Задание 3 Получение математической модели объекта управления в виде передаточных функций 4 Выбор пи-алгоритма управления 9 > Расчет параметров сау на ЭВМ частотным методом 9 11 Содержание Введение.................................................................................................. 2 1. Задание................................................................................................ 3 2. Получение математической модели объекта управления в виде передаточных функций.................................................................................................. 4 3. Выбор ПИ-алгоритма управления.................................................. 8 3.1. Расчет параметров САУ на ЭВМ частотным методом............................................................................. 8 Таблица 3.1.1.......................................................................................................................................................... 10 3.2. Расчёт параметров ПИ-регулятора графоаналитическим методом.................................................... 10 4. Непосредственное цифровое управление...................................... 13 4.1. Структурная схема САУ с НЦУ.................................................................................................................... 16 4.2. Параметры цифрового регулятора............................................................................................................. 17 Список использованной литературы............................................. 20 Введение Промышленные объекты управления, как правило, представляют собой сложные агрегаты со многими входными и выходными величинами, характеризующими технологический процесс. Зависимости выходных величин от входных, как правило, нелинейные, и изменение одной из них приводит к изменению других. Таким образом, создаётся сложная система взаимозависимостей, которую трудно, а подчас и невозможно строго математически описать. Задачу можно существенно упростить, если считать зависимости выходных величин от входных линейными или линеаризуемыми в окрестностях малых отклонений от статических, рабочих режимов объекта. Поскольку при устойчивой работе автоматической системы регулирования (АСР) отклонения параметров в системе малы, такая линеаризация почти всегда оказывается допустимой. Кроме того, сложные объекты часто можно разбить на отдельные «регулируемые участки» («каналы»), взаимным влиянием отдельных каналов друг на друга можно пренебречь и рассматривать их как самостоятельные. 1. Задание Выполнить синтез каскадной системы управления (рис. 1.1) техническим объектом, заданным экспериментальной характеристикой по управляющему каналу «вход-выход» (рис. 1.2), приведенной в таблице по вариантам. (табл. 1.1) Рис. 1.1. Каскадная система управления. Таблица 1.1. Заданные экспериментальные переходные характеристики t, c Канал f-y Канал u-y 0 0 0 1 0,01 0,02 2 0,016 0,04 3 0,024 0,06 4 0,03 0,11 5 0,06 0,16 6 0,09 0,21 7 0,12 0,27 8 0,16 0,32 9 0,19 0,35 10 0,22 0,41 11 0,24 0,44 12 0,26 0,46 13 0,265 0,48 14 0,27 0,5 16 0,28 0,52 18 0,28 0,54 20 0,28 0,55 Рис. 1.2. Заданная экспериментальная характеристика. 2. Получение математической модели объекта управления в виде передаточных функций На определенном этапе разработки и исследования автоматической системы управления получают ее математическое описание – описание процессов, проистекающих в системе, на языке математики. Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков и структурных схем) и табличным (с помощью таблиц). Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности, для получения уравнений системы составляют уравнения для каждого входящего в нее элемента. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнения системы. Объекты с самовыравниванием аппроксимируют дробно-рациональными передаточными функциями с введением звена запаздывания: , (2.1) где Коб – коэффициент передачи; t - время запаздывания; Тi – постоянная времени. Первый метод определения передаточной функции: Простейшим частным случаем оператора (2.1), имеющим в инженерной практике наибольшее применение, является передаточная функция вида: . (2.2) Определим параметры передаточной функции, проводим касательную к кривой. Пересечение касательной с осью времени дает время запаздывания: tо = 3,2 с. Пересечение касательной с пределом установившегося значения дает: tо +То = 11,7 => То = 8,5 с. Установившееся значение есть коэффициент передачи: Коб = hуст = 0,28; следовательно, получаем передаточную функцию: (2.2.1) расчет на ПК, результат в таблице (табл. 2.1) и графике (рис. 2.1): Таблица 2.1. t 0 3 4 5 7 8 9 10 12 14 16 18 20 h(t) 0 0,0045 0,027 0,05 0,1 0,12 0,14 0,15 0,18 0,2 0,22 0,23 0,24 Второй метод определения передаточной функции: Параметры передаточной функции могут быть найдены следующим образом. Обозначив , получим: (2.3) Из (2.3) определяются параметры аппроксимирующей характеристики: Тa = (1 - b)×То ; (2.4) . (2.5) В нашем случае: ; тогда: Тa = (1 – 0,21)×8,5 = 6,72 с; . После подстановки параметров передаточная функция примет вид: ; (2.2.2) расчет на ПК, результат в таблице (табл. 2.2) и графике (рис. 2.1): Таблица 2.2. t 0 4 6 8 10 12 13 14 15 17 18 19 20 h(t) 0 0,025 0,089 0,14 0,17 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,25 0,26 Третий метод определения передаточной функции: Более точную аппроксимацию переходной функции ОУ даёт передаточная функция вида: . (2.6) Для определения параметров передаточной функции используем специальную номограмму. По номограмме, исходя из известного значения , находим, что ; тогда (2.6.1) расчет на ПК, результат в таблице (табл. 2.3) и графике (рис. 2.1): Таблица 2.3. t 0 4 6 8 9 10 12 13 14 16 18 19 20 h(t) 0 0,024 0,081 0,13 0,15 0,16 0,19 0,20 0,22 0,23 0,24 0,25 0,25 Четвертый метод определения передаточной функции: Более точную аппроксимацию переходной функции объекта управления (ОУ) даёт передаточная функция вида: (2.7) где (2.7.1) расчет на ПК, результат в таблице (табл. 2.4) и графике (рис. 2.1): Таблица 2.4. t 0 4 6 8 10 11 13 15 16 17 18 19 20 h(t) 0 0,03 0,09 0,15 0,19 0,212 0,25 0,26 0,26 0,27 0,27 0,27 0,271 Рис. 2.1. График переходной характеристики и аппроксимирующие кривые. Рассчитываем площадь под заданной кривой по рис. 1П (Приложения): (клеток равных 1 см2 ); теперь разницу между заданной кривой и кривыми полученными методами: найдем отношение : Отсюда видно, что наименьшую погрешность аппроксимации даёт функция . Следовательно, наилучшим образом аппроксимирует экспериментальную характеристику. Следовательно, модель инерционной части ОУ Wин (р) получим в виде передаточной функции, при условии Тин1 =Тин2 : . (2.8) Модель опережающей части ОУ Wоп (р) и её параметры: Отсюда, модель опережающей части ОУ Wоп (р) имеет вид: . (2.9) Передаточная функция эквивалентного объекта имеет вид: (2.10) 3. Выбор ПИ-алгоритма управления 3.1. Расчет параметров САУ на ЭВМ частотным методом Данный метод предполагает поиск оптимальных параметров алгоритма управления также из условия минимума интегральной квадратичной ошибки регулировании: , при скачкообразном характере возмущений. Метод основан на использовании частотных характеристик ОУ, все вычислительные операции автоматизированы. В основу метода положено представление о том, что минимуму интегрального квадратичного критерия при скачкообразном возмущении по управляющему каналу соответствует оптимальные параметры ПИ-алгоритма kp и Tи , отвечающие условиям: где -модуль АФХ замкнутой системы, т. е. Амплитудо-частотная характеристика замкнутой системы по задающему воздействию. При расчете оптимальных kp и Tи используются следующие соотношения: частота; А(w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы для данной частоты; g -угол, заключенный между вектором АФХ объекта управления и отрицательной мнимой полуосью, -фазовая частотная характеристика (ФЧХ) для этой частоты; М – заданный показатель колебательности, на практике часто применяют М=1,62. Максимум отношения , рассчитанного с помощью (3.1.2), соответствует искомым оптимальным параметрам. По существу, вычисление требуемых значений и kp сводится к поиску такого значения w, при котором отношение принимает максимальное значение. Для расчета используется часть АФХ ОУ, заключенная в III квадранте. Предельное значение , ограничивающее диапазон частот, для которого нужно проводить расчет, определяется из уравнения: Решая это уравнение, получим: (3.1.3). Для М=1,62 угол . Из АФХ найдем предельные частоты (начальную и конечную, для углов -900 и -1420 соответственно): . Из этого условия определяется диапазон частот, для которых должен быть проведен расчет. Для этого решают относительно w уравнения: Блок-схема алгоритма расчета представлена на рис. 2П (Приложения). Из расчетов получили: Передаточные функции имеют вид: · регулятора: ; (3.1.8) · дифференциатора: (3.1.9) Параметры настройки определяются по характеристики объекта: (3.1.10) Для упрощения расчета системы получим переходную характеристику , передаточная функция имеет вид: расчет на ПК, рис. 3.1.1 и результаты в табл. 3.1.1. Таблица 3.1.1. t, c 3 5 10 12 15 20 25 h(t) 0,28 0,72 1,56 1,75 1,85 1,94 2 Результат аппроксимации дает: (3.1.11) Рис. 3.1.1. Переходная характеристика . 3.2. Расчёт параметров ПИ-регулятора графоаналитическим методом В качестве показателя оптимальности АСР принимается минимум интеграла от квадрата ошибки системы при действии на объект наиболее тяжелого ступенчатого возмущения по регулирующему каналу (интегральный квадратичный критерий) с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы, то есть . (3.2.1) Такой критерий допускает значительное перерегулирование и увеличивает время регулирования, но он обеспечивает наименьшее динамическое отклонение регулируемой величины. При практических расчетах запас устойчивости удобно характеризовать показателем колебательности системы М, значение которого в САУ, имеющих интеграл в алгоритме управления, совпадает с максимумом амплитудо-частотной характеристики системы: (3.2.2) где Wр. - резонансная частота, на которой Аз (w) имеет максимум. Чтобы максимум не превышал некоторой заданной величены М, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы Wраз (jw) не должна заходить внутрь “запретной” области ограниченной окружностью, центр uo и радиус Ro которой определяется через М формулами (рис.3.2.1): Рис.3.2.1 (3.2.3) Если Wраз (jw) касается указанной окружности, то это означает, что САУ находится на границе заданного запаса устойчивости. На практике чаще всего принимают М = 1,6: ; Рассчитываем параметры ПИ-регулятора графоаналитическим методом. Определим запас устойчивости по фазе b = arcsin . Нам необходимо определить коэффициент усиления Кр и постоянную интегрирования Ти. По АФХ объекта строим семейства характеристик разомкнутой системы при различных Ти. Табл. 3.2.1 -данные АФХ объекта Wоб (jw) рис. 3П (Приложения). Таблица 3.2.1 w 0,0 0,07 0,154 0,215 0,25 0,373 0,55 0,77 1,06 1,08 А 2 1,9 1,62 1,39 1,25 0,87 0,54 0,33 0,21 0,103 j 0 -30 -60 -80 -90 -120 -150 -180 -210 -270 , (3.2.4) где ОАi — длина вектора АФХ объекта для определенного значения частоты wi , Ти —фиксированное значение постоянной интегрирования. Для вычисления кр. пред использована формула , (3.2.5) где R0 – радиус, определяемый по формуле; r – радиус окружности (рис.3П (Приложения)), который находим методом подбора; m к – масштабный коэффициент. Все результаты вычислений представлены в табл. 3.2.2. Таблица 3.2.2 Ти w АСi ,мм Кр 4 0,154 130 1,55 0,373 29 0,55 13 0,77 5 5 0,154 104 1,99 0,373 24 0,55 10 0,77 4 6 0,154 87 2,14 0,373 20 0,55 9 0,77 3 Проведя касательную к границе заданного запаса устойчивости, получим точку А. В этой точке будет максимум отношения Кр / Ти : , тогда передаточная функция регулятора примет вид: Wp(p) = Kp . (3.2.6) Для проверки результата расчета построим переходной процесс в системе по заданию при регуляторе Wp(p) = и эквивалентном объекте Расчет на ПК, результаты в табл. 3.2.3 и рис. 3.2.2 или рис. 4П (Приложения). Таблица 3.2.3 t, c 3 5 6,4 8 10 13 15 18 h(t) 0,62 1,29 1,41 1,31 1,09 0,96 0,98 1 Рис. 3.2.2. Переходной процесс по заданию. Показатели качества: Колебательность: Время регулирования: tp =13, при h(t)=0,95; Перерегулирование: 4. Непосредственное цифровое управление Подсистема непосредственного цифрового управления (НЦУ) в основном реализуется на управляющей микро-ЭВМ, которая заменяет собой аналоговые автоматические регуляторы. В подсистеме НЦУ основные функции переработки информации выполняются комплексом средств вычислительной техники. При аналоговом исполнительном механизме (ИМ), установленным на объекте, цифровой сигнал управляющего воздействия с регулятора НЦУ с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) преобразуется в аналоговый сигнал, а затем подается на ИМ. Если ИМ имеет цифровой вход (шаговый двигатель), то регулятор НЦУ выдает управляющее воздействие в виде цифрового кода непосредственно на ИМ. Непосредственное цифровое управление предусматривает выполнение следующих операций: - опрос датчиков регулируемой величины y( t) в дискретные моменты времени, преобразование ее с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) в цифровой код и ввода в ЭВМ; - вычисление величины ошибки рассогласования ε между заданием регулятора НЦУ g и измеренным значением y ; - определение управляющего воздействия u при помощи алгоритма управления на основе ошибки рассогласования ε ; - проверка выполнения условий безопасности перед выдачей управляющего воздействия на исполнительный механизм; - подключение выхода регулятора НЦУ на вход ЦАП, преобразование цифрового сигнала управляющего воздействия u в аналоговый сигнал, запоминания его на весь период квантования Т0 и выдача на ИМ. Условия безопасности контролируются в результате проверки нахождения переменных состояния в установленных пределах и приращения величины управляющего воздействия за период квантования не более определенного процента предыдущего значения. Существующие аналоговые системы управления обладают существенными недостатками, которые устраняются при применении систем НЦУ, а именно: 1. Аналоговые системы управления (СУ) имеют ограниченную гибкость. При разработке аналоговых СУ все факторы должны быть согласованы в начальный период работы. При изменении структуры СУ необходим перемонтаж оборудования. В системе НЦУ математические принципы управления реализуются на цифрой вычислительной машине (ЦВМ) с высоким быстродействием в режиме разделения времени между всеми контурами управления. С помощью УВМ осуществляются опрос сигналов датчиков, вычисляются управляющие сигналы по заданному закону, а затем выдаются на исполнительные механизмы. Период опроса и выдачи изменяется в зависимости от динамических параметров процесса от долей до нескольких десятков секунд. Законы управления в системах НЦУ могут быть такими же, как и в аналоговых системах управления, но могут быть значительно сложнее. Изменения в управлении осуществляются программным путем за счет изменения последовательности действий операций, поэтому много стратегий управления могут быть запрограммированы и храниться одновременно в общей памяти. 2. В аналоговых СУ наблюдается дрейф выходного сигнала регулятора при неизменном сигнале на входе вследствие изменения напряжения источников питания, температуры, влажности, и т.д. В системе НЦУ дрейф отсутствует, так как расчеты, выполняемые в УВМ при определении управляющих воздействий, не зависят от изменения внешних условий. 3. Замкнутую аналоговую СУ невозможно построить при отсутствии датчика для измерения управляемой величины. В системах НЦУ при отсутствии необходимых датчиков для измерения управляемых параметров (состава, концентрации, качества продукта) можно измерение параметра заменить вычислением его по математической модели. 4. Условия работы ТОУ непрерывно изменяются, при этом необходима адаптивная настройка параметров или изменение структуры регулятора в соответствии с принятым критерием. В аналоговых СУ адаптивную настройку регуляторов осуществить технически очень трудно. Системы НЦУ обладают большой гибкостью. Структура контуров НЦУ легко изменима, так как конструирование контура выполняется программными средствами. При изменении динамических параметров объекта управления оптимальные параметры регуляторов НЦУ могут рассчитываться автоматически по заданному критерию. 5. Недостатки датчиков (нелинейность характеристики, наличие сдвига нуля и зоны нечувствительности) в аналоговых СУ компенсировать технически трудно. В системах НЦУ указанные недостатки датчиков можно компенсировать программным путем. В системах НЦУ меры по соблюдению техники безопасности в особо важных контурах управления осуществляются с меньшими затратами. При разработке систем НЦУ необходимо решать следующие задачи: – выбор алгоритма НЦУ (закон управления исполнительными механизмами); – определение периода квантования (опроса датчиков и выдачи управляющих воздействий), входных и выходных сигналов; – тип управляющей ЦВМ; – требование к устройству связи с объектом и др. На экономическую эффективность системы НЦУ в основном влияют решение двух первых задач. Первая задача определяет точность управления параметрами объекта и затраты машинного времени, затрачиваемого на каждый контур НЦУ при одном периоде квантования. От решения второй задачи зависит загрузка УВМ операциями управления. Система автоматического регулирования с НЦУ содержит объект управления и автоматический регулятор. Роль последнего выполняет ЭВМ, снабженная рядом устройств для преобразования сигналов из аналоговой формы в цифровую (АЦП), а также из цифровой формы в аналоговую (ЦАП). На рис.4.1 аналоговые сигналы обозначены как функции времени y ( t ), g ( t ), f ( t ). Соответствующие цифровые сигналы отличаются от них не только формой представления величин, но и дискретным характером изменения во времени. Изменение во времени цифровых сигналов производится в моменты времени t = iT д. , где Тд . – интервал дискретности; i = 0,1,2,… Цифровые сигналы обозначены на схеме как переменные с индексами y [ n ], g [ n ], f [ n ], причем y [ n ]= y ( nT д. ) ; g [ n ]= g ( nT д. ) ; f [ n ]= f ( nT д. ). Интервал дискретности Тд . выбирается из условия Тд. =Ти / 10 , где Ти – постоянная времени интегрирования непрерывного регулятора. Алгоритм работы ЭВМ, осуществляющий автоматическое регулирование, может быть получен из уже найденного закона регулирования непрерывного регулятора. 4.1. Структурная схема САУ с НЦУ Рис.4.1 4.2. Параметры цифрового регулятора Пусть, например, сигнал дифференциатора u2 (t) подаётся на вход объекта (вместе с сигналом регулирования u1 ) и пусть передаточная функция дифференциатора: . (4.2.1) Тогда соответствующее операторное выражение имеет вид: . (4.2.2) и в дифференциальной форме записывается в виде: (4.2.3) Переход к цифровым сигналам, взятым в дискретные моменты времени, может быть проведён по следующей схеме: (4.2.4) В результате перехода получим: (4.2.5) (4.2.6) Подставив значения всех постоянных коэффициентов, получим: (4.2.7) Алгоритм работы ЭВМ, осуществляющий автоматическое регулирование, может быть получен из уже найденного закона регулирования непрерывного регулятора. Принимаем за исходный ПИ-закон: (4.2.8) где u1 (t) – регулирующее воздействие на объект; D(t) – сигнал ошибки, D(t)=g(t) – y(t); Кр и Ти – параметры настройки непрерывного ПИ-регулятора. Замена непрерывных сигналов цифровыми, взятыми в дискретные моменты, может быть проведена по следующей схеме: D(t) ® D[n]; u1 (t) ® u1 [n]; (4.2.9) Поэтому ПИ-закон регулирования в цифровой форме имеет вид: (4.2.10) Более удобна для реализации на ЭВМ другая, так называемая скоростная форма этого алгоритма. Для её получения запишем значение u1 на предыдущем интервале дискретности: (4.2.11) Вычитая его из предыдущего, получим: (4.2.12) (4.2.13) После подстановки D[n] = g[n] – y[n]- u2 [n]; e[n-1] = g[n] – y[n-1]-u2 [n-1] получим: (4.2.14) Подставив значения всех постоянных коэффициентов, получим: (4.2.15) Полученное выражение используется для составления программы НЦУ. Алгоритм непосредственного цифрового регулирования (рис.4.2.1), кроме расчёта управляющего воздействия, выполняет следующие дополнительные функции: 1) анализ входных сигналов и вычисленных управляющих сигналов на корректность (на схеме алгоритма – “Анализ”); 2) сигнализация о некорректных значениях и недопустимых отклонениях (на схеме – “Сигнализация”). Рис. 4.2.1 Алгоритм непосредственного цифрового управления. Список использованной литературы Лукас В.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. - M.: Недра, 1990.- 411 с. Марюта А. Н., Качан Ю. Г., Бунько В. А. Автоматическое управление технологическими процессами обогатительных фабрик. М.:Недра, 1983. 277с. Ротач В. Я. Расчет динамики промышденных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. 437 с. Ротач В. Я., Шавров А. В., Бутырев В. П. Синтез алгоритмов машинного расчета оптиальных параметров систем регулирования // Теплоэнергетика. 1977. №12. С. 76-79.