«Электронный друг» краткий математический муниципальное общеообразовательное учреждение средняяобщеобразовательная школа № 2 «Электронный друг» – краткий математический справочник Выполнили ученики 9 «А» класса МОУСОШ 2: Шайхуллин Радик, Хакимова Анжелика, Калинина Маргарита Руководители: Гатауллина Фаузия Габдрауфовна – учитель математики, Мальцева Ольга Юрьевна – учитель информатики г.Стрежевой, 2010 Содержание Введение 1.Литературный обзор. 7 1.1 Домашняя. 7 1.2 Арифметика. 7 1.2.1 Нумерация. Название больших чисел. 7 1.2.2 Арифметические действия. 8 1.2.3 Простые и составные числа. 8 1.2.4 Признаки делимости. 9 1.2.5 НОК и НОД.. 9 1.2.6 Таблица НОК и НОД.. 9 1.2.7 Обыкновенные дроби. 11 1.2.8 Десятичные дроби. 11 1.2.9 Приближенные вычисления. 12 1.2.10 Метрические меры.. 12 1.2.11 Проценты.. 13 1.2.12 Пропорции. 14 1.3Алгебра и элементарные функции. 14 1.3.1 Рациональные числа. 14 1.3.2 Тождественные преобразования целых выражений. 15 1.3.3Действия над многочленами. 15 1.3.4 Действия со степенями. 15 1.3.5 Формулы сокращенного умножения. 15 1.3.6 Действия с корнями. 16 1.3.7 Уравнения и неравенства. 16 1.3.8 Элементарные функции и их свойства. 18 1.3.9 Метод математической индукции. 20 1.3.10 Прогрессия. 21 1.4 Алгебра и начала анализа. 22 1.4.1 Пределы.. 22 1.4.2 Производные. Простейшие производные. 22 1.4.3 Исследование функции с помощью производной. 23 1.4.4 Дифференциал. 23 1.4.5 Интеграл и первообразная. 24 1.4.6 Площадь произвольной фигуры.. 25 1.4.7 Объем тела вращения. 25 1.4.8 Логарифмы.. 26 1.4.9 Тригонометрические функции. 26 1.4.10 Обратные тригонометрические функции. 30 1.4.11 Значение тригонометрических функций некоторых углов. 30 1.5 Геометрия. 31 1.5.1Треугольник. 31 1.5.2 Решение прямоугольных треугольников. 32 1.5.3 Квадрат. 32 1.5.4 Ромб. 32 1.5.5 Трапеция. 32 1.5.6 Правильный n-угольник. 33 1.5.7 Круг. 33 1.5.8 Круговое кольцо. 34 1.5.9 Призма. 34 1.5.10 Пирамида правильная. 34 1.5.11 Цилиндр. 35 1.5.12 Конус. 35 1.5.13 Шар. 36 1.5.14 Элементы векторной алгебры.. 36 1.6 Это интересно. 38 1.6.1 Вот в чем соль. 38 1.6.2 Геометрия римских землемеров. 38 1.6.3 Единичная система счисления первобытных людей. 39 1.6.4 Как запомнить три первые цифры числа π. 39 1.6.5 Как появился значок корня. 39 1.6.6 Легенда о шахматной доске. 39 1.6.7 Обозначение чисел римскими цифрами. 40 1.6.8 О чем могут рассказать числительные. 40 1.6.9 Первые учебники. 41 1.6.10 Реформы календаря. 41 1.6.11 Сколькими способами можно подняться по лестнице. 42 1.6.12Тригонометрия в ладони. 42 1.6.12 Число "чертова дюжина"- 13. 42 1.6.14 Число 666. 42 1.7 Этимологический словарь. 44 2. Методика исследования. 56 2.1 Этапы работы над электронным пособием. 56 2.2 Научная и практическая значимость «Электронного друга». 58 2.3.Правила работы с пособием по математике «Электронный друг». 58 3.Выводы.. 58 Литература. 58 Введение Каждый из нас изучает математику с первого дня пребывания в школе и будет ее изучать до окончания школы. Кому же придется продолжить обучение в высших учебных заведениях, тот более основательно познакомится с этой удивительной наукой. Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В Индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладел искусством решения задач, физических упражнений и стихосложения. Не секрет, что во все времена были дети, которые любили математику, могли вспомнить и применить в любой момент формулы и правила; а также те ученики, которые занимаются на уроках для получения аттестата и не знают и не хотят запоминать правила и формулы. Собранный воедино большой справочный материал в электронном виде, послужит для того, чтобы даже самый нерадивый ученик, мог в любой момент найти нужную формулу, чтобы справиться с простой задачей. Каждый день на уроках математики мы узнаем о свойствах чисел и фигур, решаем задачи, а вернувшись домой, приходится повторять изученный материал, выполнять домашнее задание. Большим помощником в этом является справочник. Иногда думают, что успех в математике основан на простом запоминании большого числа правил, формул, теорем и т.д. Конечно, хорошая память для занятий математикой нужна, но очень многие выдающиеся ученые-математики никакой особой памятью не обладали, и именно систематические занятия математикой часто помогали им развивать ее. Мы понимаем, что значительно важнее, чем память, для занятий математикой – умение находить наиболее удачные пути решения задач, тождественных преобразований, решения уравнений и т.д. Очень важно также научится пользоваться наглядными, в том числе геометрическими представлениями, при решении задач (формулы, теоремы и т.д.). Цель проекта: Создание пособия «Электронный друг» - краткого математического электронного справочника, содержащего основную информацию по курсу школьной математики. Задачи: - Изучить имеющиеся литературные источники, математические пособия и справочники; - Сделать выборку формул, теорем, правил и т.д., для включения в справочник; - Овладеть программой HtmlPad Fisherman; - Создать электронное пособие; - Показать практическое применение «Электронного друга». Проблема: Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в математику совершается в легкой и приятной форме. Гипотеза «Электронный друг»– замена школьных учебников в тех случаях, когда учащийся решает математическую задачу и ему нужно найти соответствующую формулу или свойства; когда он готовится к Единому государственному экзамену. Пособие имеет небольшой формат, выполнено в электронном варианте, предусмотрено возможность использования шпаргалки на мобильном телефоне через интернет ресурсы, что позволит всегда иметь его под рукой: в транспорте, на даче, на занятиях и т.д. Актуальность В век развития информационных технологий, бумажные носители отходят на второй план. Все больше людей получают информацию из интернета. Даже книги читают, используя электронные библиотеки. 1.Литературный обзор Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли. А.Д. Александров Для настоящего издания мы осуществили достаточно представительную выборку формул, теорем, схем, графиков из разных литературных источников, таких как: -«Большой математический энциклопедический словарь» и «Математическая энциклопедия для детей», « История математики в школе. 7-8 классы» Г.И.Глейзера - исторический и познавательный материал, выборка для этимологического словаря; -«Школьная шпаргалка» - основные формулы, свойства, графики и т.д. ; - а также использовали Интернет-ресурсы, в частности: Http://etimologi-term.Narod.Ru . Математика в своем развитии связывает века, тысячелетия и целые эпохи, страны, цивилизации и различные культуры, многих разных людей – ученых-математиков и практиков, правителей и творцов. Так вот, например, задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 веке индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 +bx = c, a>0. [1] В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим [5] 1.1 Домашняя Настоящее пособие – это краткий математический справочник. Он является хорошей заменой многочисленным школьным учебникам в тех случаях, когда учащемуся срочно нужно найти некоторую математическую информацию. В пособии: В лаконичной форме изложены все основные определения, теоремы, свойства, формулы, которые содержатся в школьном курсе математики; Основные определения, формулы, не обремененными техническими трудностями, отвлекающими от сути соответствующего понятия; Собраны воедино все основные «школьные» чертежи – графики функций и изображения геометрических фигур; Материал расположен так, чтобы, с одной стороны, выдерживалась определенная логика, а, с другой стороны, поиск читателем нужной информации был достаточно прост; Весь материал медиапособия разбит на 6 частей. В справочнике широко применяются система ссылок на статьи, где читатель найдет дополнительный к рассматриваемому вопросу информацию (в частности этимологический словарь). Принцип расположения статей в этимологическом словаре – алфавитный. А статьи в справочнике расположены по тематикам. 1.2 Арифметика 1.2.1 Нумерация. Название больших чисел Миллиард или биллион – 1000 000 000 - 109 Триллион -1000 000 000 000 - 1012 Квадриллион -1000 000 000 000 000 - 1015 Квинтиллион – 1000 000 000 000 000 000- 1018 Секстиллион -1000 000 000 000 000 000 000- 1021 Септиллион – 1000 000 000 000 000 000 000 000 -1024 Названия степени числа 10: Дека – 10 (дк) деци – 10-1 (д) Гекто – 102 (г) санти – 10-2 (с) Кило - 103 (к) милли – 10-3 (м) Мега – 106 (М) микро – 10-6 (мк) Гига – 109 (Г) нано – 10-9 (н) Тера – 1012 (Т) пико – 10-12 (п) 1.2.2 Арифметические действия Делить на ноль нельзя! Деление с остатком – a:b=q+r, r – остаток Возведение в степень – an = Вторая степень называется квадратом, третья степень – кубом, первая степень числа – само число:a1 = a Свойства арифметических действий Законы сложения 1.Переместительный (коммутативный): a+b=b+a 2. Сочетательный (ассоциативный): a+b+c =a+(b+c) Правила вычитания 1.Вычитание суммы из числа: a-(b+c)=a – b – c 2.Вычитание числа из суммы: (a+b) – c =(a - c) + b 3. Прибавление разности: a + (b - c) = a + b – c 4.Вычитание разности: a – (b - c) = a - b + c Законы умножения 1.Переместительный (коммутативный): ab =ba 2.Сочетательный (ассоциативный): abc = a(bc) 3.Распределительный (относительно суммы, дистрибутивный): (a + b + c)d = ad + bd + cd Правила умножения 1.Умножение произведения на число и числа на произведение, например: 3(ab) =(3a)b =(3b)a 2.Умножение разности на число (a -b)c = ac – bc 1.2.3 Простые и составные числа Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым . Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще на другие числа, называется составным. Число 1 занимает особое положение. Простые числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 и т.д. Составное число разлагается на простые множители единственным образом . Пример: 5600= 2·2·2·2·2·5·5·7 1.2.4 Признаки делимости 1. На 10 . На 10 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются нулями. 2. На 2 и 5 делятся те, и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 и на 5. 3. На 3 и 9 делятся те, и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 и на 9. 4. На 4 и 25 делятся те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 и на 25. 5. На 8 и 125 делятся все числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 и 125. 6. На 7,11 и 13 делятся все те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным тремя остальными цифрами (или наоборот), делятся соответственно на 7, 11 или 13. 7. На 6, 12,18, 24 : - на 6 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 3; - на 12 делятся те числа, которые делятся на 3 и на 4; - на 18 делятся те числа, которые делятся на 2 и на 9. 1.2.5 НОК и НОД НОК – наибольшим общим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка. НОД – наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Алгоритм нахождения НОД: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Из множителей, входящих в разложение одного из них, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. 3. Вычислить произведение оставшихся множителей, если это необходимо. Алгоритм нахождения НОК: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Выписать разложение одного из них. 3. Добавить недостающие множители из разложений оставшихся чисел. 4. Найти полученное произведение, если это необходимо 1.2.6 Таблица НОК и НОД (Трудные и часто используемые случаи) Числа НОК НОД 2 4 4 2 3 4 12 1 4 8 8 4 4 16 16 4 4 18 36 2 4 25 100 1 4 125 500 1 5 6 30 1 5 7 35 1 5 12 60 1 6 8 24 2 6 9 18 3 6 15 30 3 6 21 42 3 6 25 150 1 8 12 24 4 8 21 168 1 8 36 72 4 8 28 56 4 9 12 36 3 9 15 45 3 9 54 54 9 Числа НОК НОД 10 12 60 2 12 15 60 3 12 16 48 4 12 18 36 6 12 60 60 12 12 75 300 3 14 21 42 7 14 49 98 7 15 20 60 5 15 21 105 3 15 25 75 5 16 56 112 8 18 24 72 3 22 55 110 11 24 60 120 4 25 100 100 25 27 54 54 27 30 45 90 15 33 44 132 11 42 63 126 21 45 75 225 15 72 90 360 9 Таблица составлена ученицей 5 А класса МОУ СОШ № 2 Мерзляковой Мариной в 2006 году 1.2.7 Обыкновенные дроби Правильные дроби: Неправильные дроби Основное свойство дроби , m Преобразование дробей Сокращение дроби : Первый способ : последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя. Второй способ : полное сокращение на НОД числителя и знаменателя. Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь называется несократимой. Арифметические действия над обыкновенными дробями Сложение : Вычитание : Умножение : Деление: 1.2.8 Десятичные дроби О сновное свойство десятичной дроби : значение десятичной дроби не изменится, если к ней справа дописать несколько нулей: 0,3= 0,30=0,300 и т.д. Действия над десятичными дробями Умножение и деление десятичной дроби на 10 (100,1000 и т.д.): При умножении запятая переносится вправо на число нулей. При делении запятая переносится влево на число нулей. Умножение десятичных дробей 1) Перемножить дроби, не обращая внимания на запятые, как целые числа. 2) Отделить "," справа столько знаков, столько их было во множителе и множимом вместе. Деление десятичных дробей Деление выполняется так же как и деление целых чисел, увеличивая делитель и делимое в 10, 100, 1000 и т.д. раз, чтобы избавиться от запятой. Сложение и вычитание десятичных дробей При сложении и вычитании десятичных дробей, дроби располагаются так, чтобы запятая оказалась под запятой. Периодическая десятичная дробь Чистая 2,3636363636... - период начинается сразу за запятой. Смешанная 0,52323...- между "," и периодом есть несколько цифр. 1.2.9 Приближенные вычисления Абсолютная погрешность - разность между точным и приближенным значением числа. Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. 1.2.10 Метрические меры Меры длины Миля содержит 7 верст = 7,4676 км Верста содержит 500 саженей = 1,0668 км Сажень содержит 3 аршина = 2,1336 м Фут содержит 12 дюймов = 30,48 см Дюйм содержит 10 линий = 2,54 см Меры веса Пуд содержит 40 фунтов = 16,4 кг Фунт содержит 32 лота = 0,41 кг Лот содержит 3 золотников = 12,8 г Золотник содержит 96 долей = 4,27 г Меры длины Основная единица - метр (м) Дециметр (дм) - 0,1м Сантиметр (см) - 0,01м Миллиметр (мм) - 0,001 м Микрон () - 0,000001 м Миллимикрон () - 0,000000001м Мегаметр - 1000000 м Мириаметр (Мм) - 10000 м Километр (км) - 1000 м Гектометр (гм) - 100 м Декаметр (дкм) - 10 м Меры площади Основная единица - квадратный метр (м2 или кв. м) Квадратный дециметр (дм2 ) - 0,01 м2 Квадратный сантиметр (см2 ) - 0,0001 м2 Квадратный миллиметр (мм2 ) - 0,000001 м2 Квадратный километр (км2 ) - 1000000 м2 Квадратный гектометр или гектар (га) - 10000 м2 Квадратный декаметр или ар (а) - 100 м2 Меры объема а) Газообразных и твердых тел. Основная единица - кубический метр или стер (м3 или куб.м) Кубический дециметр (дм3 ) - 0,001 м3 Кубический сантиметр (см3 ) - 0,000000001 м3 Кубический миллиметр (мм3 ) - 0,000000001 Кубический километр (км3 ) – 1000000000 м3 б) Жидкостей и сыпучих тел Основная единица – литр(л) – объем 1 дм3 , точнее 1 л = 1,000028 дм3 Децилитр (дл) - 0,1 л Сантилитр (сл) – 0,01 л Миллилитр (мл) – 0,001 л Микролитр (мкл) – 0,00001 л Декалитр (дкл) – 10 л Гектолитр (гл) – 100 л Килолитр (кл) – 1000 л Меры веса Основная единица – грамм (г) – вес 1 см3 чистой дистиллированной воды при t = 4 C и атмосферном давлении 760 мм РТ.ст. Дециграмм (дг) – 0,1 г Сантиграмм (сг) -0,01 г Миллиграмм (мг) – 0,001 г Микрограмм (мкг) – 0,000001 г Карат (к) – 0,2 г Декаграмм (дкг) – 10 г Гектограмм -100 г Килограмм (кг) – 1000 г Центнер (ц) – 100 кг Тонна (т) – 1000 кг 1.2.11 Проценты Процентом какого либо числа называется сотая часть этого числа (%) Нахождение % данного числа P% = Нахождение числа по его %: Если P% какого-то числа составляют а, то все число равно Нахождение процентного отношения двух чисел Формула простого процентного роста Sn = Формула сложного процентного роста Sn = 1.2.12 Пропорции Определение : , или а:b = с:d Основное свойство пропорции : ad=bc Вычисление неизвестных членов пропорции Если x:b= с:d, то x= , Если a:x = с:d, то x = Перестановка членов пропорции (для всех выполняется основное свойство ad=bc) a:b= c:d с:d=a:b d:b=c:a c:a=d:b a:c=b:d b:d=a:c d:c=b:a b:a=d:c Производные пропорции ; ; ; ; ; 1.3Алгебра и элементарные функции 1.3.1 Рациональные числа Рациональные числа - это все целые и дробные, положительные и отрицательные числа. Модуль числа – это абсолютная величина числа. а – число, | а | - абсолютная величина числа таким образом, | Действия с рациональными числами Правила знаков при умножении и делении + • + = + + • - = - - • + = - - • - = + + : + = + + : - = - - : + = - - : - = + Если | а |= |b|, то или а=b или а= - b |f(x)|= |g(x)| f 2 (x) = g2 (x), тогда (f(x) – g(x))( f(x)+ g(x))= 0 1.3.2 Тождественные преобразования целых выражений Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него букв. a + b = b + a a + b + c = a + ( b + c) a –(b –c)= a – b + c ab=ba abc= a(bc) (a+c)c= ac+bc 1.3.3Действия над многочленами (a + b + c) x=ax + bx + cx (a+ b +c)(m + n )= a( m + n ) + b( m + n) + c( m + n)= am +an + bm + bn + cm + cn 1.3.4 Действия со степенями am an =am + n am : an = am-n (ab)m = am bm (am )n = amn (a:b)m = am : bm a0 = 1(a ≠ 0) am : am = 1 a-m = 1/ am 1.3.5 Формулы сокращенного умножения (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 + ±b3 a2 - b2 = (a-b)(a+b) a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2 ) a3 - b3 = (a - b) (a2 +ab + b2 ) am - bm = (a – b)( am-1 + am-2 b+ …+ab m-2 + b m-1 ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc Основное свойство алгебраической дроби: , 1.3.6 Действия с корнями - основное свойство радикала 1.3.7 Уравнения и неравенства Уравнения Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот. Теоремы о равносильных уравнениях I. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному. Следствия: 1. Одинаковые члены в обеих частях уравнения можно опустить. 2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный. II. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и не равное нулю при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному. Следствия: 1.Знаки всех членов можно изменить на противоположные. 2.Уравнение, в которых коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами. Уравнение первой степени ax – b = 0 Система двух уравнений первой степени Квадратное уравнение Неполное квадратное уравнение: ax2 + c =0 Решение: Приведенное квадратное уравнение : x2 + px + q = 0 Решение приведенного уравнения: x1 + x2 = -p , a x1 x2 = q(теорема Виета) Полное квадратное уравнение общего вида : ax2 + bx + c = 0 Решение квадратного уравнения : , D= b2 – 4ac – дискриминант квадратного уравнения. Неравенства Свойства неравенств Если а > b и b > c , то a > c; если а > b, то а + с > b + с; если а + b > c, то при a > c – b, а + b – с > 0; если а > b, то при с > 0, ас > bс, при с = 0 , ас = bс; при с > 0, ас < bс; если а > b, с > d, то ас > bd; если а > b, с > d, то а + с > b+d; если а > b, с < d, то а - с > b-d; если а > b, то аn > b? , ( a, b – положительные, n – натуральные); если а > b, то , (а,b – положительные , n – натуральные). Неравенство первой степени aх >b Если а > 0 , x > (b/a): Если а < 0, x < (b/a) Система неравенств первой степени: Если а > b , то x > a; если а < b , то x> b Если а > b , то x < b; если а < b , то x < a Если а > b , то не имеет решений; если а < b, то a<x<b 1.3.8 Элементарные функции и их свойства y = f (x) Область определения - совокупность всех тех значений, которые может принимать аргумент x функции. Область изменения (значения) – совокупность всех тех значений, которые может принимать сама функция у. Исследование функции: 1. Установить области определения и значения функции : D(f) и E(f). 2. Установить промежутки возрастания и убывания функции. 3. Определить точки экстремума функции, если такие существуют, и вычислить экстремальные ее значения. 4. Выяснить, четная или нечетная данная функция. 5. Выяснить, ограниченная или неограниченная функция. 6. Исследовать функцию на периодичность. 7. Определить, если возможно, нули функции, т.е. значения аргумента, при которых значения функции равны нулю. 8. Заканчивают исследование функции построением ее графика. Элементарные функции Прямая пропорциональность. y = ax, а - некоторое данное число, x – аргумент. y = 0,5x Линейные функции y = 0,5x + 1(на 1 единицу вверх) y = 0,5x -1(на 1 единицу вниз) y = ax +b, x –аргумент, a, b – заданные числа Обратно - пропорциональная зависимость. Квадратичная функция y = ах2 + bх + с, где х – аргумент. Кривая называется параболой. у = х2 Степенная функция.(y = xn , x – аргумент, n – показатель степени) y = х3 График функции y = sin x График функции y = cos x 1.3.9 Метод математической индукции Аксиома индукции: Если некоторое утверждение справедливо для n = 1, и, если из допущения справедливости его для какого-нибудь произвольного натурального n= k, следует справедливость и для n= k +1, то это утверждение справедливо для всякого натурального n. 1.3.10 Прогрессия Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для этой прогрессии (положительным или отрицательным) числом: ÷ а1 , а2 , а3 ,… Разность арифметической прогрессии d – число, которое надо прибавить к какому – нибудь члену, чтобы получить последующий. Если d>0, то прогрессия возрастающая. Если d <0, то прогрессия убывающая. Любой член арифметической прогрессии : an = a1 + (n - 1)d; an = ( an -1 + an +1 )/2 - среднее арифметическое предыдущего и последующего; аn = ( an - k + an + k )/2 – среднее арифметическое равноудаленных членов Во всякой арифметической прогрессии : am + an = ap + aq ,, если m+n=p+q Для конечной прогрессии : ak + an - k + 1 = a1 + an Сумма n - первых членов арифметической прогрессии : Геометрическая прогрессия - это такая числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, умноженному на одно и то же число, постоянное для этой последовательности: ÷ b1 , b2 , b3 , …, bn , … Знаменатель геометрической прогрессии q - число, на которое надо умножить любой член геометрической прогрессии, чтобы получить последующий. Всякий член геометрической прогрессии : bn = b1 qn -1 Связан с предыдущим и последующими членами зависимостью: (bn )2 = bn -1 bn +1 Во всякой геометрической прогрессии bm bn = bp bq , если m+n = p+q Сумма n членов геометрической прогрессии выражается формулой: Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, если |q|<1 Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии: Если q>1, то прогрессия – возрастающая. Если q<1, то прогрессия – убывающая. 1.4 Алгебра и начала анализа 1.4.1 Пределы Теоремы о пределах 1.4.2 Производные. Простейшие производные Производная – это скорость роста функции - это угловой коэффициент касательной ( геометрический смысл) - есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (с) ́ = 0 (x) ́ = 1, (xn )´= nx n -1 (1/ x) ́ = - (1/x2 ) (ln x) ́ = 1/x ( lg x) ́ = lg e ·(1/x) (ax ) ́= ax ln a (ex ) ́ = ex (sin x) ́ = cos x (cos x ) ́ = - sin x (tg x) ́= 1/ (cos2 x) = sec2 x (ctg x) ́ = - 1/ (sin2 x) = - cosec2 x ( arcctg x) ́ = - 1 / (1+x2 ) (sec x) ́ = sec x tg x (cosec x) ́ = - cosec x ctg x 1.4.3 Исследование функции с помощью производной Функция возрастает - производная положительная. Функция убывает - производная отрицательная. Функция достигла max или min - производная обратилась в ноль. Если производная изменила свой знак с «+» на «-», то функция достигла max. Если производная сменила свой знак с «-» на «+», то функция достигла min. Если производная свой знак не изменила , то экстремума нет. Критические точки – точки, в которых производная обращается в ноль. Уравнение касательной – f(x) = f(a) + f ́(a)(x-a) 1.4.4 Дифференциал Дифференциал функции – линейная часть ее приращения. dy = y ́ dx Простейшие свойства дифференциала 1. d(cu) = c du, c – пост. 2. d(u+v)= du + dv 3. d (uv) = u dv + v du 4. d (u/ v) = ( v du – u dv) / v2 Правила дифференцирования 1. ( u + v) ́ = u ́ + v ́ 2. u (ax) ́= au ́ (ax) 3. (λu) ́= λu ́, λ – пост. 4. (un ) ́= nun-1 u ́ 5. (uv) ́ = u ́v + uv ́ 6. (u(v)) ́ = u ́(v) v ́ 7. (u/v) ́ = (u ́v – uv ́) / v2 1.4.5 Интеграл и первообразная Интеграл – это площадь криволинейной трапеции (геометрический смысл) Интеграл – это предел интегральных сумм. Интеграл – это приращение первообразной. Таблица первообразных Функция y= f(x) Первообразная y = f(x) 0 C 1 x xr , r ≠ -1 ln |x| sin x -cos x cos x sin x -ctg x tg x ex ex ax (a > 0, a ≠ 1) xp , p ≠ -1 , x> 0 ln x + C ex ex + C sin x -cos x + C cos x sin x + C ( k x + b) p , p ≠ - 1 , k≠ 0 e kx +b , k≠ 0 sin ( kx + b), k≠0 cos ( kx + b), k≠0 Свойства интеграла 1.4.6 Площадь произвольной фигуры 1.4.7 Объем тела вращения где S(x) - площадь сечения, проведенная через точку х. Интегралы от некоторых тригонометрических функций. 1.4.8 Логарифмы Логарифмом положительного числа b по основанию a, где , a , называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b. Всякое положительное число (не ≠ 1) по любому основанию имеет единственный логарифм. При любом положительном основании отрицательные числа не имеют логарифма. При любом a loga 1 = 0, так как a0 = 1 loga а = 1, так как а1 = a. Логарифмирование log(ab) = log a + log b, log (a/b) = log a – log b, log a m = m log a, log = (log a) / m Переход от одного основания логарифма к другому Десятичные логарифмы log10 N = lg N Свойства десятичных логарифмов 1. lg 100 = 2, lg 10000= 4 ( логарифм равен количеству нулей) 2. lg 0,00001 = -5, lg 0,001 = -3 (логарифм равен количеству нулей) 3. lg = (1/2)lg3 ( трансцендентное число, выражаемое бесконечной десятичной дробью) 4. Целая часть логарифма называется его характеристикой, дробная – мантиссой. 5. Характеристика логарифма числа, а > 1, на единицу меньше числа цифр его целой части. 6. Характеристика логарифма числа, а < 1, содержит столько отрицательных единиц сколько нулей в этом числе предшествует первой значащей цифре, включая и нуль целых. Натуральные логарифмы loge N = ln N. e 2, 71828182… 1.4.9 Тригонометрические функции Радианное измерение углов 1 Таблица градусной и радианной меры часто встречающихся углов Углы в градусах 15 30 45