Указания методические к лабораторным работам по курсу «метод конечных элементов» Методические указания к лабораторным работам по курсу «метод конечных элементов» 1. Ознакомление с дву­мерным конечноэлементным пакетом (подситемой MASTAC2D комплекса TELMA) Цели работы: изучение поведения решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии на различных сетках, изучение возможности уточнения решения локальными сгущениями узлов Порядок выполнения работы · В препроцессоре MASTAC2D комплекса TELMA задать параметры краевой задачи, описывающей поведение стационарного магнитного поля в конструкции, предложенной преподавателем. · Построить сетку, выполнить расчёт вектор-потенциала пакетом MASTAC2D. · Изучить поведение конечноэлементного решения, используя постпроцессор. · Используя локальные сгущения узлов в местах наибольшего изменения градиента решения, получить решение, погрешность которого не превышает 0.1% в указанных преподавателем точках. Точность оценивать путём решения задачи на вложенной сетке. · Подготовить отчёт, содержащий: решение задачи на грубой сетке, решение задачи на подобранной сетке с заданной погрешностью, решение задачи на вложенной сетке. Решение представить как в виде силовых линий магнитного поля, так и в виде таблиц значений потенциала и индукции в контрольных точках. Вопросы к защите 1. Вычисление значения решения в заданной точке. 2. Представление решения двумерной эллиптической задачи в виде линий равного уровня и цветовых градаций. 3. Представление решения двумерной задачи магнитостатики в виде силовых линий. Совпадение силовых линий с линиями равного уровня векторного потенциала 4. Поведение решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии. Излом линий равного уровня на границах разрыва коэффициента диффузии. 5. Реакция решения эллиптической краевой задачи на изменение коэффициентов уравнения. 2. Реализация МКЭ с линейной аппроксимацией на треугольниках Цели работы: изучение структур данных и алгоритмов, используемых в МКЭ, изучение приёмов вычисления локальных матриц с использованием барицентрических координат Порядок выполнения работы · Вычислить локальные матрицы и правую часть, используя барицентрические координаты. При этом считать, что коэффициент диффузии и источник являются на конечном элементе постоянными. · Разработать программы генерации портрета и сборки СЛАУ для треугольной сетки, заданной в формате препроцессора комплекса TELMA. Учесть возможность задания неоднородных краевых условий первого рода. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу. · Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тесте с линейным решением. Вопросы к защите 1. Структуры данных МКЭ. 2. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке. 3. Нумерация базисных функций. Алгоритм сборки матрицы. 3. Реализация МКЭ-аппроксимаций высоких порядков Цели работы: изучение возможностей МКЭ по повышению порядка аппроксимации, изучение структур данных и алгоритмов, используемых в МКЭ Порядок выполнения работы · Для указанного преподавателем типа конечных элементов и базисных функций вычислить локальные матрицы и локальные векторы правой части. · Написать программу генерации портрета разреженного строчного формата по заданной сетке и программу сборки глобальной СЛАУ. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу. · Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тестах с полиномиальным решением. · Разработать программу выдачи решения в заданной точке. · Разработать программу выдачи решения на треугольной сетке в формате постпроцессора комплекса TELMA. Вопросы к защите 1. Повышение порядка аппроксимации МКЭ. Базисные функции. Эрмитовы и лагранжевы элементы. 2. Нумерация базисных функций. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке. 3. Структуры данных МКЭ высоких порядков. 4. Тестирование программ МКЭ на тестах с полиномиальным решением. Погрешность аппроксимации правой части кусочно-постоянной функцией. 4. Тестирование построенного МКЭ-пакета Цели работы: изучение принципов тестирования МКЭ-программ, отладка комплекса. Порядок выполнения работы · Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого равна степени базисных функций метода. Исправить обнаруженные ошибки. · Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого на 1 больше степени базисных функций метода на сетках с постоянным и непостоянным шагом. Оценить правильность результатов. · Решить с помощью разработанных программ на грубой сетке задачу, которая была решена в первой лабораторной работе с помощью комплекса MASTAC2D. Сравнить результаты, объяснить различия. Вопросы к защите 1. Порядок аппроксимации МКЭ. Оценка порядка аппроксимации. 2. Порядок точности. Связь порядка точности и порядка аппроксимации. 5. Сравнение схем различных порядков аппроксимации при решении практических задач Цели работы: изучение проблем оценки точности решения и порядка аппроксимации метода. Порядок выполнения работы · Сравнить погрешность решения задачи МКЭ с повышенным порядком аппроксимации и с линейными базисными функциями на одинаковых грубых сетках. · Изучить поведение методов при дроблении сеток. · Оценить для обоих методов порядок аппроксимации производной решения (компонент магнитной индукции). В качестве точного решения принять решение, полученное комплексом MASTAC2D на очень подробной сетке. · Написать итоговый отчёт по лабораторным работам 2-5. Вопросы к защите 1. Число ненулевых элементов в строке СЛАУ для элементов высоких порядков. Корректное сравнение временных затрат на решение СЛАУ для разнотипных элементов 2. Оценка эффективности решения задачи с применением элементов высоких порядков при решении задачи с заданной точностью. 3. Дифференцирование решения. Порядок аппроксимации производной. Сглаживание.