Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 14
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
» (для студентов специальностей 7.080403 «Программное обеспечение автоматизированных систем» и 7.050102 «Экономическая кибернетика») 22 марта 2000 г. -ДонГТУ- Донецк - 2000 Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А – Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30 Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов . Составители А.Е. Скворцов , доц . А.А. Губарев , асс. Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф. Рецензент Задача 1.
Какому условию должны удовлетворять векторы Решение.
Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь: Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим По определению Ответ
: Задача 2.
Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами Решение.
Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами Ответ
: искомый вектор имеет вид Задача 3.
Векторы Решение.
Будем использовать известные условия Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно Итак , имеем : Из полученных соотношений делаем выводы : 1) векторы 2) векторы коллинеарны , если 2
t
+1=0 ,т.е. t
=-1/2 Замечание.
На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов Ответ :
Задача 4.
Найти вектор Решение .
Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению где Итак , Далее , используя второе условие , находим Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора Замечание.
Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как Ответ:
Задача 5.
Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S . Решение .
Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно : Вектор Но векторы вида AD : 7x
– y
+ 5 =0 . Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки Берем ВС : 2x
–
11y
+ 30 = 0 . Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений Решив ее , например , методом Крамера , получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна AD = d(A,D) = Замечание.
Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки . 2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула : Имеем в нашей задаче : АН= Уравнение высоты ищем в общем виде : АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 . Замечание.
Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : 3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл Итак , Замечание.
Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин . Задача 6.
Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые пересекаются под прямым углом ; 2) для точки Решение .
1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : В этих уравнениях : Условие Отсюда 2)Известно , что в общем уравнении плоскости Отличное от нуля расстояние Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что Вычислим эти расстояния : Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным : Решениями первого уравнения являются числа Задача 7.
Составить уравнение плоскости α
, если известно , что 1) : Решение .
Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M
(
x
,
y
,
z
)
. Далее находим три вектора Если же известны некоторый вектор 1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α
: 23x – 16y + 10z – 153 = 0 . 2)Так как Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β
, получим Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку После упрощения получим Задача 8.
Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону . Решение .
Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α
, перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор или после упрощения α :
Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α
и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор Найдем точку пересечения р и α
: откуда t
=1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 . Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений В нашей задач имеем После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника Замечание.
Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α
, проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β
, проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β
можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β
, то векторы Записав условие компланарности этих векторов Задача 9.
Найти канонические уравнения проекции q прямой Решение .
Найдем уравнение проектирующей плоскости β
, т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р
, и перпендикулярной плоскости α
.Направляющий вектор прямой После упрощения получаем β
: Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α
и β
, будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α
как прямой , проходящей через Задача 10.
Поворотом системы координат исключить из уравнения Решение .
Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид При повороте системы координат на угол α
старые координаты точки (x
,
y
) связаны с новыми После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат : Здесь : Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α
необходимо выбрать таким , чтобы Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α
должен удовлетворять уравнению В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит Итак , повернув систему координат на Замечание.
Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) . Ответ:
в новой системе координат линия имеет уравнение Задача 11.
Уравнение линии Решение .
Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат : Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии : Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий Гипербола (3) получается из канонической гиперболы Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы Ответ:
нормальное уравнение Задача 12.
Провести касательную q к линии : 1) Решение .
Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными . Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания . 1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие Решая его , находим : 2)Уравнение прямой имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения Откуда 3)Линия Из него находим : Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М : Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор Итак , искомая касательная имеет вид 4)Уравнение касательной будем искать в форме имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой : Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для Задача 13.
Установить , какая линия определяется уравнением Решение .
Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат : В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме : Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение Ответ:
уравнение 1. Какому условию должны удовлетворять векторы 2. Найти вектор 3.1 - 18. Выполнить указанные действия над векторами, заданными в различных формах. 3.19 – 25. Найти проекцию вектора 4. Треугольник ACD задан координатами своих вершин. В каждой задаче, кроме указанного в условии, вычислить площадь треугольника, не находя длины его сторон. Принятые обозначения: точки B, H и M – точки пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника соответственно; BA – биссектриса угла при вершине A; HC – высота, опущенная из вершины C на противоположную сторону; MD – медиана проведенная из вершины D. Сделать чертеж. 4.1 A(3;-5), C(-1;-2), D(-3;3). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) уравнение MC;3) угол между BA и HC. 4.2 A(2;8), C(6;4), D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) уравнение HA;3) угол между BA и MA. 4.3 A(0;5), C(-3;4), D(5;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) точку H; 3)угол между MA и HA. 4.4 A(-8;2), C(2;2), D(10;8). Найти: 1) уравнение и длину BC; 2) точку H; 3)угол между HD и MC. 4.5 A(-2;-3), C(6;-6), D(2;3). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) точку M; 3) угол между MD и MA. 4.6 A(4;-4), C(0;1), D(-2;4). Найти: 1) уравнение и длину HD; 2) уравнение BA;3) угол между HD и BA. 4.7 A(-3;-8), C(9;0) D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) точку M; 3)угол между BD и MD. 4.8 A(0;10), C(4;6) D(-6;4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) углы треугольника. 4.9 A(1;7), C(-2;-2) D(6;2). Найти: 1) уравнение AK║CD; 2) точку H; 3) угол между HC и MA. 4.10 A(8;6), C(2;0) D(6;8). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) уравнение KL, где K и L – середины сторон CD и CA; 3) угол ACM. 4.11 A(8;14), C(16;-2) D(2;-4). Найти: 1) уравнение и длину MD; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MD. 4.12 A(4;2), C(6;-12) D(18;0). Найти: 1) уравнение и длину MA; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол CBA. 4.13 A(-7;-3), C(1;9) D(9;3). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) точку M; 3)угол между HC и MA. 4.14 A(-5;-1), C(5;-1) D(13;5). Найти: 1) уравнение и длину MС; 2) точку H; 3) угол между BC и HD. 4.15 A(1;-2), C(-2;0) D(5;6). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) уравнение HA. 4.16 A(2;14), C(-4;-4) D(12;4). Найти: 1) уравнение и длину PQ, где P и Q – середины сторон AC и AD; 2) точку H; 3) угол между MA и HA. 4.17 A(-6;-13), C(12;-7) D(4;17). Найти: 1)уравнение и длину HC; 2)точку B; 3) угол между MC и HC. 4.18 A(2;-8), C(2;2) D(8;10). Найти: 1) уравнение и длину HC; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол DMC. 4.19 A(0;-1), C(4;5) D(8;-4). Найти: 1) уравнение DK║AC; 2) точку M; 3)угол между HD и MD. 4.20 A(0;4), C(2;-10) D(14;2). Найти: 1) уравнение CD; 2) центр вписанной окружности и ее радиус; 3) угол между HC и MA. 4.21 A(4;5), C(-3;-1) D(0;-3). Найти: 1) уравнение и длину BD; 2) уравнение AK║CD; 3) углы треугольника. 4.22 A(3;0), C(-3;2), D(3;8). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) центр описанной окружности и ее радиус; 3) угол между HA и MC. 4.23 A(-2;1), C(6;-5) D(-2;11). Найти: 1) уравнение и длину BA; 2) точку H; 3) угол MAC. 4.24 A(2;4), C(-12;6) D(0;18). Найти: 1) уравнение и длину HA; 2) точку B; 3) расстояние от B до стороны AD. 4.25 A(2;-6), C(-2;-3) D(-4;2). Найти: 1) уравнение и длину MC; 2)уравнение HD;3)угол между HD и MC. 5.Установить, какую линию определяет уравнение, определить фокусы, вершины, оси линии, нарисовать ее. 5.1. 4x2
– y2
–8x – 4y – 4 = 0. 5.2. x2
+ y2
–2x – 4y + 1 = 0. 5.3. 4y2
– 8x – 4y + 9 = 0. 5.4. x2
– 4y2
+ 8y + 4 = 0. 5.5. x2
+ 2x + 4y – 7 = 0. 5.6. 4x2
+ 4y2
– 8x – 24y + 31 = 0. 5.7. x2
+ 4y2
+ 4x – 8y + 4 = 0. 5.8. x2
– y2
– 6x – 4y + 1 = 0. 5.9. y2
+ 8x – 6y + 25 = 0. 5.10. x2
+ y2
+ 8x + 2y + 1 = 0. 5.11. 4x2
+ y2
– 8x + 4y + 4 = 0. 5.12. 4x2
– y2
– 8x – 6y – 9 = 0. 5.13. y2
- 16x + 6y + 25 = 0. 5.14. 2x2
+ 2y2
+ 16x – 28y + 53 = 0. 5.15. x2
+ 9y2
–2x +18y + 1 = 0. 5.16. x2
– 4y2
– 8x +8y + 16 = 0. 5.17. x2
– 4x – 4y + 12 = 0. 5.18. x2
+ y2
– 8x + 2y + 16 = 0. 5.19. 9x2
+ 4y2
– 18x + 24y + 9 = 0. 5.20. x2
– 9y2
– 8x + 18y – 2 = 0. 5.21. 3x2
+ 3y2
– 42x + 6y + 146 = 0. 5.22. y2
+ 10x – 10y + 55 = 0. 5.23. 9x2
– 16y2
– 36x + 32y + 164 = 0. 5.24. y2
– 20x – 14y + 37 = 0. 5.25. 9x2
+ 16y2
– 18x + 96y + 9 = 0. 6.Установить , какая линия определяется уравнением , нарисовать ее. 6.1. 6.3. 6.5. 6.7. 6.9. 6.11. 6.13. 6.15. 6.17. 6.19. 6.21. 6.23. 6.25. 7.1-8.Провести касательные к линии l
, параллельные прямой p.
7.1. l
: 7.2. l
: 7.3. l
: 7.4. l
: 7.5. l
: 7.6. l
: 7.7. l
: 7.8. l
: 7.9-16.Провести касательные к линии l
, перпендикулярные прямой p. 7.9. l
: 7.10. l
: 7.11. l
: 7.12. l
: 7.13. l
: 7.14. l
: 7.15. l
: 7.16. l
: 7.17-21.Через точку М провести касательную к линии l
. 7.17. M(-9;3), l
: 7.18. M( 2;2), l
: 7.19. M(0;-6), l
: 7.20. M(0;11), l
: 7.21. M( 7;0), l
: 7.22-25.Вывести условие, при котором прямая y=kx+b касается линии l
. 7.22. l
: 7.23. l
: 7.24. l
: 7.25. l
: 8. Определить параметры, входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 9. Составить уравнение плоскости 9.1 А 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 10.Составить канонические, параметрические или общие уравнения прямой р,проходящей через точку N, используя данные о расположении p относительно других объектов. 10.1 N (-1,2,-3) , p|| q: 10.2 N (2,2,5) , p 10.3 N (1,0,5) , p|| q: 10.4 N (2,-3,1) , p 10.5 N (3,1,0) , p||
10.6 N (4,-3,1) , p||
10.7 N (5,7,-5) , p 10.8 N (3,2,-2) , p пересекается с прямыми q: 10.9 N (4,1,-3) , p 10.10 N (5,7,3) , p пересекается с прямой q: 10.11 N (7,1,1) , p 10.12 N (-2,3,1) , p 10.13 N (4,2,1) , p 10.14 N (2,3,2) , p 10.15 N (-3,-,5) , p|| 10.16 N (1,7,9) , p 10.17 N (2,-3,-5) , p 10.18 N (7,-3,1) , p 10.19 N (-1,2,1) , p 10.20 N (6,3,7) , p 10.21 N (4,2,2) , p 10.22 N (1,1,3) , p|| 10.23 N (5,0,1) , p|| 10.24 N=q 10.25 N=q 11. Найти угол между прямой р из задачи 10 и плоскостью 12.1-4. Найти проекцию точки М на прямую р или плоскость 12.5-7.Найти расстояние от точки M до прямой p. 12.8-11.Найти точку N , симметричную точке М относительно плоскости 12.12-15.Не находя точку пересечения , доказать , что прямые p и q пересекаются. 12.16-18.Составить уравнение плоскости 12.19-22.Найти расстояние между прямыми p и q . 12.23-25.Составить каноническое уравнение проекции прямой р на плоскость Список
рекомендованной литературы
1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . –М.: Наука . –223с. 2.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика : Підручник . –К.: Либідь, 1996. –440с. 3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - СПб.: Спец. лит.,1998. –200с. 4.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. –М.: Наука , 1970. –336с. 5.Сборник задач по математике для ВТУЗов . Линейная алгебра и основы математического анализа . / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.:Наука,1986. -462 с. 6.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике . –М.: Высш.шк., 1983. –175с. 7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии . –М. : Наука , 1975. –272с. Содержание
Часть 2. Расчетные задания………………………………………………17 Список рекомендованной литературы…………………………………..30 Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 «Программное обеспечение автоматизированных систем» и 7.050102 «Экономическая кибернетика») Составители : Скворцов Анатолий Ефремович Губарев Андрей Анатольевич
|