Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 13
(доказательства от противного) Разработала учитель математики Бережная О.Д. Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян Методические рекомендации: На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых. Первая ошибка - это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы. Вторая, не менее существенная ошибка - это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки. Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5». Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а<5 или а=5, то это противоречит условию а>5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным. В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения. Цель урока: *Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного. Тип урока: Объяснение нового материала Методы: лекция. Оборудование: компьютер. Назначение этой темы
- дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Весь материал урока написан на компьютере. Учащиеся сами активно участвуют в объяснении нового материала. В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит; если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит. Пример 2. Ревизор получил задание: выяснить есть ли в данном колхозе гусеничный трактор. Председатель колхоза говорит: если бы в селе был гусеничный трактор, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в колхозе нет гусеничного трактора. Схема рассуждения председателя. Требуется доказать: в селе нет гусеничного трактора. Врач тоже рассуждал по аналогичной схеме. Способ доказательства от противного 1 Делается предположение, противное тому, что требуется доказать 2 Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи 3 Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом 4 Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать Упражнения Составьте отрицания следующих утверждений. ( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.) (Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. ) ( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.) (Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.) (Через точки А, В, и С можно провести прямую.) (Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.) Решаем такую задачу: Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос: Сколько таких прямых можно провести? Ответ на него дает аксиома параллельных прямых. (Вывод - следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.) Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся. Задача 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b Прямая с пересекает а в точке О (рис.1). Доказать: прямая с пересекает прямую b. Доказательство. Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b. Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Дано: а¦с и b¦с (Рисунок 2) Доказать: а¦b Доказательство: При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи. Карточки имеют следующий вид: №196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых). Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали? (Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.) № 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р. (Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )
|