.2. Описание игры Эренфеста-Шредингера Игра Эренфеста-Шредингера является моделью необратимых процессов в природе. Устроена она следующим образом: имеются два ящика и некоторое количество фишек, произвольно распределенное по ящикам. Далее, чтобы смоделировать движение, все фишки нумеруются и случайным образом узнается число – номер фишки, переходящей из одного ящика в другой. Если общее количество фишек 6, то достаточно использовать кубик, но в нашей работе использовался генератор случайных чисел ( от 1 до N, где N – максимальное общее количество фишек). Каждый ход фиксируется в программе Excel на графике. Вот, например, график для N=20: Моделирование также проводилось для большего значения N, но, поскольку при большом значении N вручную играть в игру нелегко, использовалась компьютерная версия игры “Erenfest”, в которой предусмотрено большое значение N (максимальное – 10 000), а также большое количество ходов (максимальное – 15 000). Исследовалось поведение заселения фишек в ящиках при разном значении N. Для исследования поведения флуктуаций в зависимости от N (флуктуация – случайное отклонение от среднего) в данной работе вычислялись максимальная (Fmax ), средняя (Fср ) и относительная (Fотн ) флуктуации. Результаты представлялись в виде таблицы и графиков зависимости Fmax , Fср и Fотн . Табл. 1.1 Количество фишек Максимальная флуктуация Средняя флуктуация Относительная флуктуация 6 10 20 50 100 200 400 500 600 800 1000 - Максимальная флуктуация – максимальное отклонение от равновесия. - Средняя флуктуация – среднее значение отклонения от равновесия. - Относительная флуктуация – средняя флуктуация по отношению к общему количеству N. 1.3. Анализ графиков при N > 20 Результаты игры Эренфеста-Шредингера представлены в виде графиков на рис.2. На графиках по оси X отложено число ходов (n), по оси Y-заселённость в ящиках (N1 и N2). В нашем исследовании мы изменяли общее количество фишек (N) и исследовали изменение заселённости ящиков (N1, N2) в зависимости от номера хода (n). Число ходов в начале исследования было принято равным 15000. Моделирование проводилось для разных начальных состояний: 1. Все фишки находились в одном ящике. 2. В разных ящиках, с разным количеством фишек. Рассмотрим графики. Из графиков (рис. ) видно что для N ≥ 20, начиная c некоторого хода заселённость ящиков стремится к равновесию. Чем меньше первоначальная разность между заселённостями ящиков, тем быстрее наша система выходит на равновесие. Тем не менее, заселённость ящиков не остаётся постоянной, а наблюдаются отклонения от равновесного значения. Эти отклонения от равновесного значения называются флуктуациями. Несмотря на флуктуации, ни при каких условиях все фишки после выхода на равновесие не собирались в одном ящике. Но при N < 20 появляются большие отклонения от положения равновесия, когда все фишки иногда переходят в один из ящиков. Относительные флуктуации здесь велики. 1.4. Анализ графиков при N < 20 Могут ли и при каких условиях все фишки после выхода на равновесие снова собраться в одном ящике? Мы провели игру Эренфеста - Шредингера для различных значений N в интервале от 6 до 20. Количество ходов равнялось 15000. Результаты приведены на рис. и в табл. 1.2. (в таблице К указывает, сколько раз на протяжении 15000 ходов все фишки оказываются в одном ящике). Табл. 1.2 N К 6 480 7 220 8 89 10 17 15 9 20 0 По результатам таблицы мы построили график. Данные таблицы и графика наглядно указывают на то, что при N < 20 переход всех фишек в один ящик возможен. Однако эта возможность резко уменьшается с ростом N. Мы видим, что при N > 20 переселение фишек в один ящик за 15000 ходов не происходит. Из этого мы делаем вывод, что в природе, где системы содержат миллиарды молекул, в начальное состояние с неравной заселённостью возвратиться невозможно. 1.5. Поведение системы в зависимости от общего количества фишек (N) При моделировании обнаружилось, что всегда распределение фишек в ящиках стремилось к равновесию. Возникает вопрос: зависит ли величина флуктуаций от N ? Для этого было проведено моделирование поведения системы при разных N. Результаты моделирования приведены в таблице 1.3 и на рисунках Из графиков видно, что величина средней флуктуации (Fсред ) возрастает с увеличением N. Относительная флуктуация (Fотн ) наоборот, с ростом N уменьшается и стремится к нулю. А какова зависимость между N и Fотн ? График зависимости Fотн от √N близок к прямой (рисунок). Следовательно, Fотн ~ 1/√N. Табл. 1.3. N Fсред Fотн Fмакс 6 фишек 0,93737525 0,117039 3 10 фишек 1,227950136 0,121727 4,75 20 фишек 1,736702418 0,087702 7,75 50 фишек 2,869925899 0,05678 12,75 100 фишек 3,829968239 0,039226 16,25 200 фишек 5,711351794 0,029151 24 400 фишек 7,844532601 0,019821 30 500 фишек 8,783346557 0,016846 35,5 600 фишек 8,781927753 0,015341 44 800 фишек 10,67250381 0,014698 44,5 1000 фишек 10,95249746 0,012517 59 2000 фишек 12,00933 - - 5000 фишек 19,75867 - - 10000 фишек 28,8633 0,002886 90 √N Характер изменения величины флуктуаций говорит о том, что при больших N флуктуации становятся малозаметными. Для реальных систем частиц (N порядка 6,02*1023 ) флуктуации становятся настолько малы, что ими можно пренебречь. Однако в малых масштабах (т.е. в малых объемах при малом количестве частиц) или в течение больших отрезков времени, флуктуации играют большую роль. Это, например, эволюция Вселенной, голубой цвет неба, броуновское движение. 1.6. Поведение системы. Анализ В системе доминирует случайность. Невозможно точно предсказать ход, но и вероятность такого хода тоже есть. Вполне возможно, что один и тот же ход может повторяться несколько раз, так как вероятность у всех ходов одинаковая. Но именно из-за этого ходы непредсказуемы. Следовательно, более вероятно то, что в обеих частях будет равное количества. Чем меньше фишек в одном “ящике”, тем больше фишек в другом. А это значит, что и вероятность попадания из “ящика” с большим количеством фишек в “ящик” с меньшим - больше, чем наоборот, - из меньшего в большее. Следовательно, количество фишек в “ящиках” хоть и колеблется, но стремится к равновесию. При малом количестве фишек игра, возможно, закончится, но при большом - нет. Смысл игры Эренфеста-Шредингера можно продемонстрировать на примере хаотичного движения молекул на микроуровне, когда они беспрерывно мечутся в разные стороны. Кажется, что в этом ужасном хаосе невозможно найти порядок. Но наблюдая молекулы на макроуровне, их поведение кажется спокойным, равномерным и обладающим порядком. Рассмотрим, например, молекулы газа, помещенные в двух герметичных сосудах, соединенных одним проходом. Под микроскопом видно, что они непрерывно мечутся из одного сосуда в другой, но на макроуровне кажется, что они совершенно равномерно распределены в сосудах. Если бы все распределялось неравномерно, то даже воздух бы собирался в сгустки. Следовательно, одни люди могли бы погибнуть от нехватки воздуха, а другие - от его переизбытка, что привело бы все равно к гибели системы. 1.7. Выводы 1. Игра Эренфеста-Шредингера является моделью необратимых про- цессов в природе и показывает, что все закрытые системы самопроизвольно идут от порядка к хаосу, от неравновесного состояния к равновесному. Равновесное состояние – наиболее вероятное состояние, т.к. реализуется наибольшим количеством вариантов. 2. Система выходит на равновесие, тем не менее она начинает флуктуировать (флуктуация – случайное отклонение от среднего). 3. Средняя флуктуация увеличивается и она пропорциональна корню из N (N – общее количество фишек). Относительная флуктуация уменьшается и она обратно пропорциональна корню из N. 4. Для реальных систем частиц (N порядка 6,02*1023 ) относительные флуктуации становятся настолько малы, что ими можно пренебречь. Однако в малых масштабах (т.е. в малых объемах при малом количестве частиц) или в течение больших отрезков времени, флуктуации играют большую роль. Это, например, эволюция Вселенной, голубой цвет неба, броуновское движение. Часть 2. Флуктуации, флуктуации, чтоб мы делали без вас. 2.1. Загадка голубого неба. Земля окружена бесконечной красотой голубого неба. Разнообразие его оттенков изменяется ото дня к дню, от одной точки неба к другой. Особенно хорошо виден голубой цвет неба в ясную сухую погоду, когда смотришь на небо, повернувшись к Солнцу спиной. В чём причина этой удивительной голубизны? Газы, составляющие атмосферу, абсолютно прозрачны в видимой области спектра. Они не поглощают видимый свет и не отражают его, т.е. в принципе мы должны видеть на противоположной от Солнца стороне черное небо со звездами. В атмосфере содержатся также частички песка и пыли (аэрозоли). После засушливого периода, т.е. когда в атмосфере много аэрозолей, небо становится белёсым. Но после коротких сильных ливней небо вновь становится темно-синим. Из всех способов возникновения цвета остается лишь рассеяние. Английский ученый лорд Рэлей исследовал рассеяние света в различных средах и установил закон, носящий теперь его имя. Он гласит, что рассеяние света на частицах размером 0,1l-0,2l (l – длина волны) происходит по закону I~1/l4 , где I – коэффициент рассеяния. На частицах с размером порядка l и более рассеяние происходит равномерно на всех длинах волн. Аэрозоли довольно велики по сравнению с l, поэтому, присутствуя в больших количествах в атмосфере, придают белёсоватость небу. Но какие же частицы “окрашивают” небо в голубой цвет? Вот некоторые расчеты. Для начала узнаем, какой свет какого цвета сильнее всего рассеивается. Посчитаем отношения Iкрас /Iсин , Iжел /Iсин , и Iзел /Iсин . Iкрас /Iсин = (750/460)4 ≈ (1,6304347...)4 ≈ 7,066... Iжел /Iсин = (590/460)4 ≈ (1,2826086…)4 ≈ 2,706... Iзел /Iсин = (530/460)4 ≈ (1,1521739…)4 ≈ 1,762... Следовательно, синий и фиолетовый свет рассеивается сильнее всего. Таблица 2.1 Длина волны, нм Цвет света 400-435 Фиолетовый 435-480 Голубой 480-490 Зеленовато-голубой 490-500 Голубовато-зелёный 500-560 Зеленый 560-580 Желто-зеленый 580-595 Желтый 595-605 Оранжевый 605-750 Красный А теперь посчитаем размер частиц, на которых происходит рассеяние. В среднем размер атома 2*10-8 см, молекулы – ненамного больше. lсинего света = 460*10-9 м = 460*10-7 см. Рассеяние происходит на «частицах» диаметром 46*10-7 см или ≈ 120 атомов. Для аэрозолей это слишком мало, а для молекулы – слишком много. Однако в атмосфере, как и в любой системе частиц, присутствуют флуктуации плотности. В малых масштабах они становятся достаточными для того, чтобы рассеивать видимый свет. Так флуктуации проявляются на макроуровне. Однако, раз более коротковолновое излучение рассеивается сильнее, тогда мы должны видеть небо фиолетовым. Но небо мы видим синим. Почему? Дело в том, что глаз видит разные цвета неодинаково. Солнце излучает свет также неравномерно. Кривая видности (спектральная характеристика глаза) и кривая распределения энергии в солнечном свете представлены на рисунке. Глаз видит плохо в фиолетовом свете, - хуже, чем в синем. Этим и объясняется именно синий цвет неба, а не фиолетовый. На рисунке также заметно, что максимум чувствительности глаза приходится на максимум излучения Солнца (около 550 нм). Можно представить, какого цвета будет небо Земли для инопланетян. Если они прилетели из планетной системы с синим солнцем, то они увидят небо фиолетовым и ярким, если из планетной системы с красным солнцем – то зеленым и тусклым. 2.2. Не было ни гроша, да вдруг алтын, или как из газа получить кристаллы Цель: пронаблюдать за диффузией аммиака и хлористого водорода. Что необходимо для эксперимента: 1) стеклянная трубка длиной около 50 см, 2) две пробки, 3) два стеклянных стерженька, 4) кусочки ваты, 5) соляная кислота и аммиак. Мы взяли не очень широкую стеклянную трубку длиной в 37,5 см и подобрали к ней две пробки. С внутренней стороны, обращенной к трубке, вставили в обе пробки по небольшому стеклянному стерженьку и намотали на них по кусочку ваты. Один кусочек смочили несколькими каплями концентрированного раствора аммиака (NH3 ), а другой - раствором соляной кислоты (HCl). Одновременно вставили пробки с ватками в трубку с обоих концов. Через 2-3 минуты в ней, на расстоянии в 14 см от ватки с соляной кислотой и на расстоянии в 23,5 см от ватки с аммиаком (т.е. ближе к соляной кислоте), появилось белая перегородка хлорида аммония (NH3 + HCl = NH4 Cl). Вскоре хлорид аммония в виде кристаллов осел на стенки трубки. При рассмотрении налёта на стенках трубки через микроскоп мы убедились, что это образовались кристаллы. Вот мы вам и рассказали формулу быстрого «приготовления» кристаллов. По таблице Менделеева мы выясняли, что масса молекул соляной кислоты примерно вдвое больше массы молекул аммиака: m NH3 = m N+3 m H = 14.007 + 3*1.008 = 17.031 m HCl= m H + m Cl = 1.008 + 35.453 = 36.461 и поэтому скорость движения частиц соляной кислоты во столько же раз меньше. Откуда же взялся наш алтын (т.е. перегородка из кристаллов хлористого аммония?). Опять помогла всесильная диффузия: невидимые молекулы хлористого водорода и аммиака продиффундировали с ваток и встретились в трубке в нужном месте в назначенный час и благополучно прореагировали с образованием кристаллов хлористого аммония. 2.3. Как верблюду в игольное ушко пролезть? Есть красивая восточная сказка о том, как верблюд пролез в игольное ушко. На первый взгляд это кажется невозможным, выдумкой народа. Но сказка ли это? Давайте проделаем аналогичное – попробуем просунуть яйцо целым в меньшее по размеру горлышко бутылки. Для этого надо использовать установку для получения углекислого газа. На штативе устанавливают две соединённые между собой колбы. Верхняя колба с краном, наполнена серной кислотой, а нижняя – наполовину содой. От нижней колбы идёт отвод в бутылку. Открываем кран так, чтобы реакция серной кислоты и соды происходила постепенно. При реакции серной кислоты и соды (H2 SO4 + K2 CO3 = CO2 + K2 SO4 +H2 O) выделяется углекислый газ, который попадает в бутылку (так как углекислый газ тяжелее воздуха, то он будет опускаться на дно бутылки). Когда бутылка полностью заполнится углекислым газом, надо налить в неё щёлочи и поставить на горлышко бутылки яйцо носиком вниз, так, чтобы оно полностью закрывало горлышко бутылки. Вскоре яйцо пролезет через горлышко в бутылку целым. Очевидное-невероятное! Но как же это происходит? Когда мы наливаем щёлочь, между молекулами углекислого газа и молекулами щёлочи происходит реакция (CO2 + NaOH = Na2 CO3 + H2 O). Но как же все молекулы углекислого газа попадают в щёлочь? Причиной тому диффузия. Щёлочь в конце концов поглощает все молекулы углекислого газа, поэтому образуется вакуум, который всасывает яйцо. Так, благодаря диффузии, сказка стала былью. Комментарий Dr. chem. Горбовицкой Т.И. : Но каков же механизм реакции углекислого газа со щёлочью? Дело в том, что одной из стадий этого процесса является диффузия молекул углекислого газа из газовой фазы , т.е. пространства над раствором щёлочи, в раствор. Иначе реакция не пройдёт. Интересно, что диффузия в этом процессе является лимитирующей, т. е. самой медленной стадией. Поэтому в сосуде возникает неравномерное распределение молекул углекислого газа: те молекулы, которые находятся близко к поверхности раствора, довольно быстро им поглотятся, а молекулам, находящимся подальше, нужно до раствора ещё добежать, на что потребуется время. В результате концентрация молекул углекислого газа поблизости от поверхности раствора будет меньше, чем в более удалённых областях сосуда. Это состояние поддерживается до тех пор, пока весь углекислый газ не прореагирует со щёлочью. В определённом смысле, наша система в данном случае является открытой, т.е. вещество – углекислый газ – в ходе реакции выводится из системы. Причём, это происходит так быстро, что концентрация молекул углекислого газа не успевает выравниваться. Таким образом, процесс протекает неравновесно. 2.4. Молекулярный футбол Не замечали ли вы когда нибуть, что крошка в вашей чашке постоянно движется в разных направлениях. Что это за “футболисты” , играющие этой крошкой, как мячом? Такое движение называется броуновским движением. Его автор, также как и Вы по утрам смотрите в чашку, так и он исследовал непонятное движение пыльцы плауна. Ведь пыльца - это неживая природа, значит двигаться она самостоятельно не может. Мы решили докопаться до истины. Было проведено моделирование движения броуновской частицы. Для этого использовалась игра-модель Эренфеста-Шредингера . Модель состояла из четырёх ящиков, расположенных друг напротив друга крестообразным образом. В каждом ящике – по 50 фишек. Одна пара ящиков отвечала за перемещения частицы по оси Y, а другая – по оси Х. Нужно сразу сказать, что модель упрощена, так как существуют диагональные оси, на которых мы точки не откладываем. Результаты и их анализ Результаты моделирования представлены в виде графиков на рис. На графиках изображены траектории движения «мяча» – броуновской частицы. Эти траектории доказывают, что наш “мяч” движется непрерывно и хаотично, также как и настоящий мяч на футбольном поле. Почему же это происходит? Броуновская частица движется потому, что удары футболистов-молекул не компенсируют друг друга из-за наличия флуктуаций плотности среды вокруг «мяча». Броуновское движение доказывает наличие этих флуктуаций. Рис. Возможные траектории броуновской частицы, полученные нами в результате работы. Начальные параметры – 50 «частиц» в каждом ящике, 1000 ходов.