Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 17
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Уральский государственный горный университет
620144 , г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30 Тел. (343) – 2576661. E-mail: Pisetski@hotmail.com
Преобразование Хартли
Краткое содержание работы Р. Брейсуэлла
«Преобразование Хартли. Теория и приложения», М: Мир, 1990.
Курс: Теория цифровой обработки данных
Выполнила: Балаева Л.А.
E-mail:
balaeva-lydmila@yandex.ru Руководитель
:
проф
.
Давыдов А.В.
E-mail:
prodav@yandex.ru Содержание
.
1. Введение. 2.1. Четная и нечетная составляющие. 2.2. Формулы связи. 2.3. Энергетический и фазовый спектры. 3. Теоремы. 3.1. Соответствие операций. 3.2. Свертка. 4. Дискретное преобразование Хартли. 4.1. Физический смысл величин τ и ν. 4.2. Чётная и нечётная составляющие. 4.3. Степени свободы. 4.4. Другие вещественные ядра. 4.5. Теоремы, связанные с ДПХ. 4.6. Выводы по ДПХ. 5. Заключение. Без сохранения форматирования исходного документа
Екатеринбург
2005
Введение.
Преобразование Хартли, как и преобразование Фурье, может применяться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Данный вид преобразования назван в честь Р. Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию Непрерывный прогресс в области обработки информации связан с задачами всевозрастающей сложности. Обращение к преобразованию Хартли обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, в частности использующих вещественные последовательности данных (одномерных и двумерных). Обработку таких данных желательно осуществлять в области вещественных чисел с помощью взаимно симметричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преобразования Фурье, отображающего вещественные функции в комплексную область и несимметричного по i
(происходит изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованию), преобразование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразования только в вещественной области и обладает указанной симметрией. В своём е я постараюсь изложить на основе теории и практических примеров некоторые основные аспекты преобразования Хартли. Эта тема является актуальной, так как в настоящее время преобразование Хартли находит широкое применение при разработке двумерных и трехмерных быстрых преобразований, быстрых алгоритмов интерполяции и т.д. Хартли ввел пару формул.
В этих соотношениях для функции cas мы будем следовать определению автора, в соответствии с которым эта функция представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента cas t =
cos t + sin t. 2. Преобразование Хартли.
В определение Хартли для преобразования y (w) в явном виде был включен коэффициент 1/
2.1.Четная и нечетная составляющие.
Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе свойства симметрии. Для пояснения этого представим Для установления связи преобразования Пусть
Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье. Для иллюстрации чётной и нечётной составляющей рассмотрим ряд примеров: Пример №1.
Рассмотрим функцию вида
Заметим, что значение функции Оцениваемый интеграл равен:
На данном примере №1 можно видеть симметрию чётной компоненты Можно заметить, что H
(
f
)
не является ни четной, ни нечетной функцией. Минимум функции H
(
f
)
имеет место при Пример №2.
Рассмотрим сигнал
Для данного примера имеем преобразование Хартли
2.2.Формулы связи.
При заданной функции
Таким образом, из
Наглядно связь преобразования Хартли с преобразованием Фурье можно представить на примере (в качестве примера возьмём стробирующую функцию)
И обратно, из заданного преобразования Фурье F
(
f
)
можно получить
т.е., исходя из F
(
f
),
функция Помня о том, что мнимая часть комплексной величины сама является вещественной, убеждаемся в том, что Преобразование Фурье равно разности четной составляющей пре
образования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на
i
; напротив, преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.
2.3.Энергетический и фазовый спектры.
Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спектра:
Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструментом исследования, который необходим. Энергетический спектр можно получить непосредственно из преобразования Хартли. Имеем
Рассмотрим энергетический спектр, полученный из преобразования Хартли на примере прямоугольного импульса. Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей и их суммирования при данном значении В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразования Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хотя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосредственно вычислена из выражения
Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли
В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учитывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля амплитуды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах. Имеем следующую формулу для определения фазы преобразования Фурье через преобразование Хартли:
Наглядно это можно представить на следующем примере.
Полезной альтернативой одновременному представлению вещественной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения
Заслуживает внимания тот факт, что при движении по траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряемая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки на траектории остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа argF
(
f
)
; разрывы фазовой функции обусловлены прохождением траектории через начало координат. Можно также рассматривать это преобразование в виде трехмерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сделана проволочная модель этой кривой. На рис.2 показана эта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним измерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость
В определенном смысле преобразование Хартли может рассматриваться как гладкая форма представления вещественного колебания. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него. 3.Теоремы.
Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание. Численные методы расчетов также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления. Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере. Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного. Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны. 3.1.Соответствие операций.
Если колебание V
(
t
)
имеет преобразование Хартли H
(
f
),
то каким будет это преобразование для функции V
(
t
/
T
),
т. е. функции, получающейся из исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т
раз? Непосредственное определение интеграла для положительных Т приводит к выражению Если Т отрицательно, то для новой переменной Если V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то V(t/T) имеет преобразование Хартли вида |T|H(Tf). Для сравнения приведем теорему подобия, или теорему изменения масштаба, применительно к преобразованию Фурье:
Если
V
(
t
) имеет преобразование Фурье
F
(
f
), то
V
(
t
/
T
) имеет преобразование Фурье вида |
T
|
F
(
Tf
).
Благодаря этой очень близкой аналогии удобно перечислить теоремы для обоих преобразований так, чтобы были наглядны и очевидны их различия. Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотренному примеру. 3.2.Свертка.
В таблице операции свертки и взаимной корреляции условно обозначены символами «звездочка» (*) и «пентаграмма» ( V
1
(
t
)*
V
2
(
t
)= V
1
(
t
)
Важным свойством теоремы о свертке является следующее: если одна или обе функции, входящие в формулу свертки, являются либо четными, либо нечетными, то теоремы Хартли и Фурье (т. е. формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки) совпадают. Имеем теорему: Если
V
1
(
t
) является четной функцией, то свертка
V
1
(
t
)
Если одна из этих функций является нечетной, то формула упрощается. Если
V
1
(
t
) -
нечетная функция, то свертка
V
1
(
t
)
*
V
2
(
t
) имеет преобразование Хартли вида Н1
(
f
)
H
2
(-
f
).
4. Дискретное преобразование Хартли
.
Хотя мы стремимся рассматривать время как непрерывную переменную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например, когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накапливания данных на регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную τ, которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от 0 до N - 1. Выбран именно этот интервал, а не [1, N] или [- (N/2) + 1,N/2] в соответствии с общепринятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразование Фурье
(ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стандартную форму
Функция f(τ) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе. Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции f(τ) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями
где, как и выше, используется обозначение cas θ= cos θ + sin θ, введенное Хартли. Для получения обратного ДПХ воспользуемся свойством ортогональности
Подставляя величину
что подтверждает справедливость обратного преобразования. Коэффициент Пример дискретного прямого и обратного преобразования Хартли:
4.1.Физический смысл величин τ и
ν
.
Переменная τ интерпретируется как время, а дискретная переменная ν - как частота; однако следует помнить две особенности. Если в качестве единицы времени t принята секунда, т. е. временной интервал между последовательными элементами временного ряда 4.2.Чётная и нечётная составляющие.
Как в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет чётную и нечетную компоненты
однако должны быть высказаны некоторые соображения в отношении определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ν от 0 до N - 1. Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функцию с периодом N.
Таким образом, для ν = -1 мы присваиваем функции значение H(N - 1), так как ν = -1 и ν = N - 1 разделены периодом длины N. В общем случае будем присваивать функции Н(-ν), где -N
Рассмотрим чётную и нечётную составляющие ДПХ на примере биномиального импульса (см. ниже) Из определения F(ν) для ДПФ очевидно, что F(ν) может быть получено с использованием четной и нечетной составляющих ДПХ: F(ν) = E(ν)-i
O(ν). С другой стороны, если мы располагаем преобразованием F(ν), то можно сформировать H(ν): H(ν) = ReF(ν)-ImF(ν). Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными выше для непрерывного преобразования.
4.3.Степени свободы
.
Нами были установлены взаимно однозначные соотношения между дискретными преобразованиями Фурье и Хартли. При этом возникает вопрос из области теории информации. Как объяснить тот факт, что N вещественных значений ДПХ можно использовать вместо N комплексных значений ДПФ, которые содержат 2N вещественных чисел? Это можно понять, вспомнив о том, что эрмитово свойство ДПФ означает двойную избыточность. Таким образом, ДПФ имеет только N степеней свободы, несмотря на то, что имеется 2N вещественных коэффициентов. Так как для ДПХ вследствие его симметрии не характерно свойство вырожденности, N его вещественных коэффициентов эквивалентны N комплексным коэффициентам ДПФ. 4.4.Другие вещественные ядра.
Функция cas θ может рассматриваться как синусное колебание со сдвигом 45°, автоматически соответствующее косинусной и синусной компонентам. Если в качестве ядра преобразования использовать функцию Следовательно, можно предположить справедливость обратного преобразования; ядро обратного преобразования равно 4.5.Теоремы связанные с ДПХ.
Можно отметить, что среднее значение последовательности
Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются точным соответствием, как, например Теорема о зеркальном изображении.
Если из последовательности Теорема сложения.
Свойство суперпозиции, иллюстрируемое теоремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ. Теорема о сдвиге.
Сначала рассмотрим пример, в котором реализуется единичный сдвиг последовательности {a0
a1
a2
... aN
-1
}, имеющей ДПХ вида {α0
α1
α2
... αN
-1
}. В соответствии с теоремой о сдвиге для Т=
1 имеем последовательность {a
N
-1
а0
а1
аг
…
a
N
-
2
}, для которой ДПХ равно { α 0
C1
α1
C2
a2
... C N-1
αN-1
} - { 0 S1
α N-1
S2
αN-2
... SN-1
α1
}, где Cν
= cos (2πν/N), Sν
= sin(2πν/N). Для выполнения данной операция сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством цикличности перемещается на первую позицию. ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синусными и косинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображение - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказательства теоремы о сдвиге подставим f(t+T) в формулу, определяющую прямое ДПХ, и получим
cos (2πνT/N)
cos (2πνT/N) H(ν) - sin(2πνT/N) cos(2πνT/N) H(ν) -sin(2πνT/N)H(-ν). Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре действия умножения. Теперь если Н2
(ν) - четная функция (т. е. Н2
(ν)= H2
(-ν)), то H(ν) = Рассмотрим пример, когда H2
(ν) –чётная функция.
Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н2
(ν) является нечетной функцией; при этом имеем H(ν)=NHl
(-ν)H2
(ν). Вследствие коммутативности Н(ν)=NHl
(ν)H2
(ν), если либо H1
(ν), либо Н2
(ν) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе. Теорема о произведении.
В теореме о произведении четыре компоненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей. Теорема о растяжении.
Сходство этой теоремы с соответствующей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда V(t) преобразуется в V(t/T). Так как величина T может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяжение, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения масштаба также имеют практическое значение, например, когда последовательность регулярных измерений должна быть повторена с большей или меньшей скоростью. Функция V(t/T) определена для любого Т при заданной V(t), но это утверждение несправедливо для f(τ/Т) при заданной функции f(τ), где τ=0,1, … ,N-1.
Следовательно, применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению масштаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере. Пусть последовательность {abcd} имеет последовательность ДПХ {α β γ δ}. Тогда последовательности {а 0 b 0 с 0 d 0} соответствует последовательность ДПХ вида В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ: Убеждаемся в том, что при τ = 0 имеем f(0) = а.
При нечетном τ сумма равна нулю, для четного τ эта сумма сводится к выражению: α+βcasτθ+γcas2τθ+δcas3τθ, для которого обратное преобразование Хартли имеет вид: {a b c d}.
Теорема о второй производной.
Рассмотрим данную теорему на примере экспоненциальной функции.
4.6.Выводы по ДПХ.
Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления относится данная последовательность. Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных областей представления (временной или частотной); этот недостаток отсутствует у ДПХ. Множитель N зависит от области представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что последний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициентов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента N, не имеет значения в практике вычислений. 5.Заключение.
Таким образом, в данном е были рассмотрены некоторые основы преобразования Хартли. В результате чего можно сделать следующие выводы. Во-первых, хотя между интегралами преобразования Хартли
отсутствуют существенные отличия от обычных интегральных формул преобразования Фурье, однако на практике эти различия значительны. Во-вторых, функция В-третьих, обратное преобразование для его реализации требует точно такой же процедуры интегрирования, как и прямое преобразование. Наконец,
|