Указания методические и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ю. С. АРУТЮНОВА ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1985 ББК 22. II В 93 УДК 511 Авторы: Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений/Арутюнов Ю. С., Полозков А. П., Полозков Д. П.; Под ред. Ю. С. Арутюнова. — М.: Высш. школа, 1985.— 144 с., ил. 25 к. ББК 22.11 517 © Министерство высшего и среднего специального образования СССР, 1985 ПРЕДИСЛОВИЕ В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач. Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ; выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач. Обучение математике предполагает систематическое отражение общих положений диалектико-материалистической философии, что служит решению важной задачи формирования марксистско-ленинского мировоззрения у студентов. Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей. В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная (или стационарная), вечерняя и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна. В условиях дневной формы обучения содержание курса высшей математики излагается на лекциях; на практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач. Число часов, отводимых на лекции и практические занятия, и составляет объем курса высшей математики для данной специальности. Для группы инженерно-технических специальностей Учебно-методическим управлением по высшему образованию в 1983 г. были утверждены два варианта программы курса высшей математики: на 510 и 450 учебных часов. Они являются обязательными не только для дневной, но и для вечерней и заочной форм обучения, хотя студент-заочник изучает материал курса в основном в порядке самостоятельной работы над учебниками и другими учебными пособиями. Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно содержит общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, упомянутые выше два варианта программы курса высшей математики для указанных специальностей, методические указания по темам курса с вопросами для самопроверки и контрольные задания (десять вариантов). Его можно использовать при любом из двух вариантов программы, выбор которого определяется учебным планом данной специальности. Кафедры высшей математики сообщают студентам-заочникам, каким вариантом программы они должны руководствоваться. Кафедры высшей математики, принимая за основу утвержденные варианты программы, могут также в зависимости от профиля вуза и конкретной специальности студентов-заочников расширять или сокращать отдельные разделы или пункты. Все эти изменения доводятся до сведения студентов. Здесь не затронуты вопросы, относящиеся к организации и проведению лабораторного практикума по численным методам курса высшей математики. Такой практикум связан с применением вычислительной техники, и его организация зависит от условий и возможностей каждого конкретного вуза, особенно при заочной форме обучения. Это относится и к изучению п. 94 программы (обоих вариантов), связанных со знакомством студентов с ЭВМ. Кафедра высшей математики должна разработать формы и методику проведения этой работы в своем вузе и дать студентам-заочникам необходимые указания дополнительно к настоящему пособию. Также дополнительно кафедры сообщают студентам все необходимые коррективы к настоящему пособию, вытекающие из специфики учебных планов конкретных специальностей и методики изложения тех или иных вопросов курса, принятой в данном вузе (порядок изучения материала, распределение его по семестрам, количество и содержание контрольных работ в каждом семестре и сроки их выполнения и т. п.). ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. Чтение учебника 1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи. 2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем. 4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. 5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей. 6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента. Решение задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения. 3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб. 4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа я и т. п. 5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. 6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. Самопроверка 1. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач. 2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел. 3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории. Консультации 1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. 2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения. 3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки. Контрольные работы 1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем. 2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование. 3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену. 4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ. 5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена. 6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно. Лекции, практические занятия и лабораторные работы Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях. Во время экзамснационно-лабораторных сессий проводятся также лабораторные работы для приобретения навыков в работе с вычислительными средствами и изучения различных методов приближенных вычислений. Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его самостоятельной работе. В настоящее время созданы кинокурсы по высшей математике. В ряде институтов проводится организованный просмотр этих кинокурсов. Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту. ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИИ Первый вариант (510 учебных часов) I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Трехмерное пространство Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно-независимые системы векторов. Базис. 2. Скалярное произведение в R3 и его свойства Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве. Длина вектора. Расстояние. Неравенство Коши—Буняковского. Угол между векторами. Пространство Rn . Ортогональный базис. Разложение векторов. 3. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнение гиперплоскости в Rn (векторная и координатная формы). Прямая в Rn (векторная и координатная формы). 4. Линейные операторы и матрицы. Линейные операторы и матрицы в заданном базисе в пространстве R2 . Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Линейные операторы и матрицы в Rn . Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица. Самосопряженные операторы и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы. 5. Определители второго, третьего порядков. Основные свойства. Определители n-го порядка, их свойства. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. 6. Векторное произведение. Основные свойства. Смешанное произведение и его свойства. 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли. 8. Ядро и область значений линейного оператора. Альтернатива Фредгольма для линейного оператора в Rn . 9. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Теорема о полноте собственных векторов. 10. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид самосопряженного оператора. 11. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения в пространствах R2 и R3 . II. Введение в математический анализ 12. Элементы математической логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование. 13. Множества вещественных чисел, Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. 14. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. 15. Бесконечно малые функции и их свойства. 16. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. 17. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов. 18. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции. 19. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. 20. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 21. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 22. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. 23. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций. 24. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала. 25. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. 26. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применения. Правило Лопиталя. 27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций еx , cosx , sinx , In(1+x), (l-x)x по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. IV. Исследование функций с помощью производных 28. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 29. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций. V. Векторные и комплексные функции действительного переменного 30. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл. 31. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование. 32. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. 33. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование. 34. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условие тождественности двух многочленов. 35. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители. VI. Неопределенный интеграл 36. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. 37. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов. VII. Определенный интеграл 38. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. 39. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. 40. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 41. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. 42. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. VIII. Функции нескольких переменных 43. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. 44. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. 45. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 46. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. 47. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. 48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Глобальные экстремумы. IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения 49. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. 50. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 51. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. 52. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 53. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения. 54. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения. XI. Элементы теории устойчивости 55. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений. 56. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости. XII. Несобственные интегралы 57. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. XIII. Числовые ряды 58. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 59. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 60. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 61. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость. XIV. Функциональные ряды 62. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. XV. Степенные ряды 63. Теорема Абеля. Круг сходимости. Свойства степенных рядов. 64. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. 65. Уравнение Бесселя. Решение уравнения Бесселя с помощью степенных рядов. Функции Бесселя. XV. Ряды Фурье 66. Понятие гильбертова (предгильбертова) пространства. Сходимость в среднем. Понятие ортонормированной системы. Полнота и замкнутость. Равенство Парсеваля—Стеклова. Разложение по полной ортонормированной системе. Приближение в среднем. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. 67. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. Разложение в ряд Фурье—Бесселя. XVII. Интегралы, зависящие от параметров. Интеграл Фурье 68. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. 69. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции. 70. Асимптотическое интегрирование. Вычисление интегралов вида при (интегрирование по частям). 71. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применения. XVIII. Кратные интегралы 72. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об интегралах любой кратности. 73. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. 74. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам. 75. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. XIX. Криволинейные и поверхностные интегралы 76. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. 77. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление. XX. Векторный анализ 78. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения. 79. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. 80. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского. 81. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля. 82. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. 83. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. 84. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах. XXI. Элементы теории уравнений математической физики 85. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера. 86. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. 87. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. XXII. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление 88.Элементарные функции комплексного переменного. 89.Производная функции комплексного переменного. Условия Коши—Римана. Дифференцируемость элементарных функций. 90. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. (91. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их классификация. 92. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. 93. Преобразование Лапласа. Основные теоремы об оригиналах и изображениях. Формулы обращения интеграла Лапласа. Свертка функций. Интеграл Дюамеля. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. XXIII. Основные численные методы 94. Элементы программирования на алгоритмическом языке. 95. Приближение функции методом наименьших квадратов. 96. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция. 97. Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента. 98. Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений. 99. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге—Кутта. 100 Понятие о методе сеток решения простейших задач математической физики. XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики 101. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. 102. Определение условной вероятности. Независимость событий Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности, формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона. 103. Определение случайной величины. Функция распределения: случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. 104. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательства только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции. 105. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева. 106. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина. 107. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. 108. Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез. 109. Понятие о задании случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс. Второй вариант (450 учебных часов) Разделы, помеченные звездочкой, обязательны для изучения только в случае прямого указания кафедры высшей математики. I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Трехмерное пространство R3 . Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. 2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение. 4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R2 и R3 (векторная и координатная формы). 5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса—Жордана. 6. Матрицы. Действие над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rn . Линейная зависимость и независимость векторов в Rn. Ранг матрицы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли. 7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R2 и R3 . Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. 8. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R2 и R3 . 9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. 10. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. II. Введение в математический анализ. 11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование. 12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. 13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. 14. Бесконечно малые функции и их свойства. 15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми. 16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов. 17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции. 18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. 19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 20. Производная функция, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 21. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование. 22. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций. 23. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала. 24. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 25. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. 26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций еx , cosx, sin x, ln(l+x), (l+x)α по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. IV. Исследование функций с помощью производных 27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 28. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций. V. Векторные и комплексные функции действительного переменного 29. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл. 30. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Кривизна плоской и пространственной кривой. Эволюта и эвольвента. 31. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра, 32. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. 33. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. 34. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование. Формула Эйлера. VI. Неопределенный интеграл 35. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. 36. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов. VII. Определенный интеграл 37. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. 38. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. 39. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 40. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла. 41. Несобственные интегралы с бэсконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. VIII. Функции нескольких переменных 42. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. 43. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. 44. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 45. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. 46. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. 47. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения 48. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. 50. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. 51. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. X*. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 52. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения. 53. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения. 54. Понятие устойчивости решения системы дифференциальных уравнений (по Ляпунову). Устойчивость решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений. 55. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости. XI. Числовые ряды 56. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 57. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 58. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 59. Ряды с комплексными членами, методы исследования на сходимость. XII. Функциональные ряды 60. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. 61. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. 62. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. XIII. Ряды Фурье и преобразование Фурье 63. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. 64*. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение. XIV. Кратные интегралы 65. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об интегралах любой кратности. 66. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. 67. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам. 68. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. XV. Криволинейные и поверхностные интегралы 69. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определения криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. 70. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление. XVI. Векторный анализ 71. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения. 72. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. 73. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского. 74. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля. 75. Линейные интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. 76. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. 77. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах. XVII. Основные уравнения математической физики 78. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера, методом разделения переменных. 79. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. 80. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. XVIII*. Операционное исчисление 81. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Изображения простейших функций. 82. Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля. 83. Операционный метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 84. Применение операционного метода к решению уравнений с частными производными. XIX. Теория вероятностей и математическая статистика 85. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. 86. Определение условной вероятности. Независимость событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона. 87. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. 88. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательство только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции. 89. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Уеорема Чебышева. 90. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина. 91. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. 92. Математическая статистика. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятия состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статической проверке гипотез. 93. Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Понятие о нелинейной регрессии. Корреляционное отношение. XX. Основные численные методы 94. Алгоритмы и их свойства. Блок-схема алгоритмов. Основные типы вычислительных процессов. 95. Приближение функции многочленом по методу наименьших квадратов. 96. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная и квадратичная интерполяция. Конечные разности и их свойства. 97. Решение линейных систем методом Гаусса—Жордана. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса—Жордана. 98. Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений. 99. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге—Кутта. 100. Понятие о методе сеток решения краевых задач математическом физики. ЛИТЕРАТУРА 1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980, 1984. 2. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. — М.: Физматгиз, 1962—1963; М.: Наука, 1964—1975. 3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии.—М.: Гостехиздат, 1954—1956; М.: Физматгиз, 1958—1963; М.: Наука, 1965—1980. 4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — М.: Наука, 1970—1985, т. 1, 2. 5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. Б. П. Демидовича.—М.- Физматгиз, 1959 — 1963; М: Наука, 1964—1978. 6. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной —М.: Наука, 1967—1979. 7. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). — М.- Наука, 1971. 8. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.: Наука 1982. 9. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа 1980,4. I, II. 10. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М. Наука, 1980, 1984. 11. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1980, 1984. 12. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1981, 1985. 13. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. — М.: Наука, 1982. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых даны подробные указания литературы, рекомендуемой для изучения, и задач для самостоятельного решения. Номера в квадратных скобках [ ] означают пособия из приведенного выше списка литературы; например [1] обозначает учебник Д. В. Беклемишева и т. д. В случае необходимости по некоторым вопросам даны пояснения, дополняющие материал рекомендуемых пособий. В каждой теме приведены вопросы для самопроверки. Указано также, после изучения каких тем студент должен выполнить очередную контрольную работу. Приступая к изучению курса высшей математики, студент должен прочитать из пособия [11], § 1.1—1.3. Там он найдет общую характеристику предмета математики, начальные сведения из теории множеств и некоторые начальные понятия о символике математической логики, используемые в дальнейшем на протяжении всего курса. В пособии [9] имеется довольно большое число решенных задач, с которыми студенту рекомендуется познакомиться при изучении соответствующего материала. ТЕМА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1. Векторы Литература. [1], гл. 1, § 1; [3], задачи 761, 764—777, 785, 786, 790, 792 При решении задач из [3] следует учесть особенности применяемой там терминологии. Пояснение всех терминов, используемых в задачах, можно найти во вступительной части каждого параграфа, к которому относится данная задача. Особое внимание следует уделить вступлениям к § 1, 2, 27, 29, 30. 2. Системы координат Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 1—3; [3], задачи 750—752, 778, 779, 1—25; 44—49, 86—115, 719—725, 735—742, 745, 746. 3. Скалярное произведение векторов Литература. [1], гл. 1, §3, п. 1; [3], задачи 795—838, 748, 749, 753—760, 780—784, 53—58, 63—85. 4. Векторное и смешанное произведения векторов Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 2, 3, 12; [3], задачи 839— 849; [1], гл. 1, § 3, п. 4; [3], задачи 865—871. 5. Определители второго и третьего порядков Литература. [1], гл. 1; § 3, п. 5—9; [3], задачи 1204— 1209, 1211—1251, 850—864, 116—126, 873—878. 6. Замена базиса и системы координат Литература. [1], гл. 1, § 4, п. 1; [3], задачи 787—789, 793, 794; [1], гл. 1, § 4, п. 2, 3; [3], задачи 127—141. 7. Полярные, цилиндрические и сферические координаты Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 4, 5; [3], задачи 26—28, 42, 43. Вопросы для самопроверки 1. Что называется вектором и модулем вектора? 2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными? 3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться? 4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов? 5. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций? 6. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве? 7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком — линейно независимыми? 8. Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами) в некотором базисе. 9. Какой базис называется ортонормированным? 10. Как определяется декартова система координат? 11. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек? 12. Выведите формулы деления отрезка в данном отношении 13. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин. 14. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 15. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат. 16. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 17. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 18. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы их свойства и способы вычисления? 19. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)? 20. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства? 21. Каковы формулы преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости? 22. Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат. ТЕМА II. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ 1. Уравнения в декартовых координатах Литература. [1], гл. II, § 1, п. 1; [3], задачи 157—162, 174— 197, 885-887, 891—909; [1], гл. II, § 1, п. 5; [3], задача 910. Рекомендуется разобрать пример 1 в § 10 и решение задачи 888 в [3], а также решения задач 37—39 и 41 в [9], ч. I. 2. Параметрические уравнения линий и поверхностей Литература. [1], гл. II, § 1, п. 3; [3], задачи 204—207, 209; [1], гл. II, § 1, п. 4. Рекомендуется разобрать решения задач 52—56 в [9], ч. I. 3. Алгебраические линии и поверхности Литература. [1], гл. II, § 1, п. 2. Исправьте опечатку в гл. II, §1, п. 2 пособия [1] (4-е изд., 1980; с. 42, строка 14-я снизу). Во втором определении написано: алгебраической поверхностью на плоскости... Следует читать: алгебраической линией на плоскости... 4. Плоскости и прямые Литература. [1], гл. II, § 2, 3; [3], § 12—15, 38-43, 45. 5. Линии второго порядка Литература. [1], гл. III, § 1, 2, п. 1; [3], задачи 385, 397, 398, 444, 460, 472, 509, 512. [1], гл. III, § 2, п. 2; [3], задачи 515, 516, 522, 526, 530, 532, 541, 542. [1], гл. III, § 2, п. 3; [3], задачи 585, 588, 591, 599, 600, 607. 6. Поверхности второго порядка Литература. [1], гл. III, § 4; [3], задачи 1084, 1096, 1153, 1154, 1155, 1179. 7. Уравнение линии в полярных координатах Литература. [4], гл. I, § 10, упр. 41—45; [3], задачи 163, 166, 208, 632. Вопросы для самопроверки 1. Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности и другие множества точек? Приведите примеры. 2. Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости, трех поверхностей, линии и поверхности? Приведите примеры. 3. Какова характерная особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей? Приведите примеры. 4. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей. Приведите примеры. 5. Какие поверхности и линии называются алгебраическими? Приведите примеры. 6. Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической поверхности? Приведите примеры. 7. Докажите, что плоскость является поверхностью первого порядка, а прямая на плоскости линией первого порядка. 8. Что называется направляющим вектором прямой и направляющими векторами плоскости? 9. Покажите, что вектор 1(—В, А) является направляющим вектором прямой Ах + Вх + С=0. 10. Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости? 11. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат? 12. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости? 13. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки? 14. Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой? 15. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости? 16. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя и тремя переменными? 17. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы? 18. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы и параболы? 19. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы? 20. Что называется асимптотами гиперболы? 21. Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические уравнения. 22. Приведите примеры уравнений линий в полярных координатах. После изучения тем I, II выполните контрольную работу 1 . ТЕМА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы и линейные операции над ними Литература. [1], гл. V, §1; [9], ч. I, задачи 394, 395. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными. Линейные операции над матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над векторами (см. [1], § 1, п. 4, предложение 1). Понятия матрицы и линейных операций над матрицами рассматриваются и в ряде других пособий, например в [10], § 3. В [2] (п. 71 и 74), [4] (гл. XXI, § 2, 4), а также в [9] (ч. I, гл. 4, § 2) матрицы вводятся в связи с линейными преобразованиями, которые будут изучаться позже. 2. Определители Литература. [1], гл. V, § 2; [3], задачи 1252—1256; [9], ч. I, задачи 387—390. Определители называют также детерминантами. Студент уже знаком с определителями 2-го и 3-го порядков (тема I, п. 5, с. 27). Теперь он знакомится с общим понятием определителя (n-го порядка). Рекомендуется разобрать в [9], ч. I, решения задач 383, 384, 386. Понятие определителя рассматривается также в [10], § 1, 2. Очень важно хорошо усвоить свойства определителей, так как без их применения практически невозможно вычислять определители высших порядков (выше третьего). 3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера Литература. [1], гл. V, § 3; [9], ч. I, задачи 391—393. Правило Крамера рассматривается также в [10], § 4. 4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Метод Гаусса Литература. [1], гл. V, § 4, 5; [9], ч. I, задачи 435—437, 441—443, 446, 447, 449. Материал этого пункта имеется также в [10], § 3, 4. Рекомендуется разобрать в [9], ч. I, решения задач 428—433, 438—440, 444, 445. Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса . Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе. Систему т линейных уравнений с п неизвестными х\, х2,..., хя в общем виде можно записать так: где aij — коэффициенты , bi — свободные члены . В дальнейшем могут встретиться и такие особые уравнения, все коэффициенты которых равны нулю, т. е. уравнения вида Если в уравнении (2) свободный член отличен от нуля, то ему не удовлетворяют никакие значения неизвестных. Система уравнений, содержащая хотя бы одно такое уравнение, несовместна. Если же в уравнении (2) свободный член равен нулю, то ему удовлетворяют любые значения неизвестных — уравнение является тождеством. Уравнение-тождество можно удалить из системы: оставшиеся уравнения образуют систему, равносильную исходной. В дальнейшем уравнения-тождества будем кратко обозначать символом 0=0 Чтобы преобразовать данную систему линейных уравнений общего вида к необходимому виду, используют следующие элементарные преобразования : α — прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения той же системы, умноженных на некоторое число λ; β — перестановка местами уравнений в системе ; γ — удаление из системы уравнений вида 0 = 0. В результате каждого из элементарных преобразований, а значит, и в результате их последовательного повторения данная система линейных уравнений преобразуется в систему линейных же уравнений, равносильную исходной. С помощью элементарного преобразования а любую систему линейных уравнений можно преобразовать так, чтобы некоторое фиксированное неизвестное х 1 , сохранившись в одном уравнении, исключилось из любого другого уравнения системы. Для этого достаточно подобрать соответствующее значение множителя λ для каждого уравнения, из которого исключается выбранное неизвестное х 1 , Действительно, пусть в системе (1) неизвестное содержится в i -м уравнении. Это значит, что коэффициент aij =0. Назовем х 1 , ведущим неизвестным, i -е уравнение — ведущим уравнением , а коэффициент aij — ведущим элементом . Преобразуем теперь κ-е уравнение (κ≠j ), прибавив к нему ведущее уравнение, умноженное на некоторое число λ. Коэффициенты κ-го уравнения преобразуются по формуле (штрихом отмечены новые значения соответствующих коэффициентов). Подберем множитель λ так, чтобы коэффициент при хj в k -м уравнении (получающийся из (3), если положить l =j ) стал равным нулю: откуда λ=-akj / aij . (4) Используя одно и то же уравнение в качестве ведущего, можно исключить ведущее неизвестное из нескольких уравнений, для каждого из которых надо взять свое значение множителя λ, определяемое по формуле (4) при различных значениях k . Такое преобразование системы линейных уравнений будем называть исключением неизвестного x j . При исключении одного неизвестного может оказаться, что из некоторых уравнений системы исключились, и некоторые другие неизвестные и даже появились уравнения вида (2). Преобразование системы по методу Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых исключается одно неизвестное. Для каждого такого шага необходимо указать ведущее неизвестное и ведущее уравнение или, что равносильно, ведущий элемент, а также определить, из каких уравнений исключается ведущее неизвестное. В качестве первого ведущего элемента (ведущего элемента первого шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент данной системы линейных уравнений. Сделав такой выбор, исключим первое ведущее неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого ведущего уравнения. Если получится хотя бы одно уравнение вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то исследование закончено — система несовместна. Если же все полученные уравнения вида (2) окажутся уравнениями-тождествами, то их из системы удаляют. Первый шаг закончен. Совокупность уравнений системы, кроме первого ведущего, назовем первой подсистемой . Первое ведущее уравнение дальнейшим преобразованиям подвергать не будем. Преобразуем только первую подсистему. В качестве второго ведущего элемента (ведущего элемента второго шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент в первой подсистеме. Произведя такой выбор, исключим второе ведущее неизвестное из всех уравнений первой подсистемы, кроме второго ведущего уравнения. Если получится хотя бы одно уравнение вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то исследование закончено — система несовместна. Если же все полученные уравнения вида (2) окажутся уравнениями-тождествами, то их из системы удаляют. Второй шаг закончен. Совокупность уравнений системы, кроме первого и второго ведущих, назовем второй подсистемой . Второе ведущее уравнение, как и первое, дальнейшим преобразованиям подвергать не будем. Преобразуем только вторую подсистему. В качестве третьего ведущего элемента (ведущего элемента третьего шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент во второй подсистеме и т. д. Если в процессе таких преобразований не получатся уравнения вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то данная система совместна. Процесс ее преобразования заканчивают тогда, когда на очередном шаге получена подсистема, состоящая только из одного уравнения, или подсистемы вообще не будет. На каждом шаге преобразования системы линейных уравнений методом Гаусса имеется большая свобода в выборе ведущего элемента (он только не может быть равен нулю). Но как бы эти элементы ни выбирались, число уравнений в окончательно полученной системе будет одно и то же: оно равно максимальному числу независимых уравнений в исходной системе. Это число, являющееся очень важной характеристикой системы, называется рангом системы линейных уравнений . Если m — число уравнений в данной системе, r — ее ранг, а n — число неизвестных, то, очевидно, r ≤m и r ≥n . Если ведущие элементы выбирать так, чтобы ведущими неизвестными стали последовательно первые по порядку номеров неизвестные х1 , х2 ..., то в результате система принимает вид или, в частности, при r =n В случае r =n система имеет единственное решение, которое легко найти; из последнего уравнения системы (6) находим значение неизвестного х n ; подставив это значение в предпоследнее уравнение, найдем значение x n-1 и т. д. до получения из первого уравнения значения x 1 . Если же r <n , то аналогично из системы (5) можно найти выражения неизвестных x 1 , x 2 ,..., х r через неизвестные xr +1 , xr +1 ,..., х n : Придавая неизвестным xr+1 ,...,xn произвольные значения и вычисляя затем по формулам (7) значения неизвестных x1 , х2 ,.,., хr , каждый раз будем получать решение системы (5), а значит, и решение исходной системы. Наоборот, любое решение системы может быть получено по формулам (7) при соответствующих значениях неизвестных xr+1 ,...,xn . Поэтому выражение (7) называют общим решением системы . Любое решение с конкретными числовыми значениями неизвестных называют частным решением системы . В этом случае система имеет бесчисленное множество решений. Неизвестные xr+1 ,...,xn называют свободными , а неизвестные x1 , х2 ,.,., хr — базисными . Число базисных неизвестных равно рангу системы r, а число свободных неизвестных s=n—r. Приведение данной системы линейных уравнений к виду (5) или (6) называют прямым ходом , а отыскание решения системы (5) или (6) (общего или единственного) — обратным ходом метода Гаусса. Для обратного хода можно снова применить описанную выше схему исключения неизвестных. Рассмотрим применение метода Гаусса на конкретных примерах. Пример 1. Решить систему линейных уравнений Решение. За первое ведущее уравнение примем первое уравнение системы, а за первое ведущее неизвестное x1 первый ведущий элемент есть а11 = 2. Исключим x1 из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму уравнению ведущее, умноженное на — 3/2, а к третьему — ведущее, умноженное на — 5/2. Имеем Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное x2 ; второй ведущий элемент есть 7/2. Исключив x2 из третьего уравнения, получаем Второй шаг закончен. Вторая подсистема состоит из одного третьего уравнения. Прямой ход метода Гаусса закончен — система приведена к виду (6). В результате обратного хода получаем Итак, решение данной системы таково: x1 =-4, x2 =3, x3 =-1 данном случае r=n=3, решение единственное. Пример 2. Решить систему линейных уравнений Решение. Преобразуем систему методом Гаусса Уравнение 0=-26 не имеет решений, следовательно, данная система несовместна. Замечание. Несовместность данной системы очевидна уже после первого шага: в полученной системе левые части второго и третьего уравнений отличаются только знаком, тогда как правые части одинаковы по знаку и различны по модулю. Пример 3. Решить систему линейных уравнений Решение. Преобразуем систему методом Гаусса: После второго шага из трех уравнений осталось два, так как третье уравнение приняло вид 0=0 и удалено из системы. В данном случае ранг системы r = 2, а число неизвестных n = 3, т. е. r<n. Из трех уравнений первоначально данной системы только два независимы (m = 3, r<m). В первой подсистеме два уравнения, вторая подсистема отсутствует. Система приведена к виду (5). Прямой ход метода Гаусса закончен. Исключая теперь с помощью второго уравнения х2 из первого уравнения, приведем систему к виду откуда легко находим общее решение: x1 = 19/3+x3 , х2 =-14/15+(2/5)x3 Неизвестные х1 , x2 - базисные, х3 — свободное. Придавая неизвестному x3 произвольные числовые значения, можно получить множество частных решений: x1 = 19/3, x2 =-14/15, x3 =0; x1 =22/3, x2 =-8/15, x3 =1 и т. д. К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений часто присоединяют еще одно преобразование: δ - умножение обеих частей уравнения системы на некоторое число μ≠0. Очевидно, система, полученная в результате преобразования δ из данной системы, равносильна последней. Требование (μ≠0) существенно, так как после умножения обеих частей уравнения на нуль получим уравнение-тождество 0=0, что может привести к системе, неравносильной исходной. Преобразованием δ можно добиться, чтобы коэффициенты при базисных переменных в системе (5) или (6) стали равными единице. Действительно, в (5) и (6) коэффициенты при базисных переменных x1 , x2 ,..., xr , очевидно, отличны от нуля (cij ≠0). Умножая уравнения в этих системах соответственно на μ1 = 1/сij (с,, ij ≠0; i=1, 2, ..., r), получаем в качестве коэффициентов при x1 , x2 ,..., xr , единицы. Преобразование δ можно применять и в промежуточных преобразованиях системы, добиваясь упрощения хода решения задачи. Так, например, в примере 1 можно было последовательно преобразовывать данную систему в следующие системы: Кроме описанной схемы метода Гаусса существуют разновидности этого метода. Одной из них является метод полного исключения (или метод Жордана-Гаусса ): исключение ведущего неизвестного производится не только из уравнений очередной подсистемы, но и из ведущих уравнений предыдущих шагов. Рассмотрим преобразование, основанное на методе полного исключения системы линейных уравнений, приведенной в примере 1 (попутно будем применять и преобразование δ): После третьего шага получена система, равносильная данной, которую вместе с тем можно рассматривать и как запись ее решения. Еще одной разновидностью метода Гаусса является метод главных элементов Гаусса. При этом на каждом шаге в качестве ведущего выбирают наибольший по модулю коэффициент в подсистеме; его называют главным элементом. Указанный метод применяют в том случае, когда систему решают приближенно. Выбор главного элемента, в качестве ведущего, обеспечивает уменьшение вычислительной погрешности. При преобразованиях системы линейных уравнений методом Гаусса преобразуются коэффициенты системы, поэтому этот метод можно применить не к самой системе уравнений, а к ее расширенной матрице. Элементарным преобразованиям системы линейных уравнений соответствуют аналогичные элементарные преобразования матрицы (применительно к строкам) [см. [1], гл V, § 4, п. 1, предложение 2]. Уравнению-тождеству 0 = 0 соответствует строка матрицы, состоящая из одних нулей, а противоречивому уравнению 0=b - строка матрицы, последний элемент которой не равен нулю (b≠0), а все остальные элементы — нули. Выше рангом системы линейных уравнений было названо максимальное число независимых уравнений в системе. Теперь, по аналогии, можно сказать, что рангом матрицы является максимальное число ее линейно независимых строк. Часто рангом матрицы называют наивысший порядок ее минора, отличного от нуля (см. [1], гл V, §4), а рангом системы линейных уравнений - ранг ее матрицы. Все эти определения понятия ранга (системы линейных уравнений, матрицы) эквивалентны. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется, поэтому для отыскания ранга матрицы можно привести ее с помощью элементарных преобразований к упрощенному виду, позволяющему сразу установить ее ранг (см. [1], гл. V, § 4, п. 2). Это преобразование матрицы также производят по схеме метода Гаусса. Таким образом, схема метода Гаусса применяется не только для решения и исследования систем линейных уравнений. Здесь мы отметили применение ее к решению задачи о ранге матрицы, позже познакомимся и с другими ее применениями (например, для отыскания обратной матрицы — см. [1], гл. V, § 6). 5. Произведение матриц Литература. [1], гл. V, § 6; [4], т. 2, гл. XXI, § 4, 6—9, упр. 3—10; [9], ч. I, гл. IV, § 2, задачи 39G, 402, 406, 407: Вопросы для самопроверки 1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства? Приведите примеры. 2. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей? 3. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры. 4. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры. 5. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений? Приведите примеры. 6. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие — несовместными? 7. Сформулируйте теорему Кронекера—Капелли. 8. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы? 9. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение? 10. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю? 11. При каком условии однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевое решение? 12. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений. 13. Какие разновидности метода Гаусса вы знаете? 14. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений? 15. Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейных уравнений? 16. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти? 17. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц? 18. Какая матрица называется единичной? 19. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу? 20. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений? 6. Арифметическое пространство Понятие числа является основным понятием математики. Множество действительных[*] чисел R начинают изучать еще в средней школе. Там же рассматривают различные числовые множества (подмножества R): множество натуральных чисел (N), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q) и т. п. В современной математике изучают и такие числовые множества, каждый элемент которых, в свою очередь, — совокупность нескольких действительных чисел. Так, благодаря методу координат в аналитической геометрии вместо точек или векторов геометрического пространства рассматривают тройки чисел (аналогично на плоскости — пары чисел)—координат точек (векторов) ; линейное уравнение с п переменными x1 , х2 , ..., хn а1 х1 + а2 х2 + …+аn хn =b полностью определяется совокупностью его коэффициентов и правой частью (a1 ; а2 ,...; аn ; b); каждое решение такого уравнения (α1 , α2 ;...; αn ) - также совокупность чисел; план и результат работы любого предприятия характеризуются определенными числовыми показателями, т. е. опять-таки совокупностью чисел, и т. п. При этом для задания такой совокупности надо знать не только образующие ее числа, но и какое место занимает в ней каждое число; например совокупности (2; 3) и (3; 2) надо считать различными. В этом смысле говорят, что совокупности чисел, которые мы будем рассматривать, упорядочены . Как уже отмечалось, в аналитической геометрии упорядоченные тройки чисел имеют двоякий смысл: либо это координаты точки, либо координаты вектора. Здесь упорядоченные тройки чисел — самостоятельный объект изучения. При этом сохраняется прежняя терминология — будем применять для них два термина: точка (х1 ; x2 ; x3 ) и вектор (х1 ; x2 ; x3 ). Обобщая, будем называть упорядоченную совокупность и чисел (х1 ; x2 ;...; хn ) точкой или вектором (иногда n-мерной точкой или n-мерным вектором). Множество всех n-мерных точек (n-мерных векторов) будем называть n-мерным арифметическим пространством , а число п — размерностью этого пространства . Арифметическое n-мерное пространство обозначают Rn . Очевидно, R1 — множество действительных чисел; в этом случае индекс опускают и пишут просто R. Одномерное пространство R называют также числовой прямой , двумерное пространство R2 — числовой плоскостью , а n-мерное пространство Rn (n≥3) — числовым пространством . Перенос геометрической терминологии из теории наглядного геометрического пространства на R, R2 , R3 естествен в силу метода координат. При n>3 такая геометрическая наглядность уже теряет смысл, однако сохранение геометрической терминологии и для R" нельзя считать только условностью. Многие факты, относящиеся к Rn , носят общий характер, не зависящий от n. Так, свойства решений системы линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Можно сказать, что арифметическое пространство Rn любой размерности обладает свойствами, в некотором смысле подобными «геометрическим» свойствам R, R2 , R3 . Выше отмечалась равноправность терминов «точка» и «вектор» применительно к элементам Rn . Уточним теперь эту терминологию. Существенным при построении векторной алгебры в наглядном геометрическом пространстве, где векторами являются направленные отрезки, было определение линейных операций над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число). Естественно перенести эти операции и на элементы R3 , что фактически и было сделано в векторной алгебре (выражение линейных операций над векторами, заданными своими координатами). Теперь, рассматривая R3 как самостоятельный объект изучения, естественно принять правила сложения векторов и умножения вектора на число, выраженные в координатах, за определение соответствующих линейных операций уже над элементами R3 . Эти определения обобщаются и на Rn при любом и. Далее (см. п. 7) рассмотрено более широкое понятие вектора в современной математике и показано, что это понятие связано с линейными операциями и их свойствами. Поэтому естественно в тех задачах, в которых встречаются элементы Rn в связи с линейными операциями над ними, называть их «векторами», а Rn рассматривать как «векторное пространство». Но во многих задачах, относящихся к Rn , линейные операции над его элементами либо вообще не принимаются во внимание, либо отступают на задний план, а в центре внимания оказываются факты геометрического характера, относящиеся к свойствам и взаимному расположению подмножеств («фигур») Rn . В этих случаях более естественно называть элементы пространства Rn «точками» и рассматривать его как «точечное пространство». С векторной точки зрения пространство Rn будет рассмотрено позже: до конца этого пункта Rn рассматривается как точечное пространство. Точки Rn будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: М(х1 ; х2 ;...;хn ), Х(х1 ; х2 ; ...;.xn ), A(a1 ; а2 ;...; аn ) и т.д. Сами числа, образующие в совокупности точку, будем называть координатами этой точки. Точку, все координаты которой равны нулю, т. е. О(0; 0; ... 0), будем называть началом координат . Множества точек в Rn («фигуры») будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений. Область решений совместной системы линейных уравнений с п переменными ранга г называется k-мерной плоскостью в Rn где k = n—r (k — число свободных, а г — базисных переменных). Отметим два особых случая. 1. r=n, k=0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rn , т. е. точку можно считать 0-мерной плоскостью. 2. r=0, k=n. Все уравнения системы являются тождествами (0 = 0), все переменные — свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rn , т. е. само пространство можно считать n-мерной плоскостью. Если эти два особых случая исключить из рассмотрения, то, очевидно, k может изменяться в пределах 1≤k ≤n—1. Плоскость наибольшей возможной в Rn размерности, но не совпадающую со всем пространством, т. е. (n—1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью , а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, т. е. одномерную плоскость, — прямой. Пространство R одномерно, и в нем не может быть плоскостей меньших размерностей; в пространстве R2 (числовая плоскость) гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость; в пространстве R3 гиперплоскостью является двумерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость, других плоскостей нет; при n>3 кроме гиперплоскости и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей [(n—2)-мерные,..., трехмерные, двумерные]. Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением a1 xl - а2 х2 +.. .+ аn хn = b, (8) в котором не все коэффициенты a1 , а2 ,..., аn равны нулю (a1 2 +a2 2 +...+a2 n ≠0); последнее условие равносильно тому, что ранг система, состоящей из одного уравнения (8), равен единице. Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений Если ее матрица А имеет ранг, равный 1, то a21 /a11 =a22 /a12 =…=a2 n /a1 n . (10) В этом случае гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), называются параллельными . Если при этом ранг расширенной матрицы В системы (9) равен 2, т. е. a21 /a11 =a22 /a12 =…=a2n /a1n ≠b2 /b1 . (11) то система несовместна — гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), не имеют общих точек (не пересекаются); если же ранг расширенной матрицы также равен 1, т. е. a21 /a11 =a22 /a12 =…=a2n /a1n ≠b2 /b1 . (12) то ранг системы (9) равен 1, система сводится к одному уравнению — две гиперплоскости совпадают. Наконец, если ранг матрицы А системы (9) равен 2, то система уравнений (9) определяет (n—2)-мерную плоскость. Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r=n—1. Если известны две точки U (u1 ;u2 ;…;un ) и V(v 1 ; v 2 ;…; v n ) прямой, то эту систему можно записать в виде где X (x1 ; х2 ;…;х2 ) - текущая (переменная) точка прямой. Систему уравнений (13) называют уравнениями прямой , проходящей через две точки U и V (ср. [1], гл. II, § 3, п. 1). Полагая (x i —u i )/(v i —u i )=t (i=l, 2,..., n), систему (13) можно записать в виде Уравнения (14) являются параметрическими уравнениями прямой ; параметром является переменная величина t (о параметрических уравнениях линий на плоскости и в пространстве см [1], гл. II, § 1, п. 3). При изменении t от -∞ до +∞ уравнения (14) определяют различные точки X прямой UV . При t = 0 точка X совпадает с точкой U , а при t=1-с точкой V . Если же 0<t<1, то значения x, заключены между соответствующими значениями u 1 и v 1 ; в этом случае говорят, что точка X заключена между точками U и V. Множество точек, включающее точки U, V и все точки, лежащие на прямой между ними, называется отрезком прямой, точки U а V— концами , а точки, заключенные между ними, — внутренними точками отрезка. Отрезок с концами U и V обозначают UV. Отрезок UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии множество внутренних точек отрезка UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии Если t<0 или t>1, то точка X, определяемая уравнениями (14), лежит на прямой UV вне отрезка UV, причем если t<0, то точка U лежит между точками X и V, а если t>l, то точка V лежит между U и X. Замечание. При изучении аналитической геометрии для координат внутренней точки М отрезка АВ были получены формулы где A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 ); λ∕μ=|AM|/|MB| (см. [1], гл. I, § 2, п. 2). Полагая λ∕(λ+μ)=t, получим х=(1—t)x1 +tx2 , у=(1-t)y1 +ty2 , z=(1— t)z1 +tz2 — частный случай формул (14) при n=3 и соответствующих обозначениях (М≡Х, A≡U, B≡V); при этом t=|AM|/|MB| и для внутренних точек отрезка АВ выполняется условие (16). Рассмотрим множества точек, определяемых неравенствами Гиперплоскость принадлежит, очевидно, обоим этим множествам. Возьмем в одном из них точку U, а в другом V, не принадлежащие гиперплоскости (8). Можно показать, что среди внутренних точек отрезка UV найдется точка, принадлежащая гиперплоскости (8), т. е. отрезок UV пересекает гиперплоскость (8). В этом смысле будем говорить, что множества, определяемые неравенствами (17) и (18), лежат по разные стороны от гиперплоскости (8). Они называются полупространствами . Гиперплоскость (8), принадлежащая обоим полупространствам, является их общей границей . Вопросы для самопроверки 1. Что называется n-мерным арифметическим пространством? 2. Что называется r-мерной плоскостью в n-мерном арифметическом пространстве? 3. Что называется гиперплоскостью и прямой в n-мерном арифметическом пространстве? 4. Как записываются уравнения гиперплоскости и прямой в n-мерном арифметическом пространстве? 5. В каком случае две гиперплоскости называются параллельными? Каковы условия параллельности и совпадения гиперплоскостей? 6. Как определяется отрезок в n-мерном арифметическом пространстве? 7. Как определяются полупространства n-мерного арифметического пространства? 7. Линейные пространства Литература. [1], гл. VI, § 1; [9], гл. V, § 1—3. Как уже отмечалось в предыдущем пункте, понятие вектора в современной математике является довольно широким понятием, связанным с понятием линейных операций (сложением и умножением на число). Такие операции уже встречались в арифметике, алгебре, векторной алгебре, теории матриц и т. п. В каждом конкретном случае они определялись по-своему, в соответствии со спецификой тех множеств, для которых они рассматриваются (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы и т. п.); например, определения сложения матриц и сложения направленных отрезков очень далеки одно от другого. Но свойства этих операций одинаковы. Именно эта общность свойств и сближает их, позволяет изучать с единой общей точки зрения и говорить, например, о сложении как о единой операции независимо от того, что складывают — числа, векторы, многочлены и т. п. Пусть имеется некоторое множество L , элементы которого будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, a, b, с, ... (в книгах эти буквы обычно набирают полужирным шрифтом, а в рукописи над ними ставят черточку). Малыми буквами греческого и латинского алфавитов (светлыми и без черточки) будем обозначать числа (действительные). Пусть для элементов L определены понятие равенства (х = у) и две операции: сложение (результат называется суммой : z = x + y) и умножение на действительное число (результат называется произведением: y=<zx=xa), которые обладают следующими свойствами: 1°. x + у = у + х. 2°. (x + y)+z = x + (y + z). 3°. В множестве L имеется элемент 0, такой, что х+0=х для любого х из L ; элемент 0 называют нулевым элементом (или нулем). 4°. Для любого элемента х из L в множестве L имеется элемент (-х), такой, что х+(-х)=0; элемент (-х) называют противоположным элементу х. 5°. 1х=х. 6°. β(αк)=(βα)х. 7°. (α+β)х=αх+βх. 8°. α(х+у)=αх+αу. Операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам 1°—8°, называют линейными операциями , множество L с линейными операциями — линейным (или векторным ) пространством, а его элементы — векторами ; свойства 1°—8° называют аксиомами линейного пространства . В отличие от векторов числа называют скалярами . Аксиому 1° называют коммутативным (переместительным ) законом , 2° и 6° — ассоциативным (сочетательным ) законом (2° — для векторов-слагаемых, 6° — для скалярных множителей), 7° и 8° — дистрибутивным (распределительным ) законом (7° — для суммы скалярных множителей, 8° — для суммы умножаемых векторов) [ср. предложение 1 в [1], гл. I, § 1, п. 4]. Нулевой элемент линейного пространства называют нуль-вектором. Необходимо строго различать число нуль и нуль-вектор. Можно показать, что в каждом линейном пространстве нуль-вектор только один и для любого вектора х существует только один противоположный ему вектор. Из аксиом 1°—8° следует также, что 0х=0, α∙0=0, (-1)х=(-х); в силу аксиомы 2° сумму трех (и более) векторов можно записать без скобок: (х+у)+z=x+y+z. Вектор z=x+(-у) называют разностью векторов х и у, определяя таким образом операцию вычитания; ее обозначают знаком «-»; z = x+(-у) =х-у. Из аксиом 1°—8° следует, что выражения относительно векторов линейного пространства L можно преобразовывать по всем правилам обычной (скалярной) алгебры (раскрывать скобки, приводить подобные члены и т. п.). Отметим одно важное обстоятельство. Говоря о линейном (векторном) пространстве, имеют дело одновременно с двумя множествами: самим множеством L и множеством действительных чисел R. Элементы множества L являются векторами, а элементы множества R используют в качестве множителей в операции умножения вектора на скаляр (действительное число). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, построенное таким образом линейное (векторное) пространство называют действительным . Далее мы познакомимся с комплексными числами — обобщением понятия действительного числа. С их помощью аналогично определяется понятие комплексного линейного (векторного ) пространства , имеющее много свойств общих со свойствами действительного линейного пространства, но во многом и отличающееся от него. Здесь пока будем рассматривать только действительные линейные пространства и для краткости слово «действительное» в их названии опускать. Приведем некоторые примеры линейных пространств. В первых трех примерах будем рассматривать множества векторов — направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в векторной алгебре. Линейными пространствами являются: 1. Множество всех вектором пространства; его обозначают V3 . 2. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой плоскости или параллельных ей; его обозначают V2 . 3. Множество всех векторов, принадлежащих некоторой прямой или параллельных ей; его обозначают V1 . В следующих двух примерах будем рассматривать множества многочленов относительно переменной t, т. е. x=PR (t)=a 0 +a 1 +t+…+aR tR , с операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в элементарной алгебре. Линейными пространствами являются: 4. Множество всех многочленов (любых степеней). 5. Множество всех многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m(k≤m). 6. Линейным пространством является множество всех матриц размера m n операциями сложения и умножения на число, определенными так, как они определялись в алгебре матриц. 7. Введем теперь линейные операции в арифметическом пространстве Rn , превратив его таким образом в арифметическое линейное (векторное) пространство. Элементы его будем называть теперь векторами, а числа, образующие вектор, — компонентами вектора . Два вектора х (x1 ; x2 ; ...; хn ) и у (y1 ; у2 , ...;yn ) называются равными (х=у),если хi =уi (i=l, 2,…,n); (19) вектор z (z1 , z2 ;...; zn ) называется суммой векторов х и у (z=x+y), если zi =xi +yi (i = 1,2…, n); (20) вектор p (p1 ; р2 ,…, рn ) называется произведением вектора х на число α(р =αх=хα), если pi=αxi (i = l, 2,…, n). (21) Нуль-вектором (нулем ) является вектор 0(0; 0;...;0); вектором, противоположным вектору х (х1 ; х2 ; ...;xn ), является вектором (-х)=(-x1 , -x2 ,…,xn ). Интересно заметить, что арифметическое линейное пространство можно рассматривать и как частный случай линейного пространства матриц (пример 6). Действительно, вектор (х1 ; х2 ; ...; хn ) является однострочной матрицей , а равенства (19)—(21) являются частным случаем общего определения равенства матриц и линейных операций над ними (для случая однострочных матриц). Компоненты вектора можно записывать не в строку, а в столбец (заметим, что матрица-столбец получается из матрицы-строки транспонированием). Тогда Rn является пространством одностолбцовых матриц. 8. Само множество действительных чисел R, поскольку в нем определены операции сложения и умножения действительного числа на другое действительное же число, также является линейным (векторным) пространством. Его можно рассматривать как частный случай примера 7 при n=1. Здесь два множества L и R совпадают (L≡R)—каждое действительное число является и вектором, принадлежащим L, и скаляром, принадлежащим R. Выполнение аксиом 1°—8° во всех примерах рекомендуется проверить самостоятельно. Выражение x1 a1 +x2 a2 +…+xk ak называется линейной комбинацией векторов а1, а2,…, аk с коэффициентами x1 , х2 ,..., хn . Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой, очевидно, вектор того же пространства. Если некоторый вектор b линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов а1, а2,…, аk того же пространства, т. е. b=x1 a1 + x2 a2 +…+xk ak , (22) то говорят, что вектор b разложен по векторам а1 , а2 ,…, аk . Если в линейном пространстве задана система векторов a1 , а2 …, ak , то может оказаться, что либо всякий вектор пространства можно разложить по этим векторам, либо в пространстве существуют векторы, которые не могут быть разложены по ним. Например, в пространстве V3 (пример 1) по двум неколлинеарным векторам можно разложить любой вектор, лежащий с ними в одной плоскости, но нельзя разложить вектор, не лежащий в той же плоскости. Важную роль в теории линейных пространств играет понятие линейной зависимости и независимости векторов. Система векторов a1 , а2 …, ak некоторого линейного пространства L называется линейно независимой , если равенство x1 a1 + x2 a2 +…+xk ak =0 (23) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов; если же равенство (23) имеет место и при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов a1 , а2 …, ak называется линейно зависимой (ср. [1], гл. I, § 1, п. 5). Равенство (23) является частным случаем (22) при b=0, т. е. представляет разложение нуль-вектора по векторам a1 , а2 …, ak . Такое разложение всегда возможно — достаточно положить все коэффициенты равными нулю. Следовательно, линейная независимость системы векторов означает, что разложение нуль-вектора по векторам системы возможно единственным образом, а линейная зависимость – что такое разложение не является единственным. Если система содержит более одного вектора (k >1), то линейная зависимость системы означает, что, по крайней мере, один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов системы. Действительно, пусть векторы a1 , а2 …, ak линейно зависимы и пусть в (23), например, xk ≠0. Тогда из (23) получаем т.е. вектор аk разложен по векторам а1 , а2 , …, аk -1 . Обратно, если ak =λ1 a1 + λ2 a2 +…+ λk -1 ak -1 , то λ1 a1 + λ2 a2 +…+ λk -1 ak -1 -ak =0, т. е. имеет место равенство (23) при хk =-1≠0 – векторы линейно зависимы. В линейных пространствах V2 и V3 (примеры 1 и 2) линейная зависимость двух векторов означает их коллинеарность, а трех векторов— их компланарность (см. [1], гл. I, § 1, п. 5). Для системы, состоящей из одного вектора, линейная зависимость означает, что этот вектор является нуль-вектором, а линейная независимость – что он не равен нулю. Действительно, обозначим этот единственный вектор a1 (k =l). Равенство (23) принимает в этом случае вид x1 a1 =0. Если a1 =0, то последнее равенство имеет место как при x1 =0, так и при х1 ≠1; если же а 1 ≠0. то равенство имеет место только при x1 =0. В пространстве V1 (на прямой) линейно независимая система не может содержать более одного вектора — система из двух (и более) векторов всегда линейно зависима; в пространстве V2 (на плоскости) линейно независимая система не может содержать более двух векторов — любая система из трех (и более) векторов линейно зависима; в пространстве V3 линейно независимая система не может содержать более трех векторов — любая система из четырех и более векторов линейно зависима (см. [1], гл. I, § 1, п. 5). Обобщая, сформулируем определение: если в линейном пространстве имеются n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы, то пространство называется конечномерным ; если же линейное пространство таково, что в нем существуют системы из сколь угодно большого числа линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным . Максимально возможное число линейно независимых векторов в конечномерном пространстве называют размерностью этого пространства; если размерность конечномерного пространства равна я, то его называют n -мерным . В соответствии с этими определениями прямая является одномерным, плоскость — двумерным, наглядное геометрическое пространство — трехмерным линейным пространством, что согласуется с интуитивными представлениями. В пространстве многочленов относительно переменной t (примеры 4 и 5) многочлен Pn (t)=a0 +a1 t+…+ak tk (аi — действительные числа) представляет собой линейную комбинацию одночленов 1, t, t2 ,…, tk с коэффициентами a0 , а1 …, ak . Сами эти одночлены, в свою очередь, являются многочленами при соответствующих значениях коэффициентов. Они линейно независимы, так как тождество a0 +a1 t+…+ak tk ≡0 имеет место только при нулевых значениях коэффициентов a0 , а1 …, ak . В линейном пространстве всех многочленов (пример 4) показатель степени k может принимать сколь угодно большое значение, следовательно, это линейное пространство — бесконечномерное. Линейное же пространство всех многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m (пример 5) является (m+1)-мерным, так как одночлены 1, t, t2 ,…,tm линейно независимы, а одночлены более высоких степеней отсутствуют (k≤m), а любой многочлен степени не выше m является линейной комбинацией указанных одночленов, т. е. образует с ними линейно зависимую систему Система n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом этого пространства. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причем единственным образом. Действительно, пусть векторы a1 , а2 ,…, an , образуют базис некоторого n-мерного линейного пространства, а b — произвольный вектор того же пространства. Система a1 , а2 ,…, an , b содержит n+1 вектор и, следовательно, линейно зависима, т. е. имеет место равенство λ1 a1 +λ2 a2 +…+λn an+1 λn+1 b=0, (25) в котором некоторые из коэффициентов могут принять значения, не равные нулю. В их число обязательно войдет коэффициент λn+1 , так как в противном случае получаем равенство λ1 a1 +λ2 a2 +…+λn an =0, среди коэффициентов, которого есть отличные от нуля, что противоречит линейной независимости векторов a1 , а2 ,…, an . Следовательно, из (25) можно получить или b=xi ai +x2 a2 +…+xn an , (26) т. е. вектор b разложен по векторам a1 , а2 ,…, an . Докажем единственность этого разложения. Пусть кроме (26) имеем еще разложение b=у1 а1 +у2 а2 +…+ уn аn . (27) Из (26) и (27) получаем b-b=0=(х1 -у1 )а1 +(x2 -y2 )a1 +(x2 +y2 )a2 +…+(xn -yn )an . В силу линейной независимости векторов a1 , а2 ,…, an имеем x1 -y1 =0, х2 -у2 =0,…, хn -уn =0, или x1 =y1 , х2 =у2 ,…, хn =уn , т. е. любое разложение вектора b по векторам a1 , а2 ,…, an совпадает с (26). Таким образом, единственность разложения доказана (ср. приведенное доказательство с доказательством теоремы 1 в [1], гл. I, § 1, п. 4). Коэффициенты разложения вектора конечномерного линейного пространства по векторам базиса этого пространства называются координатами вектора в данном базисе . В приведенных выше примерах линейных пространств базисами являются; в примере 1 – любая тройка некомпланарных векторов; в примере 2 – любая пара неколлинеарных векторов плоскости; в примере 3 – любой отличный от нуля вектор прямой; в примере 5 – одночлены 1, t, t2 ,...,tm ; координатами вектора (многочлена Pm (t)=a0 +a1 t+ a2 t2 +…+am tm ) является совокупность коэффициентов (a0 , а1 , a2 …, am ). Пространство всех многочленов (пример 4) бесконечномерное и поэтому базиса в нем не существует. Вектор и-мерного линейного пространства имеет n координат. Если вектор х имеет координаты (х1 , х2 ;…; хn ), то пишут х(х1 , х2 ;…; хn ). Совокупность координат вектора является элементом арифметического пространства Rn . Более того, линейные операции над векторами данного линейного пространства, в котором введена система координат (а для этого достаточно задать базис), можно производить в координатах по формулам (19) — (21), благодаря которым пространство Rn можно считать векторным пространством. Поэтому арифметическое линейное пространство называют также координатным пространством. Любое линейное n-мерное пространство L можно изучать с помощью координатного пространства Rn . В этом состоит особая роль векторного пространства Rn . Так, в векторной алгебре (тема 1) мы изучали пространство V3 с помощью координатного пространства R3 . Рассмотрим теперь подробнее вопрос о самом векторном пространстве Rn , найдем его размерность и базис. Пусть в пространстве Rn даны k векторов (система векторов) aj (a1 j ; a2 j ;…; аnj ) (j=1, 2,…, k ); их компоненты аij – имеют по два индекса: (первый (i) – номер компоненты данного вектора, второй (j) – номер вектора в системе. Кроме того, пусть задан еще вектор b(b1 ; b2 ;…; bn ). В силу определений равенства векторов и операций сложения и умножения вектора на число в Rn , т. е. на основании (19)—(21), векторное равенство (22) теперь можно записать в виде системы n линейных уравнений с k переменными: Компоненты вектора аj образуют столбец коэффициентов при переменной хj , в этой системе, а компоненты вектора b – столбец свободных членов. Обратно, если в произвольно заданной системе линейных уравнений (28) совокупность коэффициентов при одной я той же переменной и свободные члены интерпретировать как соответствующие n-мерные векторы, то получаем векторное уравнение (22). Уравнение (22) называют векторной формой записи системы линейных уравнений (28). Если система (28) несовместна, то разложение данного вектора b по векторам а1 , a2 …, ak невозможно; если система (28) совместна, то разложение возможно, а каждое решение системы (28) является совокупностью коэффициентов этого разложения. В частности, уравнение (23) является векторной формой записи однородной системы линейных уравнений Система (29) всегда совместна, так как имеет нулевое решение; если это решение единственное, то равенство (23) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов, т. е. система векторов а1 , a2 …, ak линейно независима. С другой стороны, нулевое решение системы (29) является единственным тогда и только тогда, когда ее ранг r равен числу переменных (r=k ), или, иначе говоря, система векторов а1 , a2 …, ak линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы столбцы которой образованы компонентами этих векторов, равен числу ее столбцов. Но r≤n, следовательно, если система векторов линейно независима, то k =r≤n, т. е. в пространстве Rn система линейно независимых векторов не может содержать более n векторов; любые же n векторов, для которых определитель со столбцами, образованными компонентами векторов отличен от нуля, являются линейно независимыми (k =n, ∆≠0, система (29) имеет единственное нулевое решение; матрица (30) квадратная, ∆ является ее определителем, ранг матрицы r=n). Отсюда следует, что размерность линейного пространства Rn равна n. Замечание. Выше размерность пространства Rn была определена как число компонент его векторов. Теперь показано, что размерность Rn как линейного пространства равна тому же числу n, Векторы, для которых ∆≠0, образуют базис пространства; решение системы (28) является совокупностью координат вектора b в этом базисе (в системе (28) в этом случае также k =n, системы (28) и (29) имеют один и тот же определитель ∆). Пример 4. Даны векторы a1 (2; 4; 3; 2), а2 (4; 2; 2: 8), а3 (4; 5; 8; 7), a4 (6; 7; 5; 3) и b(18; 24; 13; 6). Показать, что векторы а1 , а2 , а3 , а4 образуют базис четырехмерного линейного пространства R4 и найти координаты вектора b в этом базисе. Решение. Составим определитель (31) из компонент векторов а1 , а2 , а3 , а4 и вычислим его: Так как ∆≠0, то векторы а1 , а2 , а3 , а4 образуют базис четырехмерного пространства R4 . Для вычисления координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений Ее решение x1 =2, х2 =0, x3 =-1, x4 =3 образует совокупность координат вектора b в базисе а1 , а2 , а3 , а4 , т. е. в этом базисе b(2; 0; -1; 3) или b=2а1 — а3 + 3а4 . Базис в Rn , как и в любом другом линейном пространстве, может быть выбран не единственным образом. В частности, базис образуют векторы еj (j=1, 2,..., n), у каждого из которых одна (j-я) компонента равна единице, а все остальные — нули, т. е. ej (l; 0; 0;…; 0), е2 (0; 1; 0;...; 0),..., еn (0; 0; 0;...; 1). Рекомендуется проверить это самостоятельно. Очевидно, для любого вектора b (b1 ; b2 ;…; bn ) имеем b=b1 e1 +b2 e2 +…+bn еn , т. е. компоненты вектора являются одновременно и координатами его в базисе е1 , е2 ,…, еn , поэтому вместо «компоненты вектора» говорят также «координаты вектора». Пусть имеется некоторое линейное пространство L. Выделим в нем некоторое подмножество L' его элементов. Так как элементы L' являются одновременно элементами и L, то для них определены те же линейные операции, которые рассматриваются в L. Если при этом сумма элементов из L' и произведение элемента из U на число также принадлежит L', то L' само образует линейное пространство. В этом случае линейное пространство L' называют подпространством пространства L. Так, например, пространства V2 и V1 являются подпространствами пространства V3 ; пространство V1 , в свою очередь, является также и подпространством пространства V2 ; пространство многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа m является подпространством пространства всех многочленов (любых степеней). Приведем еще один пример. Пусть система однородных линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых является вектором из Rn . Это множество образует линейное пространство относительно линейных операций, определенных в Rn (рекомендуется проверить это самостоятельно); оно является подпространством пространства Rn . Если ранг системы (32) равен r, то ее общее решение при базисных переменных x1 , x2 , …, xn можно записать в виде где k =n-r (cp. (1) и (7) на с. 31 и 33, где следует положить b1 =...=bm =0, α1 =…= αr =0). Систему (32) можно записать в векторной форме (23) (при n=k векторы аj - являются m-мерными), а ее решение (33) — в виде х=xr+1 q1 +хr +2 q2 +…+хr + k qk , где x(x1 ; х2 ;...; xr ; xr +1 ;...; хr + k ), а каждый из векторов qj (j=1, 2,…, k ) таков, что его первые r компонент образуют столбец коэффициентов при xr+j в общем решении (33), компонента с номером i+j равна 1, а все остальные компоненты — нули. Векторы q1 , q2 , … qr линейно независимы и образуют базис пространства решений системы (32), размерность которого равна k =n-r. Пример 5. Пусть имеется однородная система линейных уравнений Применяя метод Гаусса, найдем ее общее решение: х1 =13x3 -17x4 , x2 =-4x3 +7x4 , или в векторной форме x (x1 ; x2 ; х3 ; x4 ) = х (13x3 -17x4 ; -4x3 + 7x4 ; х3 ; x4 ) = (13x3 ; -4x3 ; x3 ; 0) + (-17х4 ; 7x4 ; 0; x4 ) = x3 (13; -4; 1; 0) + x4 (-17; 7; 0; 1). Кратко можно записать так: x = x3 u+x4 v, где u=(13; -4; 1; 0), v=(-17; 7; 0; 1). Здесь x3 , x4 — свободные, x1 , x2 — базисные переменные; ранг системы r=2. Векторы u и v являются частными решениями системы: решение и получается из общего решения при x3 =1, x4 =0, а решение v — при x3 =0, x4 =1. Они линейно независимы. Действительно, нулевое решение 0(0; 0; 0; 0) получается из общего только при x3 =0, х4 =0; иначе говоря, равенство x3 u+x4 v=0 имеет место только при x3 =0, x4 =0. Итак, любое решение x системы представлено в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений u и v. Следовательно, эти два решения образуют базис пространства решений системы, размерность которого равна 2. Оно является подпространством пространства R4 . 8. Евклидовы пространства Литература. [1], гл. VII, § 1 (пример 3 опустить); [10], §6, 17; [9],ч. I, гл. V, §5. Вопросы для самопроверки Как определяется линейное (векторное) пространство? Приведите примеры Сформулируйте определения линейной зависимости и независимости векторов. Что называется размерностью линейного пространства? Приведите примеры. Что называется базисом линейного пространства? Приведите примеры. Что называется векторной формой записи системы линейных уравнений? Что называется подпространством линейного пространства? Приведите примеры. Что называется евклидовым пространством? Как определяется скалярное произведение векторов в линейном пространстве и, в частности, в пространстве Rn ? Как определяются модуль вектора и угол между векторами в линейном пространстве? Напишите неравенство Коши—Буняковского в общем виде и, в частности, для пространства Rn . 9. Линейные преобразования (операторы) Литература. [2], гл. III, § 12—22; [1], гл. VI, § 3, 4; [10], § 15—21; [9], ч. I, гл. IV, § 2; гл. V, § 4. Если задано правило, по которому каждому вектору x линейного пространства поставлен в соответствие вектор у того же пространства, то говорят, что задано преобразование этого пространства. Преобразования называют также операторами . Линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор x переводится в вектор у линейным преобразованием с матрицей А , а вектор у переводится в вектор z линейным преобразованием с матрицей В , то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному же преобразованию, переводящему вектор х в вектор z (оно называется произведением составляющих преобразований). Матрица этого линейного преобразования С=ВА. Пример 6. Даны два линейных преобразования: Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z1 , z2 , z3 через x1 , х2 , х3 . Решение. Первое преобразование определяется матрицей А , а второе — матрицей В , где Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей Перемножив матрицы В и A, получим матрицу Следовательно, искомое преобразование таково: При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т. е. если некоторый вектор u - собственный, то и вектор αu (α≠0) - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании. Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей . Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы А: Корни этого уравнения λ1 =5 и λ2 =20 и являются собственными значениями линейного преобразования. Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений Полагая λ=λ1 =5, получаем систему уравнений для первого собственного вектора u(u1 ; u2 ): Применяя метод Гаусса, найдем ее общее решение: u2 =-2u1 (ранг системы r=1, u1 — свободная, u2 —базисная переменная). Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является u (u1 ; u2 ) = (ul ; —2u1 )=u1 (l; -2). Меняя u1 , будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они - собственные. Полагая λ=λ2 =20, получаем систему уравнения для отыскания координат второго собственного вектора v(v1 ; v2 ); Снова ранг системы r=l, а общее решение v1 =2v2 (v2 — свободная, v1 — базисная переменная). Второй собственный вектор v(v1 ; v2 ) = (2v2 ; v2 )=v2 (2; 1) определяет второе собственное направление. Вид матрицы линейного преобразования зависит от выбора базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов, то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, где на главной ее диагонали стоят собственные значения. Например, в двумерном пространстве это матрица . Линейное преобразование в таком базисе имеет вид y1 =λ1 x1 , y2 =λ2 x2 . 10. Квадратичные формы Литература. [2], гл. III, § 23—25; [1], гл. IX, § 2; [10], §22—26; [9], ч. I, гл. V, § 7. Однородный многочлен второй степени относительно переменных x1 х2 Ф(x1 ; х2 ) = а11 х2 1 + 2а12 х1 х2 + а22 x2 2 (34) называется квадратичной формой от этих переменных. Если положить a21 = a12 , то квадратичную форму (34) можно записать в виде Ф = x1 (a11 xl +a12 x2 ) + x2 (a21 x1 +a22 x2 ). или Ф = х1 у1 +х2 у2 , (35) где Выражения (36), а значит, и квадратичная форма (34) полностью определяются матрицей называемой матрицей квадратичной формы. (34). В дальнейшем всюду будем предполагать, что базис ортонормированный. Произведем замену базиса. Это приведет к тому, что от переменных x1 , x2 мы перейдем к переменным x’1 , x’2 которые выражаются через x1 , x2 линейно. Квадратичная форма (34) также преобразуется, но остается квадратичной (конечно относительно новых переменных x’1 , x’2 ); преобразуются лишь ее коэффициенты. Выражение (35) принимает вид где Матрица А теперь имеет вид Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования является диагональной с собственными значениями на главной диагонали: где λ1, λ2 — собственные числа; система (36') принимает вид у'1 =-λ1 х'1 , у'2 =λ2 х'2 , а квадратичная форма (35') —вид Выражение (38) называется каноническим видом квадратичной формы . Аналогично приводится к каноническому виду и квадратичная форма с большим числом переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно использовать для приведения к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка. Пример 8. Привести к каноническому виду уравнение линии 17х2 + 12ху + 8x2 – 20 = 0. Решение. Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму 17х2 + 12ху + 8x2 . Ее матрица Собственными значениями соответствующего линейного преобразования являются числа λ1 = 5, λ2 =20 (п. 9, пример 7). Следовательно, квадратичная форма 17х2 + 12ху + 8x2 преобразуется к каноническому виду а данное уравнение— к виду Данная линия — эллипс. Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить исходя из собственных векторов линейного преобразования с матрицей А: (п. 9, пример 7). Предполагая, что исходный базис — ортонормированный, находим длину вектора и, равную . Нормируя вектор и, получаем вектор . Аналогично, . Базис e’1 , е’2 и является искомым ортонормированным базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид. Можно записать и формулы преобразования координат. Если обозначить векторы исходного базиса через . Сравнивая с формулой (см. [1], гл. 1, § 4, п. 3) е’1=cos φ∙e1 +sin φ∙е2 , заключаем, что следовательно, Подставив эти выражения в данное уравнение и преобразовав его, убедитесь, что получится то же каноническое уравнение. Сделайте чертеж. Вопросы для самопроверки 1. Что называется преобразованием пространства? Какие преобразования называются линейными? 2. Как найти матрицу линейного преобразования, являющегося произведением двух линейных преобразований, матрицы которых известны? 3. Что называется собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования? Как их найти? 4. Что называется квадратичной формой и ее матрицей? В каком случае говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид? 5. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду? 11. Комплексные числа Литература. [4], т. I, гл. VII, § 1—3, упр. 1—10; [1], гл. V, § 7, п. 1—4. В пособии [4] комплексное число z определено как выражение z=a+bi (39) где а и b — действительные числа, а символ i (мнимая единица ) определяется равенством (40) Комплексные числа можно интерпретировать с помощью векторов: комплексное число z=a+bi изображается вектором r (а; b). Линейные операции над комплексными числами соответствуют тем же операциям над векторами, причем безразлично, производятся ли они непосредственно над направленными отрезками r плоскости или над элементами ее координатного пространства R2 — парами чисел (а; b) (см. п. 7, с. 45). Но пару чисел (а; 0) можно отождествить с действительным числом а: (а; 0) = а, (41) а пару (0; b) можно записать в виде (0; b) =b(0; 1). Если обозначить (0; l) = i, (42) то в силу (41) и (42) получим Следовательно, выражение (39) можно рассматривать как специфическую форму представления вектора (а; b) линейного (векторного) пространства R2 в виде суммы двух векторов пар чисел — (а; 0)=a и (0; b)=bi. Равенство (40) также может быть интерпретировано с точки зрения некоторой операции над элементами R2 , но уже не линейной операции, а дополнительно определенной операции умножения. Дело в том, что в множестве комплексных чисел кроме линейных операций должна быть определена еще одна операция — умножение. Ее определяют так, чтобы сохраняли силу все правила обычной алгебры (алгебры действительных чисел). Если z1 =a1 +b1 i и z2 =a2 +b2 i — два комплексных числа, то их произведение также комплексное число: Для того чтобы последнее выражение имело смысл, надо определить смысл символа i2 (т. е. произведения ii). Его-то и определяет условие (40), в силу которого получаем или Правило (43) или, что то же самое (43') умножения комплексных чисел является следствием (40). Обратно, если (43) или (43') принять за исходное определение операции умножения комплексных чисел, то их него, как следствие, вытекает (40). Действительно, в силу (42) и (43)