Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 14
КГБОУ СПО «Сосновоборский автомеханический техникум» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
и контрольные задания для студентов заочной формы обучения
на базе основного общего образования ( 9 классов )
2008 СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ ЗАМ.директора по УМР Протокол №____от ____________ Л.С.Корсакова «___»________2008 «___»____________2008 Методические указания составлены в соответствии с примерной программой по математике, Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников на базе среднего (полного) общего образования. Составитель : Петрова Н.Г. СОДЕРЖАНИЕ : 1. Пояснительная записка. 2. Программа. 3. Методические указания . 4. Контрольные задания. 5. Литература 6. Экзаменационный материал ( тесты ). ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
. Настоящее методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине математика . Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математики на базе среднего (полного) общего образования. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной , формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин. В результате изучения дисциплины студент должен : иметь представления :
- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений ; знать и уметь:
-использовать математические методы при решении прикладных задач. Рабочая программа по математике рассчитана на 312 часов из них 93,6 час. на теоретические занятия и 218,4 час. на самостоятельную учебную нагрузку студенту. Программа по математике состоит из 14 разделов. Раздел 1 «Действительные числа» Раздел 2 «Тригонометрические выражения» Раздел 3 «Тригонометрические функции» Раздел 4 «Тригонометрические уравнения» Раздел 5 «Производная» Раздел 6 «Применение производной» Раздел 7 «Показательная и логарифмическая функции» Раздел 8 «Интеграл» Раздел 9 «Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства» Раздел 10 «Параллельность прямых и плоскостей» Раздел 11 «Перпендикулярность прямых и плоскостей» Раздел 12 «Декартовы координаты» Раздел 13 «Многогранники, объем многогранников» Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади поверхности тел вращения» Основной формой учебного процесса является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой Изучать дисциплину математика необходимо в логической последовательности: 1. Усвоить учебные материалы , согласно программы. 2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля. 3. Выполнить контрольную работу. 4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена. Все непонятные вопросы студент может выяснить в индивидуальной консультации у преподавателя. В соответствии с учебным планом студент должен в семестре выполнить одну контрольную работу , которая охватывает все разделы семестра , промежуточная аттестация в виде экзамена. Для проведения промежуточной аттестации по дисциплине математика составлены экзаменационные тесты , которые охватывают раздел материала за 1 семестр обучения. Экзамен по математике проводится на ПВЭМ. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Содержание каждого вопроса и условие задачи необходимо переписывать полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны быть полными , конкретными, по существу заданного вопроса. Решение задач должны быть подробно расписаны с пояснением . ответами и выводами. Доказательство теорем должно быть оформлено подробно , выделены разделы : что дано, что доказать , чертеж к теореме и доказательство самой теоремы с пояснением ( т.е. объяснение всех пунктов доказательства ). РАЗДЕЛ 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Студент должен : Знать:
· Определение действительного числа
· Способы решений линейных уравнений и неравенств
· Способы решений квадратных уравнений и неравенств
Уметь:
· Выполнять арифметические действия на множестве действительных чисел
· Решать линейные и квадратные уравнения
· Решать линейные и квадратные неравенства
· Решать системы линейных уравнений и неравенств
· Решать простейшие иррациональные уравнения
РАЗДЕЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Студент должен : Знать:
· определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь : · вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;
· применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
РАЗДЕЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Студент должен : Знать:
· определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Уметь : · вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;
· применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Студент должен : Знать:
· понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств
Уметь : · решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.
РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
Студент должен : Знать:
· понятие степени с действительным показателем и ее свойства; определение логарифма числа, свойства логарифмов; свойства и графики показательной, логарифмической и степенной функции; способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств;
Уметь : · строить графики показательных, логарифмических функций при различных основаниях и на них иллюстрировать свойства функций; преобразовывать эти графики путем сдвига и деформации; вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств
РАЗДЕЛ 6 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
Студент должен : Знать : · основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них
Уметь : · в ходе решения задач проводить доказательные рассуждения , ссылаясь на аксиомы
РАЗДЕЛ 7 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Студент должен : Знать : · взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве; основные теоремы о параллельности прямой к плоскости, параллельности двух плоскостей; свойства параллельного проектирования и их применение для изображения фигур в стереометрии;
Уметь : · устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;
РАЗДЕЛ 8 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Студент должен : Знать : · понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями; основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;
Уметь : · применять признак перпендикулярности прямой и плоскости,
· теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.
РАЗДЕЛ 9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ В ТОЧКЕ
Студент должен : Знать : · определение производной, ее геометрический и механический смысл; правила и формулы дифференцирования функции; определение дифференциала функции; определение второй производной, ее физический смысл;
Уметь : · дифференцировать функции, использую таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций вида
f
(
ax
+
b
); вычислять значения производной функции в указанной точке
РАЗДЕЛ 10 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Студент должен : Знать: · определение второй производной, ее физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремума; общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
Уметь: · находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке; применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.); находить производные второго порядка,
РАЗДЕЛ 11 ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Студент должен : Знать: · определение первообразной; определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы вычисления неопределенного интеграла; определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства; способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;
Уметь: · находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.;
РАЗДЕЛ 12 ДЕКАРТОВЫ
КООРДИНАТЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Студент должен : Знать : · понятие декартовых координат в пространстве, понятие вектора , действие над векторами;
Уметь : · выполнять действия над векторами
РАЗДЕЛ 13 МНОГОГРАННИКИ, ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ
Студент должен Знать : · понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника; определения призмы, параллелепипеда; виды призм; определения пирамиды, правильной пирамиды; понятие тела вращения и поверхности вращения; определения цилиндра, конуса, шара, сферы; свойства геометрических тел;
Уметь : · вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид, прямых круговых цилиндра и конуса, шара; строить простейшие сечения многогранников и круглых тел; вычислять площади этих сечений.
РАЗДЕЛ 14 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ , ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Студент должен : Знать : · понятие тел вращения и поверхности вращения; определения цилиндра , конуса , шара , сферы; свойства геометрических тел ;понятие объема и площади поверхности геометрического тела ; формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей геометрических тел ;
Уметь : · вычислять и изображать основные элементы прямых круговых цилиндров и конусов , шара ; строить простейшие сечения круглых тел; вычислять площади; находить объем прямого кругового цилиндра и конуса , шара
Контрольные задания
Домашней контрольной работы
(для первой экзаменационной сессии)
ВАРИАНТ 1
1.Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии. 2.Докажите , что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и притом только одну. 3.Какие прямые в пространстве называются параллельными? 4.Какие прямые называются скрещивающимися ? 5.Докажите признак параллельности прямых. 6.Свойства и графики тригонометрических функций. 7.Корень п-ой степени , его свойства. 8.Решите уравнения : · 2sin x + · sin 2x = · 3х
– 3х+3
= - 78 · 5х
* 2х =
0,1-3
· 0,3х
* 3х
= · log x
· log 0.1
( x2
+4x -20 ) = 0 9. Решите неравенство : · log 0.6
( 6x – x2
) · log 2.5
( 6 – x ) ВАРИАНТ 2
1.Докажите , что через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом только одну. 2. .Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии. 3.Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну. 4.Что значит : прямая и плоскость параллельны ? 5.Докажите признак параллельности прямых. 6.Степень с рациональным и действительным показателем. 7.Понятие синуса, косинуса , тангенса произвольного угла. 8. Решите уравнения : · 2 cos x -1 = 0 · cos · 0,1х · 52х-1
-52х-3
= 4,8 · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 7
( x2
-12x +36 ) = 0 · log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 2
( 5x – 9 ) · log 3
( x2
+6 ) ВАРИАНТ 3
1.Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 2.Какие плоскости называются параллельными ? 3.Докажите признак параллельности плоскостей. 4. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии. 5.Перечислите свойства параллельного проектирования. 6.Понятие логарифмической функции, свойства , графики. 7.Действительные числа, действия над множеством действительных чисел. 8. Решите уравнения : · 2 sin x + · sin · 0,3х
* 3х
= · 2 *( · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 2
( x2
+7x -5 ) = log 2
( 4x -1 ) 9. Решите неравенство : · log 0.6
( 6x – x2
) · log 2.5
( 6 – x ) ВАРИАНТ 4
1. Какие прямые в пространстве называются параллельными? 2. .Какие прямые называются скрещивающимися ? 3.Докажите признак параллельности прямых. 4.Докажите , что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну. 5.Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся. 6.Понятие показательной функции, свойства , график. 7.Целые и рациональные числа. 8. Решите уравнения : · sin (-2x ) = · 3sin2
x – 5sin x-2 =0 · 3х
– 3х+3
= - 78 · 5х
* 2х =
0,1-3
· log2
3x = log2
4 +log2
6 · log 12
( x2
-8x + 16 ) = 0 · log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 2
( 5x – 9 ) · log 3
( x2
+6 ) ВАРИАНТ 5
1.Докажите , что если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны. 2. Какие прямые в пространстве называются параллельными? 3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ? 4. Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 5.Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости. 6.Основные формулы тригонометрии. Формулы двойного аргумента. 7.Свойства и графики тригонометрических функций. 8. Решите уравнения : · tg ( -4x ) = · 3 sin 2
2x +10 sin 2x+3 =0 · 0,1х · 52х-1
-52х-3
= 4,8 · 0,3х
* 3х
= · log x
· log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 0.6
( 6x – x2
) · log 2.5
( 6 – x ) ВАРИАНТ 6
1. Какие прямые называются скрещивающимися ? 2. Докажите признак параллельности плоскостей. 3. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии. 4. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся. 5. Перечислите свойства параллельного проектирования. 6.Определения обратных тригонометрических функций. 7.Формулы сложения и следствия из них. 8. Решите уравнения : · cos ( -2x) = · 4 sin 2
x +11sin x -3 = 0 · 0,3х
* 3х
= · 2 *( · log2
3x = log2
4 +log2
6 · log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 2
( 5x – 9 ) · log 3
( x2
+6 ) ВАРИАНТ 7
1.Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются. 2.Точки А. В. С лежат в каждой из двух различных плоскостей . Докажите , что точки лежат на одной прямой. 3. Какие прямые называются скрещивающимися ? 4. Что значит : прямая и плоскость параллельны ? 5. Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 6.Тригонометрические функции числового аргумента. 7.Свойства тригонометрических функций числового аргумента и их графики. 8. Решите уравнения : · 6cos 2
x + cos x -1 =0 · ctg ( - · 32х
-6 * 3х
– 27 = 0 · 0,44-5х
= 0,16 * · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 12
( x2
-8x + 16 ) = 0 · log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 0.6
( 6x – x2
) · log 2.5
( 6 – x ) ВАРИАНТ 8
1. Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости. 2. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся. 3. Перечислите свойства параллельного проектирования. 4. Какие прямые называются скрещивающимися ? 5. Докажите признак параллельности плоскостей. 6.Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. 7.Формулы приведения. 8. Решите уравнения : · 2 cos 2
x – cos x -3 =0 · 2 sin x – 1 =0 · · 2 *( · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 7
( x2
-12x +36 ) = 0 · log 2
( x2
+7x -5 ) = log 2
( 4x -1 ) 9. Решите неравенство : · log 2
( 5x – 9 ) · log 3
( x2
+6 ) ВАРИАНТ 9
1. Докажите признак параллельности плоскостей. 2. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии. 3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ? 4. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются. 5.Докажите признак параллельности прямых. 6.Формулы сложения и следствия из них ( докажите одну из них ). 7.Понятие обратных тригонометрических функций. 8. Решите уравнения : · 2cos 2
3x -5 cos 3x – 3 =0 · ctg ( - · · 2 *( · 0,3х
* 3х
= · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 7
( x2
-12x +36 ) = 0 · log 0.3
( -x2
+ 5x +7 ) = log 0.3
( 10x -7 ) 9. Решите неравенство : · log 0.6
( 6x – x2
) · log 2.5
( 6 – x ) ВАРИАНТ 10
1. Докажите признак параллельности прямых. 2. Докажите признак параллельности плоскостей. 3. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются. 4. Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну. 5. Какие прямые называются скрещивающимися ? 6.Радианное измерение углов 7.Понятие синуса ,косинуса ,тангенса произвольного угла. 8. Решите уравнения : · 2 sin 2
x + 3 cos x = 0 · 3 tg 2
x + 2 tg x – 1 =0 · · 32х
-6 * 3х
– 27 = 0 · 0,44-5х
= 0,16 * · log4
5x = log4
35 - log4 7
· log 0.1
( x2
+4x -20 ) = 0 9. Решите неравенство : · log 2
( 5x – 9 ) · log 3
( x2
+6 ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Раздел 1 Действительные числа.
Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей , животных , плодов ,различных изделий человека и других предметов. Эти числа называются теперь натуральными , а в арифметике их называют целыми числами. В результате выполнения арифметических действий появились дробные числа , затем иррациональные числа , отрицательные числа и комплексные числа , позднее к ним присоединился нуль. Все эти числа вместе образуют множество действительных чисел. Над множеством действительных чисел производятся следующие операции (действия ): сложение , вычитание ,умножение , деление , возведение в степень ,вычисление значений корня. Выполняя действия мы не забываем , что действия первой ступени ( деление ,умножение, возведение в степень, вычисление корня ) выполняются первыми , а затем действия второй ступени ( сложение и вычитание ). Обыкновенной дробью называется часть единицы или несколько равных частей единицы. Число , показывающее , на сколько долей разделена единица , называется знаменателем дроби ; число, показывающее количество взятых долей ,- числитель дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной : Вычисления с обыкновенными дробями иногда становятся громоздкими, если их знаменатели достаточно велики. Поэтому в древности пришли к мысли выбирать не произвольно , а систематически доли единицы. Так пришли к понятию десятичной дроби, над множеством которой производятся все основные операции. Раздел 2 Тригонометрические выражения.
Угол в 1 радиан
– это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180 0
= Если в прямоугольном треугольнике , один из острых углов обозначить через Из определений синуса ,косинуса, тангенса, котангенса следуют основные формулы тригонометрии : Sin 2
x + Cos2
x = 1 tg x * ctg x =1 tg 2
x +1 = tg x = Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения :
Cos (a –b) =cos a*cos b + sin a *sin b Cos (a+ b) =cos a * cos b – sin a * sin b Sin ( a+ b ) = sin a * cos b +cos a * sin b Sin ( a –b ) = sin a * cos b – cos a * sin b
tg ( a + b ) =
tg ( a – b) = Из формул сложения путем вывода получаем формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.
Для запоминания формул приведения удобно пользоваться мнемоническим правилом : · перед приведенной функцией ставится тот знак , который имеет исходная функция, если 0 · если функция меняется на «кофункцию» ,если п нечетно ; функция не меняется, если п четно.( Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса называются соответственно косинус , синус, котангенс , тангенс.) Ответьте на контрольные вопросы:
1.Запишите формулы приведения ,
формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента. 2.Запишите знаки тригонометрических функций по четвертям. 3.Выразите в радианную меру величины углов : · 450
; 36 0
; 1800
; 1500
; 3100
; 360 0
; 720
; 270 0
РАЗДЕЛ 3 .ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Мы считаем , что все углы измерены в радианной мере , и поэтому обозначение рад.
, как правило , опускается. Договорившись считать единицу измерения углов ( 1 радиан ) фиксированной , определяем , тригонометрические функции тригонометрического аргумента. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
:
Числовые функции , заданные формулами у = sin x и у = cos x называются соответственно синусом
и косинусом
( и обозначаются sin . cos ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ
:
Числовые функции, заданные формулами у = tg x и у = ctg x , называются соответственно тангенсом
и котангенсом
( и обозначаются tg x и ctg x) На основании теоремы (о корне) и свойств монотонности тригонометрических функций определены понятия обратных тригонометрических функций. ОПРЕДЕЛЕНИЕ :
Арксинусом числа а
называется такое число из отрезка ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: Арккосинусом числа а
называется такое число из отрезка ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: Арктангенсом числа а
называется такое число из промежутка ОПРЕДЕЛЕНИЕ
:Арккотангенсом числа а
называется такое число их отрезка ПРИМЕР
: вычислите значения обратных тригонометрических функций · arcsin 1 = · arcos · arcos(-0.5)+arcsin ( -0.5) = · 2arcsin( - · arcsin(-1)- Выполните упражнение самостоятельно : 1.Вычислите : · arctg(- · 3arcsin · arctg(- · arccos
РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение простейших тригонометрических уравнений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ :
Уравнения вида cos x =a sin x =a tg x = a ctg x = a называются простейшими тригонометрическими , при условии а Для решения тригонометрических уравнений существуют формулы корней. № Вид уравнения Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 1 sin x = a X=(-1)n
arcsin a + 2 cos x = a X = -+
arсcos a +2 3 tg x = a
X = arctg a + 4 ctg x = a
X = arcctg a + 1.Решить тригонометрические уравнения : ( образец ) а) cos x = - x = -+
arcos (- x = -+ b)
cos 2.Решите уравнения : ( самостоятельно ) · cos x= · 2 cos x + = 0 · · Sin 2x = · 2 cos ( · 2sin2
x+ sin x -1 = 0 · 2 cos 2
x + sin x + 1 =0 При решении тригонометрических уравнений нужно знать определение обратных тригонометрических функций , знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений ,уметь пользоваться таблицей элементарных значений тригонометрических функций. РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
функция , заданная формулой У= ах
( где а > 0, а≠1) ,называется показательной функцией с основанием а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
:Логарифмом числа в
по основанию а
называется показатель , в которую нужно возвести основание а ,
чтобы получить число в.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
:Функция ,заданную формулой У = Logx
a , называется логарифмической функцией с основанием а
. Сформулируем основные свойства показательной функции ( их доказательство выходит за рамки общеобразовательной подготовки ) 1.Область определения показательной функции есть множество всех действительных чисел. 2.Область значения показательной функции есть множество всех положительных действительных чисел. 3.При любых действительных значениях Х и У справедливы равенства : · ах
ау
= ах+у
· · (ав )х
=ах
вх
· ( · (ах
)у
= аху
Решение простейших показательных , логарифмических уравнений и неравенств.
При решении простейших показательных уравнений используется определение показательной функции и ее основные свойства. Решим уравнение :
1. 7х-2
= Приведем основание показательной функции правой части уравнения к числу 7, в результате преобразований получаем 7 2. 5х Перепишем его в виде 5х При решении простейших логарифмических уравнений используются определения логарифма числа , понятие логарифмической функции , ее области определения и основные свойства логарифмической функции . Решим уравнение
: 1. Log 2
(x2
+4x+3 ) =3 По определению логарифма числа имеем х2
+4х+3 = 23
, получаем , что х2
+4х+3 = 8 , или х2
+4х +3 -8 = 0 , приводим подобные , получаем квадратное уравнение , решаем его и получаем два два действительных корня х =1 , х = -5 , следовательно корни логарифмического уравнения числа 1 и -5 . 2. Log (2x+3)=Log(x+1) По свойству логарифмической функции имеем , что 2х+3=х+1 , решаем линейное уравнение и получаем , что х = -2 , которое не обращает данное уравнение в верное равенство. При решении показательных неравенств используется понятие показательной функции . свойство монотонности показательной функции, свойства линейных неравенств и алгоритм их решения. Решим неравенство
: 1. 0,57-3х
0,5 7-3х 2. Решим неравенство :
6 При решении логарифмических неравенств всегда используются свойство монотонности функции , свойства линейных неравенств и алгоритм их решения. 3. Решим неравенство :
1.log РАЗДЕЛ 6 . Аксиомы и их простейшие следствия.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
– это раздел геометрии , в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии , так же как и в планиметрии , свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем, При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в стереометрии являются точка , прямая и плоскость. Группа аксиом состоит из трех аксиом. С1
Какова бы ни была плоскость , существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки , не принадлежащие ей. С2
Если две различные плоскости имеют общую точку , то они пересекаются по прямой , проходящей через эту точку. С3
Если две различные прямые имеют общую точку , то через них можно провести плоскость , и притом только одну. Существует группа теорем , которые являются следствиями из аксиом стереометрии. ТЕОРЕМА15.3 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и при том только одну. ТЕОРЕМА 15.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости , то вся прямая принадлежит этой плоскости . ТЕОРЕМА 15.3 Через три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну . При изучении данного раздела вы должны знать аксиомы стереометрии и уметь доказывать теоремы ( следствия из аксиом стереометрии). РАЗДЕЛ 7 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
В пространстве существует несколько видов расположения прямых : пересекающие , параллельные , скрещивающиеся. ОПРЕДЕЛЕНИЕ :
две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: прямые , которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости , называются скрещивающимися. Теорема 16.1 доказывает свойства параллельности прямых : Через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом одну. Так же существует признак параллельности прямых . ТЕОРЕМА 16.2
Две прямые , параллельные третьей прямой , параллельны. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются. А теорема 16.3 является признаком параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости , параллельна какой–нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются. ТЕОРЕМА 16.4
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. На ряду с этим вы должны уметь доказывать теоремы о существовании плоскости , параллельной данной плоскости. ТЕОРЕМА 16.5
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну. Нужно так же отметить о существовании свойств параллельных плоскостей это следующие утверждения : Если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых , заключенные между двумя параллельными плоскостями ,равны. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками. ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994. 2. Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1987. 3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990. 4. Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 – 11) – М., Просвещение, 1995 5. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987. 6. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988. 7. Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М., Наука, 1989. 8. Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997. 9. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999. Дополнительная
1. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. , Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1991 2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1997. 1 Упростите выражение 4 sin2
α + 5 – 4cos2
α 1) 1 2) 9 3) 5 + 4cos2α *4) 5 - 4cos2α 2 Решите неравенство: 1) [3:+ 2) (- *3) [1 : + 4) R 3 Найдите корень уравнения *1) 5 2) 1/3 3) ø 4) -2 4 Решите уравнение tg x = 1 1) *2) 3) ø 4) R 5 Упростите выражение (2а 0,3
) 3
+ 3а 0,9
*1) 11а 0,9
2) 5а 2,7
3) 5а 0,9
4) 11а 2,7
6 Найдите область определения функции у=log2
х2
*1) (- 2) (0: 1) 3) (- 4 ) (1: + 7 Найдите значение выражения log2
36 – log2
144 1) -4 2) 4 *3) -2 4) 2 8 Найдите значение выражения log1/2
2 + log1/2
16 *1) -5 2) 5 3) 0 4) 9 Найдите корень уравнения log2
(х-1)=4 *1) 17 2) - 3) -17 4) ø 10 Найдите значение выражения *1) 2) 3) 7 4) -7 11 Найдите корень уравнения 2sinх – 1 =0 *1) 2) 3) 4) 12 Найдите корень уравнения lg(3x-2) = lg4 1) - ½ *2) 2 3) ø 4) R 13 Решите неравенство 1) R *2) (- 3) ( ½ : + 4) (0 : ½) 14 Формула sin2α 1) sin α ∙ cos α 2) 2sin α *3) 2sin α ∙ cos α 4) cos2
α 15 Стереометрия –это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются на 1) плоскости 2) прямой *3) пространстве 4) треугольнике 16 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести …, и притом только одну *1) плоскость 2) прямую 3) треугольник 4) окружность 17 Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются *1) скрещивающиеся 2) параллельными 3) перпендикулярными 4) пересекающимися 18 Две прямые, параллельные третьей прямой, … 1) равны *2) параллельны 3) перпендикулярны 4) не пересекаются 19 Упростите выражение 1 – sin2
t *1) cos2
t 2) sin2t 3) cos2t 4) tg2
t 20 Вычислите 1) 7 *2) 10 3) -10 4) 1/10 21Вычислите log2
24
1) ¼ 2) -2 3) 2 *4) 4 22 Найдите значение числового выражения 1) -32 *2) 32 4) 4 4) -4 23 Какая из перечисленных функций показательная *1) 2х
2) х4
3) sin x 4) log2
x 24 Какая функция четная 1) sin x *2) cos x 3) a x
4) loga
x 25 Упростите выражение 6-6sin 2
1) 6 2) 12cos2
*3) 6+6cos2
4) 0 26 Решите неравенство: 1)[3:+ *2)(- 3)[9:+ 4)R 27 Найдите корень уравнения: *1) 2,5 2) -2,5 3) ø 4) 2 28 Решите уравнение:ctg x=1 *1) 2) 3) ø 4) - 29 Найдите значения выражения : в 2,5
: в -0,5
при в= 1) 2) 3) 36 *4) 6 30 Найдите область определения функции у=log 1) R *2) 3) (-2;3) 4) 31 Найдите значения выражения 5sin2
1) 4 2) 3 3) 2,8 *4) 0,2 32 Найдите значения выражения : log *1) – 4 2) 4 3) 1/4 4) -1/4 33 Найдите корень уравнения log *1) 18 2) –18 3) 4) ø 34 Найдите значение выражения 9 *1) 2) 3) 9 5) –9 35 Найдите корень уравнения 2cos х-1=0 *1) 2) 2 3) ø 5) (-1)n
36 Найдите корень уравнения lg(3х-2)=1 *1) 4 2) - 3) -4 4) ø 37 Решите неравенство 1) 2) *3) 4) R 38 Формула cos *1) 2) 3) трапецию *4) плоскость 40 Две прямые в пространстве называются ..., если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 1) перпендикулярными *2) параллельными 3) пересекающимися 4) скрещивающимися 41 Через точку вне данной прямой можно провести …, параллельную этой прямой, и притом только одну 1) плоскость 2) угол *3) прямую 4) многоугольник 42 Две прямые называются перпендикулярными если, они пересекаются под углом 1) 180 2) 45 *3) 90 4) 270 43 Упростите выражение 1) *2) 2 3) 4) -1 44 Вычислите *1) 8 2) 3) 5 4) 3 45 Вычислите 1) -8 2) 8 3) 2 *4) -2 46 Найдите значения числового выражения 1) -7 *2) 7 3) 4) - 47 Какая из перечисленных функций степенная 1) 2) 3) sin2х *4) 48 Какая функция нечетная *1) tgх
2) х2
3) х2
+2 4) 2х2
+4 ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
|