Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 14
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Нижний Новгород 2003 ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с. Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования. 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x
(nT
) в другую последова-тельность чисел y
(nT
), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т
это уравнение имеет следующий вид: где х(
n
Т), у(
n
Т)
– входной и выходной дискретные сигналы в момент n
Т
, Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f(
t),
которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям: 1) f
(
t
)=
0 , при t<0; 2) при t≥0 f
(
t
)
на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода; 3) при t→∞ f
(
t
) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α
и М
= М(
f
, α)
такие, что │f
(
t
)
│≤ Прямое преобразование Лапласа : где p
=δ+
jw
комплексная величина. Переменную Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F
(
p
)
. Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа: представляет собой периодическую функцию частоты с периодом Дискретное преобразование Фурье: где k=0,1,2…N-1 –число выборок, Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2. В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT
) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются. В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z
-преобразование, получаемое заменой Рис. 3 Z – преобразование записывают так: Здесь f
(
k
)
– отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т
,2Т
,…, при замене z
= Рис.4 Если Z
– преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим: где Н(
z
)
– системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н(
z
)
– есть Z
преобразование импульсной характеристики ЦФ. Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс: Z
(
f
(
nT
))=
1, поэтому при Х(
z
)=
1, H(
z
)=
Y
(
z
).
Системная функция H
(
z
)
характеризуется положением нулей и полюсов. У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P
= В соответствии с разностным уравнением (1): Это выражение совпадает с H
(
z
),
если в нем заменить z
-1
на Рис.5 Рис. 6 Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1
- элементы задержки на один такт Т
, элемент Рис.7 Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b
1
=
b
2
=…=
bN
=0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый. При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы: 1) синтез по аналоговому прототипу; 2) синтез по цифровому прототипу; 3) расчет численными методами на ЭВМ. При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р
) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H
(
z
)
ЦФ. Используют следующие методы: 1) метод отображения дифференциалов; 2) инвариантное преобразование импульсной характеристики; 3) согласованное Z-преобразование; 4) метод билинейного преобразования. В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности: В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так: Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости. где bi
- комплексная величина. Импульсную характеристику h
(
nT
) ЦФ получают дискретизацией h
(
t
):
Находят системную функцию: Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т
для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ. При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р)
аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H
(
z
)
по правилу: b
→
exp
(-
bT
), (p
+
b
) →
(1-
Z
-
1
(exp
(-
bT
))),
(p+a-jb
)(p+a+jb
)=
(p+a
) 2
+b
2
→
1-
2Z-
1
e- aT
cosbT+
2Z-
2
e-
2 aT .
Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения. В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р)
аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой Подставляя вместо р
выражение через z
,
получим системную функцию H
(
z
), однако H
(
z
)
не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования: Этот переход от плоскости Р
к плоскости Z
отображает ось jω
в единичную окружность │z
│=1, точки, расположенные левее оси р=
jω
оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p
). Если Рис.8 Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1. Цифровой фильтр Выражение для замены Примечание 1. Нижних Т
− период дискретизации 2. Верхних 3. Полосо- 4. Режекторный с частотами среза ω
1
и ω
2
(ω
2
> ω
1
) Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a
,
b
в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки: где H
действ
(ejωT
), H
задан
(ejωT
) – частотные характеристики действительная и заданная. При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания. Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h
(n
) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ: Если импульсная характеристика h
(n
) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды: Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом: где Н
о
(jω
) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω
1
) и (ω
2
÷ω
3
), Нк
(jω
) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω
1
÷ω
2
) в переходной полосе, Рис.9 Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3. Таблица 2 Окно Выражение Ханна Хемминга Блэкмана Кайзера I
o
– модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N
– нечетно, импульсная характеристика четная: h
nc
(-n
)=h
nc
(n
), n
=0,1…(N
-1)/2. фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h
(n
)≠0 при n
<0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так: где а
(0)=hnc
(0), a
(n
)=2hnc
(n), n
=1,…,(N
-1)/2. Таблица 3 Окно Ширина главного лепестка Максимальный уровень боковых лепестков, дб. Уровень пульсаций в полосе пропускания, дб. Ханна
-45 0,26 Хемминга
-42,7 0,09 Блэкмана
-75 1,11 Кайзера
-30…-100 0,1…1 в зависимости от α Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N
-1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид: Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4. На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B
(ω)
необходимо подобрать коэффициенты Со
,…, Ск
частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
так,чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)≈
B
(ω
). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω
1
÷ ω
2
: Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий): Рис.10 Таблица 4 Тип симметрии Частотная характеристика Фильтр вида 1 N
- нечетно, симметричная импульсная характеристика h
(
n
)=h
(
N
-1-n
)
Фильтр вида 2 N
- четное, симметричная импульсная характеристика Фильтр вида 3 N
– нечетное, антисимметрич-ная импульсная характеристика h(n)=
-
h(N
-1-n)
Фильтр вида 4 N
– четное, антисимметрич-ная импульсная характеристика Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со
,…, Ск
. Для функций Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
двух видов: коэффициент где Пользуясь формулой (3), получим: Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так: Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11. Рис. 11 Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g
(
l
), тогда вместо коэффициентов Найдем коэффициенты где Ω
– нормированная частота. Выберем В(ω
)=-1 в диапазоне Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра : Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное. 3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Рис. 12 Ее передаточная функция 2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы. 3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза Расчет выполняйте следующим образом. 1) определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым 2) из условия затухания А
дб на частоте 3) из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или используйте табл.5; 4) сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием: 5) по системной функции H
(z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ. 4. Постройте структурную схему ЦФ преобразователя Гильберта, Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя. 5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы Таблица 5 n K(p)
1
2
3
5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ 6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера 2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки 3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под 4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир. 5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и
|