Указания методические к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (уирс) для студентов 2 курса физического факультета Иваново Министерство образования Российской Федерации Ивановский государственный университет Кафедра общей физики и методики преподавания МАГНЕТРОН Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета Иваново Издательство “Ивановский государственный университет” 2004 Составитель: кандидат физико-математических наук А.П. Блинов . Методические указания содержат постановку и анализ задач о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, а также о вольт-амперной характеристике магнетрона.Приведены алгоритмы численного решения этих задач с использованием средств компьютерной техники. Для студентов 2 курса физического факультета. Печатается по решению методической комиссии физического факультета Ивановского государственного университета Рецензент: кандидат физико-математических наук Л.И. Минеев (ИвГУ) Составитель: БЛИНОВ Анатолий Павлович МАГНЕТРОН МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета Редактор В.А.Киселева Лицензия ЛР № 020295 от 22.11.96. Подписано в печать . Формат 60 х 84 1/16 Бумага писчая. Печать Плоская. Усл.печ.л. 1,15 . Уч .-изд. л. 1,0 . Тираж 25 экз. Ивановский государственный университет Печатно-множительный участок ИвГУ 153025, Иваново, ул.Ермака, 39 ã Издательство “Ивановский государственный университет”, 2004 Введение Настоящие методические указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета ИвГУ, изучающих раздел «Электричество и магнетизм» курса общей физики. Новый государственный стандарт физического образования предполагает глубокое усвоение основных физических понятий и законов. Этому способствует активное применение полученных знаний в процессе решения физических задач. Указанные задачи, несомненно, способствуют закреплению изученного материала, формируют умения и навыки его практического применения. Отметим, что самостоятельное решение указанных задач делает данную работу наиболее эффективной. Вместе с тем целесообразно в учебный процесс вводить задачи, носящие научно-исследовательский характер (УИРС). Указанные задачи способствуют формированию умений и навыков, необходимых будущему физику-исследователю. Эти задачи более сложные и, как правило, носят комплексный характер. Такие задачи целесообразно предъявлять студентам для самостоятельной работы с возможностью консультаций с преподавателем в процессе их решения. Решенные задачи могут обсуждаться на семинарских и лабораторных занятиях. Это способствует формированию у студентов умений и навыков выступать с краткими докладами, по форме приближенными к докладам на научных конференциях. Одним из возможных направлений указанной деятельности является постановка и решение задач по электричеству и магнетизму. В настоящих методических указаниях в рамках лабораторного практикума рассматриваются задачи о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона , т.е. вакуумного диода, помещенного в однородное магнитное поле соленоида (см. лабораторную работу № 12 “Определение удельного заряда электрона”). При этом электроды магнетрона могут иметь различную геометрическую форму (цилиндрическую или плоскую), а также выделяются режимы работы магнетрона в области насыщения анодного тока диода и вдали от этой области, когда выполняется “закон трех вторых”. Наконец, в методических указаниях приводятся алгоритмы численного решения задач по нахождению траектории движения электрона в магнетроне и по нахождению вольт-амперной характеристики (ВАХ) магнетрона с использованием средств компьютерной техники. При движении электрона в электрических и магнитных полях его траектория определяется конфигурацией этих полей и удельным зарядом электрона, т.е отношением его заряда e к массе m. Для определения удельного заряда электрона можно использовать магнетрон (см. лабораторную работу № 12) Магнетрон представляет собой вакуумный диод, помещенный в соленоид. Электродами цилиндрического магнетрона являются коаксиальные (т.е. с единой для них осью) металлические полые цилиндры (накаливаемый катод и холодный анод с радиусами и , Магнитное поле соленоида с индукцией направлено параллельно оси цилиндров. Вследствие явления термоэлектронной эмиссии [1] разогретый катод испускает электроны, которые ускоряются электрическим полем с напряженностью между электродами диода. Анодный ток магнетрона зависит от анодного напряжения (разности потенциалов анода и катода), индукции B магнитного поля, а также температуры T катода. Вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. зависимость для B = 0 и T = const изображена графически на Рис. 1. Рис. 1 При достаточно больших значениях анодный ток практически не меняется и равен (ток насыщения). При малых напряжениях (вдали от области насыщения) выполняется “закон трёх вторых”, т.е. [1]. Рассмотрим режим работы магнетрона: 1) в области насыщения; 2) вдали от области насыщения (выполняется “закон трех вторых”). Режим в области насыщения В этом случае в пространстве между электродами отсутствуют объемные заряды (нет электронного облака, возникающего вблизи катода), и электроны движутся от катода к аноду в вакууме под действием внешних электрического и магнитного полей. Электрическое поле между цилиндрическими электродами имеет вид [1] (1) где - радиус-вектор, отсчитываемый от оси Z цилиндров и ей перпендикулярный. При наличии однородного магнитного поля , направленного вдоль оси диода (магнетрона), электроны со скоростью подвергаются действию силы Лоренца [1] (2) так что по 2 закону Ньютона (3) где - ускорение электронов. Используя цилиндрические координаты зависящие от времени t , из (3) получим: (4) где было учтено, что и В плоскости, перпендикулярной оси Z цилиндров, введем систему координат X0Y, в которой введем “неподвижные” орты и такие, что Введем также “подвижные” орты по правилу (5) такие, что Далее, с учетом (5) находим: (6) Поскольку , то по (6) (7) Раскроем теперь в (4) векторное произведение в “подвижной” системе ортов (орт направлен вдоль оси цилиндров) с помощью (7): = (8) Подставляя (7) и (8) в (4) и проецируя векторное уравнение (4) на “подвижные” оси, связанные с ортами (5), получим: (9) где и - удельный заряд электрона. Формально можно считать, что начальная скорость электронов т.к. на практике используемые напряжения порядка 10 –100 В, а выходящие с катода тепловые электроны имеют энергию порядка 0,1 эВ. В этом случае начальные условия имеют вид: (10) Поэтому из (9) – (10) следует, что т.е. скорость электронов согласно (7). Из второго уравнения системы (9) получаем (11) Так как то из (11) следует (12) Интегрируя (12), будем иметь [2]: т.е. (13) Константа интегрирования в (13) находится с помощью начальных условий (10), т.е. откуда (14) Подставляя далее (13) и (14) в первое уравнение системы (9), получим: (15) где (16) ( и определены в (9)). Уравнение (15) можно проинтегрировать [2], полагая В этом случае т.е. что после интегрирования дает Следовательно, (17) и значит, Заметим, что выражение (17) можно представить в более общем виде, когда электрическое поле между электродами произвольно, но тем не менее радиально симметрично, т.е. напряженность поля аналогична (1): . (18) Действительно, пусть есть разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода. Тогда, вследствие того, что , из (18) получаем . (19) Из (1) с учетом (19) вытекает, что выражение согласно обозначениям в (9) и (16) можно заменить на , т.е. в рассматриваемом более общем случае (20) Заметим, что по определению U имеем: и Поэтому с учетом начальных условий (10) для (20) находим (21) Кроме того, на аноде . (22) Согласно (7), выражение (22) представляет собой радиальную (вдоль радиуса-вектора ) составляющую скорости электрона на аноде. Если эта составляющая будет равна нулю, то электроны перестанут попадать на анод, т.е анодный ток прекратится. Тем самым определяется некоторое критическое значение индукции магнитного поля , для которого при данном значении Используя (22), находим удельный заряд электрона (23) Аналогично, согласно (13) и (14), находится значение (24) Выражение (24) в силу (7) представляет собой ту составляющую скорости электронов на аноде, которая перпендикулярна радиусу-вектору т.е. направлена параллельно орту Пусть - угол между скоростью электрона и радиусом-вектором Тогда согласно (7) и по (13) - (14), (20) - (24) (25) Режим работы магнетрона в области действия “закона трёх вторых” В этом случае около катода формируется электронное облако [1], влияющее на радиальный профиль электрического поля (т.е. на зависимость (18)). В отсутствие магнитного поля анодный ток Действительно, запишем уравнение Пуассона [1] (26) где - модуль плотности заряда электронного облака (заряд электрона (-e)<0). В цилиндрических координатах уравнение (26) принимает вид (27) Вследствие цилиндрической симметрии и т.е. . (28) Пусть - плотность тока и - скорость дрейфа электронов. Тогда (29) Будем считать, что радиус катода (на практике ) и начальная дрейфовая скорость электронов у катода ( дрейф электронов около катода затруднен из-за высокой плотности электронного облака). Тогда (30) С учетом (29) и (30) из (28) имеем: (31) где было учтено, что в каждой точке вектор направлен вдоль т.е. ( - плотность тока на аноде). Краевые условия для U = U(r) имеют вид: (32) Последнее условие в (32) связано с тем, что катод экранирован электронным облаком. Будем искать решение уравнения (31) с краевыми условиями (32) в форме (33) Тогда, подставляя (33) в (31), с учетом (32) получим: (34) Таким образом, с учетом площади цилиндрического анода , где - осевая длина анода (катода), анодный ток равен (35) где (36) При наличии магнитного поля с индукцией , направленной по оси Z (вдоль катода или анода), вместо (35) – (36) будем приближенно иметь ( (37) где - угол между вектором (или дрейфовой скоростью в (29)) и радиусом-вектором на аноде ( в соответствии с формулой (25) при . Аналогичным образом рассматривается движение электронов в магнетроне с плоскими электродами . В этом случае удобно использовать декартовые координаты x,y,z. При этом ось X направлена перпендикулярно к параллельным электродам, так что значение x = 0 отвечает положению катода, вдоль которого направлены оси Y и Z, а x = d – положению анода (d – расстояние между электродами). Пусть магнитное поле направлено вдоль оси Z (т.е. параллельно катоду и аноду). Тогда по аналогии с (3) – (9) имеем: (38) При этом напряженность электрического поля параллельна оси X . Начальные условия имеют вид: (39) Интегрируя второе уравнение системы (38), получим с учетом (39) (40) Подставляя далее (40) в первое уравнение системы (38), получим в соответствии с начальными условиями (39) (41) В (41) было учтено, что разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода (см. (15) – (22)). Пусть - угол между скоростью электрона и осью X. Тогда и следовательно по (40) – (41) на аноде (x = d) (42) где анодное напряжение . Из (42) следует, что, во-первых, критическое значение индукции магнитного поля (когда и электроны не попадают на анод) , (43) а во-вторых, вольт-амперная характеристика (ВАХ) магнетрона с плоскими электродами вдали от режима насыщения по аналогии с (26) – (37) имеет вид: (44) где (S – площадь анода) и . При этом из (26) вместо (31) возникает уравнение [1] ( (45) с начальными условиями (46) Численные методы Для нахождения траектории движения электрона в магнетроне или ВАХ магнетрона нужно использовать соответствующие дифференциальные уравнения, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники [3]. Так, для цилиндрического магнетрона в режиме насыщения с начальными условиями (10) из (13) – (17) имеем: (47) причем и a, b, c определены в (16). Для решения уравнения (47) выбирается малый шаг h изменения угловой переменной , так что (по Тэйлору) (48) В (48) выражается из уравнения (47). Равенство (48) составляет ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (47). Этим решением является функция описывающая в полярных координатах траекторию движения электрона. Для численного нахождения ВАХ в цилиндрическом магнетроне с краевыми условиями (49) (более общими, чем (32)) по аналогии с (31) находим (50) где функция согласно (25) и по (29) Задавая шаг h изменения радиальной переменной r , имеем (см. (48)): (51) где есть выражение (50). Равенства (50) – (51) составляют ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (50) для фиксированных . Следовательно, из (49) вытекает, что (52) т.е. (52) определяет зависимость (53) Поэтому ВАХ находится с помощью (53) аналогично (37): (34) что вычисляется с привлечением средств компьютерной техники и алгоритмических языков (БЕЙСИК, ФОРТРАН и т.д.) Аналогично рассчитывается траектория движения электрона и ВАХ для магнетрона с плоскими электродами. Справочная формула В цилиндрических координатах Экспериментальная часть В лабораторной работе № 12 “Определение удельного заряда электрона” используется магнетрон цилиндрического типа (блок ФПЭ – 03). Индукция B магнитного поля соленоида равна (55) где Гн/м – магнитная постоянная; - сила тока в обмотке соленоида, А; N – число витков обмотки; - длина соленоида. Поэтому ВАХ в данном случае по (36) – (37) имеет вид: (56) где (57) При малых т.е. когда в (56) (58) поэтому (59) Рассматривая при фиксированном значении функцию (60) получаем, что (61) На Рис.2 зависимость (61) имеет вид прямой 2, касательной при к реальной зависимости (60), которая графически изображается кривой 1. Следовательно, пользуясь обозначениями Рис.2, имеем: (62) т.е. удельный заряд электрона по (57) и (62) (63) Далее, так как (64) а по (36) то из (64) длина L анода (катода) равна (65) (Кстати, если L известно, то по (65) также можно определить В лабораторной работе № 12 снимается т.н. сбросовая характеристика дающая зависимость (60) (кривая 1 на Рис.2), по которой с помощью формулы (63) можно найти удельный заряд электрона. При этом для блока ФПЭ – 03: N = 2700; = 1 мм; = 168 мм. Задания 1. Найти траекторию движения электрона в магнетроне с A) цилиндрическими; B) плоскими электродами в режиме насыщения. 2. Рассчитать ВАХ магнетрона в области, далекой от насыщения (тип магнетрона и параметры , L или d, а также выбираются по указанию преподавателя). 3. В экспериментальных условиях лабораторной работы № 12 (блок ФПЭ – 03) снять ВАХ магнетрона и определить удельный заряд электрона вдали от режима насыщения (малые анодные напряжения) по формуле (63) в разделе Экспериментальная часть. Найти также длину L анода цилиндрического магнетрона по формуле (65) и сравнить ее с паспортным значением (см. техническое описание блока ФПЭ – 03). СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. М., 1977. 2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1983. 3. “Вольт-амперная характеристика протяженного металлического проводника”. Методические указания к учебно-исследовательской работе (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета. Иваново, 2001.