Указания методические к практическим занятиям для студентов специальности 230201 Информационные системы и технологии СТАРООСКОЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ИНСТИТУТА СТАЛИ И СПЛАВОВ (ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА) Кафедра АиПЭ Основина О.Н. НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 230201 – Информационные системы и технологии (очная, очно-заочная формы обучения) Старый Оскол 2006 УДК 681.5 ББК 30.14 Рецензент: Заместитель зав.кафедрой АиПЭ по науке Боева Л.М. Основина О.Н. Надежность информационных систем. Методические указания к практическим занятиям. – С.: СТИ МИСиС, 2006. - 68 с. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Надежность информационных систем» для студентов специальности 230201 – Информационные системы и технологии, очная, очно-заочная, формы обучения. Ó Основина О.Н. Ó СТИ МИСиС Содержание Предисловие 5 1. Количественная оценка показателей надежности невосстанавливаемых систем 6 1.1 Цель занятия 6 1.2 Основные теоретические положения по теме занятия 6 1.3 Примеры решения аудиторных задач 10 1.4 Задачи для самостоятельного решения 11 1.5 Контрольные вопросы и задания 11 2. Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем 12 2.1 Цель занятия 12 2.2 Основные теоретические положения по теме занятия 12 2.3 Примеры решения аудиторных задач 18 2.4 Задачи для самостоятельного решения 19 2.5 Контрольные вопросы и задания 20 3. Расчет надежности сложноструктурных систем логико-вероятностным методом 20 3.1 Цель занятия 20 3.2 Основные теоретические положения по теме занятия 21 3.2.1. Методика расчета ПН невосстанавливаемых систем 24 3.2.2 Преобразование структуры типа «треугольник» в структуру типа «звезда» 25 3.2.3 Алгоритм разрезания 26 3.2.4. Методика расчета ПН восстанавливаемых систем 27 3.3 Примеры решения аудиторных задач 30 3.4 Задачи для самостоятельного решения 34 3.5 Контрольные вопросы и задания 35 4. Марковские процессы с дискретными состониями Марковские цепи 35 4.1 Цель занятия 35 4.2 Основные теоретические положения по теме занятия 36 4.3 Примеры решения аудиторных задач 42 4.4 Задачи для самостоятельного решения 44 4.5 Контрольные вопросы и задания 45 5. Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем 46 5.1 Цель занятия 46 5.2 Основные теоретические положения по теме занятия 46 5.3 Примеры решения аудиторных задач 48 5.4 Задачи для самостоятельного решения 50 5.5 Контрольные вопросы и задания 51 6. Изучение методики организации и обработки результатов определительных испытаний на надежность 51 6.1. Цель занятия 51 6.2 Основные теоретические положения по теме занятия 52 6.3 Примеры решения аудиторных задач 58 6.4 Задачи для самостоятельного решения 59 6.5 Контрольные вопросы и задания 59 7. Методика организации и обработки результатов контрольных испытаний на надежность 60 7.1. Цель занятия 60 7.2 Основные теоретические положения по теме занятия 60 7.3 Примеры аудиторных задач 64 7.4 Контрольные вопросы и задания 65 Список литературы 66 Предисловие Актуальность проблемы надежности современных информационных систем очень велика и продолжает возра­стать во времени, требуя новых, системных подходов к ее решению. При создании таких больших систем, как напри­мер АСУ, ИС и АСОиУ на основе локальных вычис­лительных сетей (ЛВС), требуется оценка надежности всех без исключения разнородных компонентов: функций, техники, программ, персонала. Специфика этих компо­нентов велика, но тем не менее конкретные методы расчета их надежности основываются на общих концепци­ях и приемах, которые рассматриваются в дисциплине "Надежность информационных систем", и без овладения которыми инженер не сможет эффективно решать задачи проекти­рования и эксплуатации ИС. В свою очередь успешное овладение методами анализа, расчета и обеспечения надежности сложных систем прямо зависит от приоб­ретенных практических навыков. Специалисты в области теории надежности считают, что изучение этой теории без надлежащей практической подготовки бесцельно. Ограниченный объем практических занятий обусло­вил выбор тех тем, которые должны были охватить основные стадии процесса анализа, оценки и обеспечения надежности сложных систем. Для активизации работы студентов предусмат­ривается проведение практических занятий с выдачей ин­дивидуальных заданий. Контроль и самопроверка резуль­татов решения задач обеспечиваются получением числовых ответов. Последовательность тем практических занятий определяется рабочей программой курса. 1. Количественная оценка показателей надежности невосстанавливаемых систем 1.1 Цель занятия Закрепление знаний основных законов распределения вероятностей, применяемых в теории надежности, базовых надежностных моделей, типовых задач, решаемых на ранних стадиях проектирования систем, основных групп показателей надежности (ПН) простых и сложных систем и привития практических навыков количест­венной оценки этих показателей. В результате проведения занятия студенты должны знать: основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и базовые надежностные модели на их основе; группы ПН, виды показателей, входящих в каждую группу, и приемы их количественной оценки; Студенты должны уметь: выбирать сочетания ПН различных групп для всесторонней оценки надежности систем; рассчитывать одни ПН через известные другие; оценивать надежность систем через ПН их элементов. 1.2 Основные теоретические положения по теме занятия Основные законы распределения наработки до отказа Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина — наработка системы до отказа может описываться различными законами распределения в зависимости от свойств системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распределения наработки до отказа: F(t) = l-е , (1.1) где — параметр этого распределения. Плотность распределения: , (1.2) Функция надежности: P(t)= e . (1.3) Вероятность отказа системы до момента t 1 и вероятность безотказной работы до момента t 2 соответственно будут: ; ; Средняя наработка до отказа: , (1.4) т.е. равна величине, обратной параметру экспоненциального распределения. Дисперсия наработки до отказа: (1.5) Интенсивность отказов: (1.6) является постоянной величиной, не зависящей от времени и численно равной параметру распределения. Отметим одно характерное свойство, присущее только экспоненциальному распределению: вероятность Р (t 1, t 2) безотказной работы системы на интервале (t 1, t 2) (при условии, что в момент t 1 система работоспособна) зависит только от длины интервала t 2— t 1 и не зависит от времени t 1 предшествующей работы системы, т. е. от ее “возраста”: (1.7) Так как для экспоненциального закона характерно постоянство интенсивности отказов =const, то область применения этого закона — системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования). Можно показать, что экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Наконец, одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты. Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут: ; (1. 8) , (1.9) где и т — параметры нормального распределения. Средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа: =m; D[T]= 2 . (1. 10) Для практического использования соотношений (1.8) и (1.9) перейдем от случайной величины Т к иной случайной величине Z=(T—m)/ , (1.11) имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] = 1. Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента плотность распределения величины Z : Соответственно функция распределения величины Z Очевидно, что функция является симметричной, т. е. = , а следовательно, В таблицах часто приводят значения не функции Ф( z ), а несколько иной функции (1.12) Функции Ф(z) и Ф0 связаны между собой соотношением (1.13) Приведем значения функции (1.12) для нескольких положительных z: Ф0 (0,5) =0,191; Ф0 (1) =0,343; Ф0 (2) =0,477. Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне (— , ). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть, вместо нормального в принципе должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0, ), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределения случайной величины Т имеет вид: где с — нормирующий множитель; , т — параметры распределения. При этом плотность распределения Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (1.11), можно показать, что В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа ; где , Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность. Распределение Вейбулла — Гнеденко. В теории надежности получило применение распределение Вейбулла — Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно ; Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, параметр — его масштаб. Так, при k =1 распределение Вейбулла — Гнеденко совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k > 1 интенсивность отказов монотонно возрастает, при k < 1 монотонно убывает. Распределение Вейбулла — Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки. Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 1.1. Табл. 1.1 Распре-деление Функция надёжности P(t) Плотность распределения Интенсивность отказов Средняя наработка до отказа Экспонен-циальное Нормаль- ное см. прим. Вейбулла-Гнеденко Примечание: , , , , , - параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция. 1.3 Примеры решения аудиторных задач Пример 1 . Функция вероятности безотказной работы (ВБР) системы описывается выражением . Необходимо определить значение ВБР и среднюю наработку до отказа системы для оперативного времени t = 100 ч, если интенсивности отказов ее элементов . Неправильное решение задачи: , . Правильное решение задачи: ч. . Пример 2. Функция ВБР объекта имеет вид . Необходимо определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа при значениях параметра а : , и , если оперативное время составляет . Неправильное решение задачи: а) так как задан закон распределения Вейбулла: ; при ; при ; б) ; ; ; ; . Из этого примера видно, что расхождение результатов расчета может быть недопустимо большим. В варианте «а» правильно рассчитан показатель и невер­но , а в варианте «б» - все наоборот. Правильное решение задачи требует расчета значений показателя так, как это выполнено в варианте «а», показателя как в варианте «б». 1.4 Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Наработка системы до отказа описывается экспоненциальным распределением с параметром ч-1 . Определить вероятность безотказной работы P (t 1 ) и плотность распределения f (t 1 ) при t 1 = 2000 ч, а также среднюю наработку до отказа . Задача 2. Наработка системы до отказа описывается нормальным распределением с параметрами m = 400 ч, и =1000 ч. Определить вероятность безотказной работы P (t 1 ) и плотность распределения f (t 1 ), интенсивность отказов для t 1 = 2000 ч и среднюю наработку до отказа . 1.5 Контрольные вопросы и задания 1. Перечислите основные состояния, в которых может находиться система. 2. Что понимают под отказом системы? 3. Дайте определение понятия «надежность» и его составляющих. 4. По каким признакам выделены группы ПН? Перечислите их. 5. Назовите основные показатели безотказности (ремонтопригодности, долговечности, комплексные ПН). 6. Запишите основные расчетные соотношения, связывающие между собой показатели безотказности в общем случае. 7. Назовите области применения основных законов распределения наработки до отказа. 8. Дайте вероятностные и статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых систем. 9. В чем отличие коэффициентов готовности и оперативной готовности невосстанавливаемых систем? 2. Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем 2.1 Цель занятия Освоение студентами следующих методик расчета надежности простых и сложных систем: 1) классический метод; 2) метод перебора состояний; 3) метод минимальных путей и сечений; 4) метод разложения относительно особого элемента. Закрепление знаний основных групп показателей надежности (ПН) простых и сложных систем и привития практических навыков количест­венной оценки этих показателей. В результате проведения занятия студенты должны знать: Особенности расчета надежности систем различной степени сложности с использованием вышеперечисленных методов, методологические основы этих методов и условия их применения для аналитической оценки показателей надежности систем, способы преобразования сложных структур в последовательно – параллельные. Студенты должны уметь: практически использовать изучаемые методы в инженерных расчетах надежности простых и сложных систем без восстановления; производить при необходимости преобразование сложноструктурных схем в эквивалентные по надежности последовательно – параллельные, оценивать при помощи вышеперечисленных методов показатели надежности невосстанавливаемых систем. 2.2 Основные теоретические положения по теме занятия При расчете вероятности безотказной работы, средней наработки до возникновения первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае, если структура системы сводится к основному или резервному соединению элементов, при условии, что работа одного из параллельно соединенных элементов обеспечивает работоспособное состояние системы, показатели безотказности последней определяются по показателям безотказности элементов с использованием классического метода расчета надежности. Поскольку при основном соединении элементов (см. рис. 2.1, а) работоспособное состояние системы имеет место при совпадении работоспособных состояний всех элементов, то вероятность этого состояния системы определяется произведением вероятностей работоспособных состояний всех элементов. Если система состоит из п последовательно включенных элементов, то при вероятности безотказной работы каждого из элементов р i ( t ) вероятность безотказной работы системы . (2.1) При параллельном соединении элементов и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из включенных параллельно элементов, отказ системы является совместным событием, имеющим место при отказе всех параллельно включенных элементов. Если параллельно включены т элементов (см. рис. 2.1, б) и вероятность отказа каждого qj (t ) = 1— pj (t ), то вероятность отказа этой системы . (2.2) Если структурная схема надежности системы состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, то расчет ее надежности может быть произведен с использованием (2.1), (2.2). n i 2 1 n i 2 1 а) б) Рис. 2.1 . Соединение элементов системы: а – последовательное (основное); б – параллельное (резервное) Чтобы определить значение средней наработки системы до отказа и другие показатели надежности, требуется знать законы распределения времени безотказной работы элементов (наработки до отказа) системы. Поскольку на участке нормальной эксплуатации с удовлетворительной точностью в качестве закона распределения времени безотказной работы элементов может быть принят экспоненциальный, то при основном соединении элементов, если выражение (2.1) примет следующий вид: , где . Таким образом, при основном соединении элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, закон распределения времени безотказной работы системы также будет экспоненциальным, в соответствии с этим имеем: ; ; ; (2.4) При резервном соединении т элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, вероятность отказа группы параллельно включенных элементов: . (2.5) Если все элементы равнонадежны и , то ; . Таким образом, при резервном соединении элементов экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы не сохраняется. Рис. 2.2 . Мостиковая схема соединения элементов Во многих случаях рассмотренный выше способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов. Существуют несколько разновидностей классического метода расчета надежности систем со сложной структурой, часть из которых будет рассмотрена ниже применительно к анализу надежности мостиковой схемы, изображенной на рис. 2.2. (Эта схема не сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.) Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы р1 , р2 , р3 , р4 , p5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q5 . Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками а и b схемы. Метод перебора состояний. Расчету надежности любой системы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях. Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то при числе состояний, равном т, вероятность работоспособного состояния системы ; (2.6) вероятность отказа , (2.7) где т — общее число работоспособных состояний, в каждом j -м из которых число исправных элементов равно ij , а вышедших из строя — kj . Расчет с использованием метода перебора состояний удобно представить в виде табл. 2.1, где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус — неработоспособные. В числовом примере все элементы приняты равнонадёжными с вероятностью безотказной работы, равной 0,9, за заданное время: . Из рассмотренного примера видно, что даже при сравнительно простой структуре применение метода перебора состояний сопряжено с громоздкими выкладками. Табл 2.1 Номер состояния Состояние элементов Вероятность состояний 1 2 3 4 5 1 + + + + + p1p2p3p4p5=0,95 2 - + + + + p2p3p4p5q1 3 + - + + + p1p3p4p5q2 4 + + - + + p1p2p4p4q3 0,1*0,94 5 + + + - + p1p2p3p5q4 6 + + + + - p1p2p3p4q5 7 - + - + + p2p4p5q1q3 8 - + + - + p2p3p5q1q4 9 - + + + - p2p3p4q1q5 10 + - - + + p1p4p5q2q3 11 + - + - + p1p3p5q2q4 0,12 *0,93 12 + - + + - p1p3p4q2q5 13 + + - + - p1p2p4q3q5 14 + + + - - p1p2p3q4q5 15 - + - + - p2p4q1q3q5 0,13 *0,92 16 + - + - - p1p3q2q4q5 Метод разложения относительно особого элемента. Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния Hi которого образуют полную группу, . Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность , (2.8) Второй сомножитель в (2.8) определяет вероятность состояния А при условии, что особый элемент находится в состоянии Hi . Рассмотрение Hi -го состояния особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов. Так, в рассматриваемой мостиковой схеме выделение элемента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 — наличие и 2 —отсутствие цепи) Р {Н 1 }=р5 ; Р {Н 2 }= q 5 позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 2.2, перейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 2.3, а, При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 2.3, б. Если состояние А — наличие цепи между а и b , то в соответствии с (2.1) и (2.2) имеем: ; . Рис. 2.3. Структурные схемы мостикового соединения элементов, соответствующих наличию (а) цепи в элементе 5 и ее отсутствию (б) Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает выкладки. Метод минимальных путей и сечений. В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу. При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи. Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис. 2.2) набор минимальных путей представлен на рис. 2.4. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху: . При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения. Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 2.5. Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу: . Рис. 2.4. Набор минимальных путей Рис. 2.5 . Набор минимальных сечений В рассматриваемом примере оценка безотказности снизу совпадает с фактической безотказностью, рассчитанной по первым двум методам. Таким образом, при составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов. 2.3 Примеры решения аудиторных задач Пример 1. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.6. 5 3 2 1 6 4 Рис. 2.6 Решение: Так как элементы рассматриваемой системы находятся в последовательно-параллельном соединении, то для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод: . Пример 2. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.7. Для расчета использовать метод минимальных путей и сечений. Рис. 2.7. Двойная мостиковая схема соединения элементов Решение: Определим минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. Схема минимальных путей представлена на рис. 2.8, а. Так как полученная схема является последовательно – параллельной, для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод: а) б) Рис. 2.8. Набор минимальных путей (а) и набор минимальных сечений (б) Схема минимальных сечений представлена на рис. 2.8, б. Полученная схема также является последовательно – параллельной: Пример 3. Определить вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы (см. рис. 2.7.) с использованием метода разложения относительно особого элемента. Решение: Используя формулу полной вероятности (2.8) и производя последовательное выделение двух особых элементов: пятого и шестого, получим вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы: . 2.4 Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.9. Рис. 2.9 Задача 2. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.10 с использованием методов: а) минимальных путей и сечений; б) разложения относительно особого элемента. Рис. 2.10 2.5 Контрольные вопросы и задания 1. Какой элемент системы со сложной структурой выделяется в качестве особого? 2. Почему методы минимальных путей и сечений дают оценки надежности соответственно сверху и снизу? 3. Структурные схемы какого вида принято называть основным соединением элементов? 4. Назовите способы расчета показателей надежности системы через известные показатели надежности ее элементов при резервном соединении элементов. 5. В чем недостаток метода перебора состояний? 6. Что такое минимальный путь? 7. Что такое минимальное сечение? 8. Когда можно использовать классический метод расчета надежности? 3. Расчет надежности сложноструктурных систем логико-вероятностным методом 3.1 Цель занятия Освоение студентами методики расчетов надежности сложно-структурных систем логико-вероятностными методами (ЛВМ) и привитие навыков их использования для оценки различных ПН. В результате проведения занятия студенты должны знать: особенности расчета надежности сложных систем с использованием ЛВМ, методологические основы этого способа и условия его применения для анали­тической оценки ПН систем, способы эквивалентного преобразования сетевых НФС в последовательно-парал­лельные. Студенты должны уметь практически использовать положения ЛВМ в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением и без него; производить при необходимости преобразование сетевой НФС в экви­валентную ей по надежности параллельно-последо­вательную, оценивать с помощью ЛВМ различные ПН восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем. 3.2 Основные теоретические положения по теме занятия Теоретической основой ЛВМ является математическая логика (булева алгебра), которая оперирует с логическими выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Логические выражения y являются функциями логических переменных x 1 , x 2 , …, xn , каждая из которых также может иметь значения 0 или 1. Из n переменных может быть образовано 2 n наборов и 22 n логических функций. Для преобразования алгебраических выражений используются следующие тождества и законы математической логики: закон коммутативности: закон ассоциативности: закон дистрибутивности: закон поглощения: Логические функции, которые применительно к задачам надежности принято называть функциями работоспособности (надежности), могут задаваться в словесной форме, таблицами истинности, алгебраическими выражениями или графиками. Для записи функции работоспособности в алгебраической форме используется одно из следующих выражений: (3.1) или (3.2) где yi – значение функции работоспособности для соответствующей строки, 0 или 1; mi – конъюнкция набора элементов i-ой строки; Mi – дизъюнкция набора элементов i -ой строки. Представление функции работоспособности в виде (3.1), включающем в каждую дизъюнкцию конъюнкции всех элементов, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а в виде (3.2) - совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Пример. В качестве примера рассмотрим функцию работоспособности системы, состоящей из трех элементов и заданной таблицей истинности 3.1. Табл. 3.1 x1 x2 x3 y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Функция работоспособности в СДНФ имеет вид: Функции работоспособности, записанные в СДНФ и СКНФ, не являются минимальными. Для минимизации функции работоспособности и приведения ее к бесповторной форме могут быть непосредственно использованы вышеприведенные тождества и законы. Для минимизации функции объединяют члены, различающиеся состоянием только одного элемента: Функции работоспособности в бесповторной форме имеет вид: Функция работоспособности в СКНФ в соответствии с (3.2) имеет вид: Поскольку 1+x=1, то: Для минимизации функции перемножим члены, стоящие в первой и второй, третьей и четвертой скобках. Учитывая, что получаем: В соответствии с теоремой о поглощении из первой скобки уходят все конъюнкции, включающие x2 и x3 , а из второй скобки x1 : И в СДНФ и в СКНФ получен одинаковый результат. Для записи функции работоспособности в минимальной бесповторной дизъюнктивной форме могут быть использованы минимальные пути, а в конъюнктивной – минимальные сечения. Принципы их определения рассмотрены в практическом занятии 2. Сопоставляя функции работоспособности в СДНФ и СКНФ, видим, что в них входят наборы из таблицы истинности, соответствующие y=1 и y=0. При расчете выбирают ту форму записи, которой соответствует меньшее число членов в (3.1) и (3.2). При числе переменных более трех таблицы истинности становятся громоздкими и непосредственная минимизация функции работоспособности становится затруднительной. Для снижения размерности задачи выполняют декомпозицию функции работоспособности, опирающуюся на теорему разложения математической логики. В качестве примера запишем функцию алгебры логики (ФАЛ) в виде СДНФ и СКНФ, описывающих усло­вия работоспособности системы с НФС, изображенной на рис. 3.1. 8 1 2 7 4 6 5 3 Рис.3.1 ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.1), будет иметь вид: . ФАЛ, записанная по формуле (3.2) имеет вид: Раскрыв скобки во втором выражении и сделав несложные преобразования, нетрудно убедиться, что эти выражения тождественны, однако запись ФАЛ через СКНФ получилась более громоздкой. Эта запись необходима при оценке ПН восстанавливаемых систем, о чем будет сказано дальше. При оценке надежности невосста­навливаемых систем запись ФАЛ через СКНФ может быть рекомендована лишь в том случае, когда в НФС явно преобладают параллельные соединения элементов. Особенностью ЛВМ является то, что для расчета ПН невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем не­обходимо пользоваться различными методиками. 3.2.1. Методика расчета ПН невосстанавливаемых систем Обязательным условием выполнения расчетов ПН для невосстанавливаемых систем является получение ФАЛ в так называемой бесповторной форме. Как видно из приведенного примера, процедуры составления исходных ФАЛ и их приведение при необ­ходимости в бесповторную форму для многокомпонен­тных систем могут оказаться весьма громоздкими и трудоемкими. Эти трудности возрастают при сетевых структурах систем, так как требуются специальные способы преобразования исходных повторных ФАЛ в бесповторные, то есть такие, в которых каждая логическая переменная присутствовала бы в прямом или инверсном виде лишь один раз. Для практического занятия достаточно изучить способ преобразования структуры типа "треугольник" в эквивалентную ей по характерис­тикам надежности структуру типа "звезда" и способ (алгоритм) разрезания (разложения исходной структуры по ключевым элементам). Рекомендованные способы преобразования НФС примерно равноценны лишь при условии разложения по одному ключевому элементу. Если таких элементов в исходной структуре несколько, проще использовать метод преобразования "треугольник-звезда". Однако в отличие oт алгоритма разрезания он может быть применен только тогда, когда в НФС имеются замкнутые контуры типа "треугольник". Перед тем, как рассмотреть способы получения бесповторных ФАЛ, сформулируем правила перехода от логической функции к вероятностной: 1) символ функции работоспособности в левой части ФАЛ заменяется на символ вероятностного ПН системы; 2) символы каждой логической переменной заменяются на вероятностный ПН соответствующего элемента системы, причем , а (3.3) 3) конъюнкций из логических переменных переводится в произведение М вероятностных ПН соответствующих элементов системы , (3.4) 4) дизъюнкция из М логических переменных переводится а выражение следующего вида: , (3.5) где ; ; ; ; m полный набор номеров элементов НФС; число сочетаний из M членов по N . Перейдем к рассмотрению эквивалентных преобразований повторных ФАЛ в бесповторные. 3.2.2 Преобразование структуры типа «треугольник» в структуру типа «звезда» Сущность этого приема поясняется с помощью рис.3.2. Исходя из основного критерия эквивалентного преоб­разования равенства ПН цепей «треугольника» и «звезды» между одинаковыми точками и учитывая правила перехода от ФАЛ к ВФ (3.3) - (3.5), можно для структуры, показанной на рис. 3.2, составить систему уравнений: (3.6) Рис. 3. 2 В результате решения системы уравнений (3.6) определяются значения ПН элементов эквивалентной «звезды» . В частном случае, когда все элементы равнонадежны: . Если в исходной НФС может быть выделено несколько звеньев типа «треугольник», преобразование делают одновременно для всех звеньев, как это показано на рис. 3.2. Для упрощения расчетов значений и без существенной потери точности рекомендуется следующий прием. В системе уравнений (3.6) ПН P записываются через вероятности отказов . Если в полученной новой системе уравнений пренебречь произведениями вида , , и , то получим соотношения: ; ; (3.7) Еще раз обратившись к рис.3.2, определим простое правило составления уравнений (3.7): выражение запи­сывается обязательно для вероятностей отказа, причем этот показатель для элемента «звезды», присоединяемого к какой-либо вершине «треугольника», равен произведению показателей элементов «треугольника», прилегающих к этой же вершине. Для дальнейших расчетов делается об­ратный перевод показателей в показатели , например, . 3.2.3 Алгоритм разрезания Этот прием преобразования отличается от предыдущего универсальностью, то есть он может быть использован для любых типов структур. Однако он отли­чается большей трудоемкостью процедур, что определяет условие целесообразности его применения в тех случаях, когда преобразование «треугольник» — «звезда» не подхо­дит. Метод основан на использовании формулы полной вероятности. Сущность приема заключается в следующем. В исходной НФС выбирают так называемый ключе­вой элемент с наибольшим числом связей с другими элементами структуры. После этого из исходной НФС получают две производные структуры: в первой этот элемент идеально надежен, во второй он всегда нера­ботоспособен (отсутствует). Производные структуры могут быть представлены в виде схем или алгебраических выражений. При геометрической интерпретации в первой схеме вместо ключевого элемента ставится перемычка, во второй - делается разрыв. При алгебраической записи производных НФС их представляют в виде двух ФАЛ. Первую получают подстановкой в исходную ФАЛ вместо логической переменной ключевого элемента логическую единицу, вторую - подстановкой логического нуля. Первая производная ФАЛ умножается на истинное значение логической переменной ключевого элемента, вторая - на ее ложное значение (инверсию), после чего они ариф­метически суммируются. Если после первого шага разрезания производная НФС не превратится в параллельно-последовательную структуру, в каждой из них независимо друг от друга выбирают по указанному критерию следующий ключевой элемент и так до тех пор, пока преобразуемые структуры не примут параллельно-последовательный вид. Обращаем внимание на то, что в отличие от метода «треугольник – звезда» разложение по ключевым элементам должно выполняться итеративно. Одновре­менный выбор сразу нескольких ключевых элементов недопустим. Если необходимо выбрать несколько ключевых эле­ментов, то алгебраическая форма разложения более целесообразна, так как уменьшает трудоемкость проце­дуры преобразований. Поэтому рассмотрим пример прим­енения алгоритма разрезания с использованием алгебра­ической записи производной ФАЛ. Для расчетов с помощью ЛВМ средней наработки до отказа необходимо пользоваться формулой: (3.8) предварительно составив ВФ для функции ВБР невосстанавливаемой системы через функции ВБР элементов при известном законе распре­деления времени их работы до отказа. Пример . Пусть ВФ имеет вид Требуется определить системы, если время безотказной работы элементов подчиняется экспоненци­альному распределению, а . Решение: ; ; . Аналогичный подход с использованием общей расчетной формулы: . должен быть использован, если необходимо оценить интенсивность отказов систем. 3.2.4. Методика расчета ПН восстанавливаемых систем Способ расчета ПН восстанавливаемых систем с использованием ЛВМ имеет существенные отличия от вышерассмотренного подхода к расчету надежности систем без восстановления. Для этого случая предложена точная математическая модель, в основу которой положено составление исходной ФАЛ в виде СКНФ (3.2). Кроме обязательной записи ФАЛ для условия работоспособности системы через СДНФ, она к тому же не преобразуется в бесповторную форму. Полу­ченную исходную ФАЛ рекомендуется упростить с помощью операции вынесения за скобки одинаковых членов в некоторых конъюнкциях. При этом должна быть сохранена конъюнктивная форма записи ФАЛ. Сгруппи­рованные члены конъюнкций называют звеньями схемы ненадежности системы . ФАЛ будет иметь вид: ; . (3.9) Каждое звено представляет собой параллельное соединение всевозможных минимальных наборов элементов, образующих ветвь, совместный отказ которых приводит к отказу системы в целом. Представим функцию работоспособности, записанную через СДНФ для НФС, показанной на рис.3.1, в виде конъюнктивно­го набора звеньев: . Расчет ПН системы производится при следующих допущениях: 1) несмотря на повторную форму ФАЛ, зависимость отказов элементов отсутствует; 2) восстановительный ресурс не ограничен, а восстановление начинается немедленно после отказов; 3) потоки отказов и восстановлении элементов и системы близки к простейшим. В расчете используются следующие соотношения: а) ПН ветвей звеньев, состоящих из n элементов: ; ; ; (3.10) б) ПН звеньев, состоящих из m ветвей: . Учитывая, что и , можно записать: (3.11) в) ПН системы, состоящей из r звеньев: , ; (3.12) В заключение отметим, что если для восстанавливаемой системы требуется рассчитать только показатель , то это можно сделать с приемлемой пог­решностью по методу для систем без восстановления с составлением бесповторной ФАЛ и использованием формул (3.3) - (3.5) для перехода к ВФ, в которой в левой части вместо записывается , а в правой - вместо — . Анализ рассмотренных методик позволяет оценить сильные и слабые стороны ЛВМ и тем самым определить область его применения: 1) ЛВМ позволяет оценивать качество структуры (структурную надежность) систем и степень влияния на ПН системы ее отдельных элементов; 2) ЛВМ применим при любых законах распределения случайных величин; 3) с помощью ЛВМ можно производить количественный расчет различных ПН невос­станавливаемых и восстанавливаемых систем с НФС любой сложности, если логические условия их нормального функционирования графически описываются последовательно-параллельными или сетевыми струк­турными схемами, а системы и их элементы харак­теризуются только двумя устойчивыми состояниями пол­ной работоспособности или полного отказа. 3.3 Примеры решения аудиторных задач Пример 1. Рассчитать вероятность безотказной работы системы, НФС которой представлена на рис. 3.3. Рис. 3.3 Решение: В исходной НФС можно выделить две структуры типа «треугольник»: и , преобразование делают одновременно для обеих структур, как это показано на рис.3.4. При помощи формул (3.7), рассчитаем показатели надежности элементов преобразованной схемы: Полученная схема является последовательно – параллельной структурой, поэтому вероятность безотказной работы можно рассчитать при помощи классического метода: . Рис. 3.4 Пример 2. Осуществить переход от ФАЛ к ВФ. Пусть исходная бесповторная ФАЛ имеет вид . Решение: ВБР системы запишется следующим образом: Пример 3. Определить вероятность безотказной работы невосстанавливаемой системы, НФС которой изображена на рис. 3.1. Решение: ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.1), будет иметь вид . Эта ФАЛ не является бесповторной. В ней элементами с наибольшим числом связей являются и . Выбираем в качестве ключевого элемент . Тогда в соответствии с указанными выше правилами можно записать: . Первая производная ФАЛ еще не стала беспо­вторной, вторая — бесповторная. Следует учитывать, что эти ФАЛ между собой независимы, поэтому наличие в них некоторых одинаковых логических переменных не имеет значения. Выбираем на втором шаге итерации в первой ФАЛ в качестве следующего ключевого элемента как наиболее часто повторяющийся. Получим функцию следу­ющего вида: . На третьем шаге в выражении при в качестве ключевого формально может быть выбран любой из повто­ряющихся элементов, поскольку они встречаются одинаково часто, но целесообразно выбрать так как его исключение уберет диагональную связь и, следовательно, быстрее приведет структуру к параллельно-последова­тельному виду. . Обращаем внимание на то, что выражение при было приведено к бесповторной форме способом скле­ивания вместо выбора очередного ключевого элемента, что, безусловно, менее трудоемко. Поэтому всегда надо иметь в виду, что перед выбором или в ходе выбора ключевых элементов целесообразно пробовать применять минимизацию булевых выражений путем склеивания. Это во многих случаях позволяет уменьшить число итераций преобразования. Полученное для выражение переводим по формулам (3.3)-(3.5) в вероятностную функцию: . Пример 4. Невосстанавливаемая система описывается НФС, показанной на рис. 3.5. Элементы системы характеризуются следующими ПН: ; . Рис. 3.5 Необходимо рассчитать для оперативного времени ПН системы: и . Решение: По заданной НФС составляется функция работоспособности в виде исходной ФАЛ. При заданной структуре более целесообразна запись ФАЛ через СДНФ: . В исходной ФАЛ нет контуров типа «треугольник», поэтому после предварительного группирования некоторых переменных применяем алгоритм разрезания. В качестве первого ключевого элемента наиболее целесо­образно выбрать элемент , имеющий наибольшее число связей с элементами. ; После первого шага разложения получилась бесповторная ФАЛ. По формулам (3.3) – (3.5) выполняем переход от ФАЛ к ВФ: ; ; . Запишем выражение для в виде временной функции: ; . Интенсивность отказов системы за 720 ч : . . Пример 5 . Для восстанавливаемой системы с НФС, показанной на рис. 3.5, известны ПН элементов: ; ; . Рассчитать ПН системы: и при . Решение : записываем функцию работоспособности в соответствии с формулой (3.2): . ПН ветвей: ; ; . Остальные ветви состоят из одиночных элементов, поэтому для них ПН ветвей совпадает с ПН элементов. ПН звеньев: ; ; ; ; ; ; ; ; . ПН системы: ; ; ; . Проверим расчетное значение , использовав выражение для невосстанавливаемой системы из примера 4. ; ; . Сопоставление результатов расчетов обоими методами позволяет сделать вывод о их достаточно близком совпадении. 3.4 Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Структурная надежностная схема невосстанавливаемой системы представлена на рис. 3.6. Известны показатели надежности элементов системы: p1 = p3 = p7 = 0,935, p2 = p6 = p10 = 0,863, p4 = p5 = p8 =0,9. Определить: - вероятность безотказной работы системы; - среднюю наработку системы до отказа; - интенсивность отказов. Рис. 3.6 Задача 2. Из условия предыдущей задачи, рассматривая систему как восстанавливаемую, определить ее вероятность безотказной работы. 3.5 Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте условия применимости ЛВМ для расчета надежности сложно- структурных систем. 2. Какие основные способы описания логических условий работоспособности систем используют в ЛВМ? 3. Что понимают под СДНФ и СКНФ? 4. Назовите основные правила перехода от ФАЛ к ВФ. 5. Какую ФАЛ называют бесповторной? 6. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную по методу «треугольник – звезда»? 7. К каким процедурам сводится преобразование исходной повторной ФАЛ в эквивалентную ей бесповторную для метода алгоритма разрезания? 8. Чем различаются методики аналитической оценки ПН для восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем при использовании ЛВМ? 9. Как с помощью ЛВМ по известным - и - характеристикам элементов рассчитать ПН и системы? 10. В каких случаях показатель рассчитывают, используя повторную или бесповторную форму ФАЛ? 11. Перечислите основные достоинства и недостатки ЛВМ. 4. Марковские процессы с дискретными состояниями. Марковские цепи 4.1 Цель занятия Освоение студентами методики расчетов надежности сложных систем с использованием метода переходных вероятностей, использующего аппарат марковских процессов с дискретным временем. В результате проведения занятия студенты должны знать: особенности расчета надежности сложных систем с использованием метода переходных вероятностей, методологические основы этого метода и условия его применения для анали­тической оценки ПН восстанавливаемых систем. Студенты должны уметь практически использовать положения метода переходных вероятностей в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением; по размеченному графу состояний системы находить вероятности состояний. 4.2 Основные теоретические положения по теме занятия Рассмотрим физическую систему S , в которой протекает случайный процесс с дискретными состояниями: s1, s2, s3, …, si, …, (4.1) число которых конечно (или счетно). Состояния s 1, s 2, s 3, …, si , … могут быть качественными (т.е. описываться словами) или же каждое из них характеризуется случайной величиной. Для представления множества состояний (4.1) удобно пользоваться ориентированным графом состояний. Ориентированный граф – это совокупность точек (вершин) с соединяющими некоторые из них ориентированными отрезками (стрелками). Вершины графа будут соответствовать состояниям системы; стрелка, ведущая из одной вершины в другую, будет обозначать возможность перехода системы из одного состояния в другое непосредственно, минуя другие состояния. На практике очень часто встречаются системы, состояния которых образуют цепь (рис.4. 1), в которой каждое состояние si (кроме двух крайних s 0 и sn ) связано прямой и обратной связью с двумя соседними si -1