Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 14
|
Методические указания "Решение задач на переЛИВАНИЯ"
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что - все сосуды без делений - нельзя переливать жидкости "на глаз" - невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях. 1) знаем, что сосуд пуст, 2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость, 3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились 4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них 5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде Примеры решения задач. Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды? Решение. В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания. 8-литровый сосуд
5-литровый сосуд
3-литровый сосуд
8 0 0 3 5 0 3 2 3 6 2 0 6 0 2 1 5 2 1 4 3 4 4 0 После переливания оказалось по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось. Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания. бочка
ведро
бидон
не менее 10 0 0 не менее 5 0 5 не менее 5 5 0 не менее 0 5 5 не менее 0 9 1 не менее 9 0 1 не менее 9 1 0 не менее 4 1 5 не менее 4 6 0 Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну? Решение. 4
-литровый сосуд
5-литровый сосуд
6-литровый сосуд
4 л сиропа 0 0 0 4 л сиропа 0 4 л воды 4 л сиропа 0 0 4 л сиропа 4 л воды 4 л воды 4 л сиропа 4 л воды 2 л воды 4 л сиропа 6 л воды 2 л воды 4 л сиропа 0 2 л воды, 2 л сиропа 2 л сиропа 0 2 л воды, 2 л сиропа 0 2 л сиропа 0 2 л воды, 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 0 2 л воды, 2 л сиропа 2 л воды, 2 л сиропа 0 Задача состоит в том, чтобы разделить 8 л воды, находящейся в 8 л ведре, пополам, т. е. по 4 л с помощью пустых дополнительных ведер - по 3 л и 5 л. [5] Эта задача решается за 7 ходов. Сразу придумать это решение не так просто. Но можно переформулировать задачу и расширить ее границы сложности. Попробуем найти решение для получения и других количеств воды - 1 л, 2 л, :, 7 л. Мы увидим, что получение некоторых количеств (3 л, 5 л) находятся за одно действие, другие - за два, а деление по 4 л - окажется самой трудной задачей. Пусть количество переливаний - стоимость решения задачи, ее сложность. Таким образом, из исходной задачи, для заданных объемов сосудов мы получим восемь задач сложностью в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 условных баллов. Задавая различные объемы сосудов, различные требуемые количества жидкости, можно получить большой набор задач разного уровня сложности. Приведем первый набор условий задач, которые дают возможность сформулировать порядка 100 задач на переливания. Здесь объемы всех сосудов конечны. I. Задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний
Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний При решении задач на переливания (и пересыпания) удобно пользоваться методикой, изложенной в [2]. Суть ее заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом "угол падения равен углу отражения" и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Освоив ее, нетрудно получить решение задачи на переливания (пересыпания) для трех сосудов различного объема. Пример построения траектории "умного" шарика приведен для исходной Роботландской задачи [5].
Для задачи по делению 8 л по 4 л нас интересует одна точка на схеме: 4 л в сосуде Б и 0 л в сосуде В. В этот момент остальные 4 л - в сосуде А. Это точка на горизонтальной оси с координатой - 4 единицы. В эту точку можно попасть за 7 ходов, если начать переливания в 5 л ведро (начальное движение шарика по горизонтальной оси), и за 8 ходов, если начать переливания в 3 л ведро (начальное движение шарика по наклонной оси). Для итогового решения выбираем меньшее количество переливаний - 7. Траекторию движения шарика как модель процесса переливаний для каждой из десяти предложенных выше задач учителю предлагается изобразить самостоятельно. Данный подход позволяет быстро оценить, все ли объемы можно получить, т. е. во всех ли точках бильярдного стола мы сможем оказаться или же получение каких-то объемов невозможно. По сути, в данных задачах реализуются два алгоритма. Первый: последовательно из большего сосуда наполняется меньший сосуд, из него жидкость сливается в сосуд промежуточного объема, эти два действия повторяются до полного наполнения сосуда промежуточного объема, после чего жидкость из него сливается в самый большой. Процедура повторяется несколько раз до тех пор, пока два меньшие сосуда будут пустыми, а вся жидкость окажется в большом сосуде. Таким образом, будут реализованы все возможные варианты наполнения сосудов. Второй алгоритм соответствует действиям первого, записанным в обратном порядке, т.е. с конца. Сначала из большего сосуда наполняется сосуд промежуточного объема. Из него жидкость переливается в самый маленький, а из наименьшего - в наибольший. Два последних действия повторяются до тех пор, пока сосуд промежуточного объема не станет пустым. Тогда он наполняется жидкостью из самого большого сосуда. Эта процедура повторяется до возвращения к исходному состоянию. Решение задачи можно получить и по первому и по второму алгоритму, выбирается более короткий вариант. Для учителя в ниже приведенных решениях задач приводятся полные сведения о том, какие количества жидкости и за сколько ходов могут быть получены с помощью сосудов данного объема. Количество действий, необходимых для получения того или иного заданного количества жидкости определяет сложность задачи и помогает учителю оценить работу ученика. Для удобства в конце приведена сводная таблица, в которой данные задачи распределены по сложности. Так как мы рассматриваем решения задач за наименьшее число ходов, то в задачах 1 и 2 надо сделать поправку (в связи с тем, что объем А больше, чем объемы Б и В в сумме): количество, равное разности объемов A - Б - В (1л в первой и второй задачах) быстрее всего можно получить за два хода, наполнив вначале сосуды Б и В. Дополнительная к условию задачи информация в таблицах по переливанию выделена курсивом. Если рассматривать порядок действий с конца, то действия запишутся соответственно в обратном порядке (например, если прямое действие записано как А-Б, то обратное будет записано как Б-А). Для удобства работы учителя приведем полный вариант переливаний для исходной задачи [5]. N Действие А(8л) Б(5л) В(3л) 0 8 0 0 1 А-Б 3 5 0 2 Б-В 3 2 3 3 В-А 6 2 0 4 Б-В 6 0 2 5 А-Б 1 5 2 6 Б-В 1 4 3 7 В-А 4 4 0 8 Б-В 4 1 3 9 В-А 7 1 0 10 Б-В 7 0 1 11 А-Б 2 5 1 12 Б-В 2 3 3 13 В-А 5 3 0 14 Б-В 5 0 3 15 В-А 8 0 0 Возможно получение любого количества литров: 1 литр - за 4 хода 5 литров - за 1 ход 2 литра - за 2 хода 6 литров - за 3 хода 3 литра - за 1 ход 7 литров - за 5 ходов 4 литра - за 6 ходов по 4 литра - за 7 ходов 1. Решение возможно за 3 хода. N Действие А(10л) Б(7л) В(2л) 0 10 0 0 1
А-Б
3
7
0
2
Б-В
3
5
2
3
В-А
5
5
0
4
Б-В
5
3
2
5
В-А
7
3
0
6
Б-В
7
1
2
7
В-А
9
1
0
8
Б-В
9
0
1
9
А-Б
2
7
1
10
Б-В
2
6
2
11
В-А
4
6
0
12
Б-В
4
4
2
13
В-А
6
4
0
14
Б-В
6
2
2
15
В-А
8
2
0
16
Б-В
8
0
2
17
В-А
10
0
0
Возможно получение любого количества литров: 1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2 6 литров - за 3 хода 2 литра - за 1 ход 7 литров - за 1 ход 3 литра - за 1 ход 8 литров - за 1 ход 4 литра - за 4 хода 9 литров - за 7 ходов 5 литров - за 2 хода 2. Решение возможно за 4 хода. N Действие А(12л) Б(8л) В(3л) 0 12 0 0 1
А-В
9
0
3
2
В-Б
9
3
0
3
А-В
6
3
3
4
В-Б
6
6
0
5
А-В
3
6
3
6
В-Б
3
8
1
7
Б-А
11
0
1
8
В-Б
11
1
0
9
А-В
8
1
3
10
В-Б
8
4
0
11
А-В
5
4
3
12
В-Б
5
7
0
13
А-В
2
7
3
14
В-Б
2
8
2
15
Б-А
10
0
2
16
В-Б
10
2
0
17
А-В
7
2
3
18
В-Б
7
5
0
19
А-В
4
5
3
20
В-Б
4
8
0
21
Б-А
12
0
0
1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода 7 литров - за 3 хода 2 литра - за 4 хода 8 литров - за 1 ход 3 литра - за 1 ход 9 литров - за 1 ход 4 литра - за 1 ход 10 литров - за 5 ходов 5 литров - за 2 хода 11 литров - за 7 ходов 6 литров - за 3 хода 3. Решение возможно за 4 хода. N Действие А(7л) Б(4л) В(3л) 0 7 0 0 1
А-Б
3
4
0
2
Б-В
3
1
3
3
В-А
6
1
0
4
Б-В
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||