Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 12
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР Горьковский политехнический институт им. А.А. Жданова Заочный факультет Кафедра радиотехники Г.В. Глебович ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОСНОВЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Лекции по курсу "Основы теории цепей" Горький - 1968 ПРЕДИСЛОВИЕ В учебные планы радиотехнических факультетов для студентов специальности "Радиотехника" введен курс "Основы теории цепей" В него включен материал, ранее изучавшийся в курсах "Теоретические основы электротехники" и "Теоретические основы радиотехники". Потребовался коренной пересмотр ряда разделов этих курсов, а также в соответствии с программой были включены новые разделы, в изучении которых появилась настоятельная необходимость. Содержанием пособия являются два крупных раздела курса "Основы теории цепей" - анализ переходных процессов и основы синтеза линейных радиотехнических цепей. Последний раздел ранее практически не изучался в упомянутых курсах. Первый раздел изложен кратко и по существу соответствует объему читаемых автором лекций. Второй раздел изложен более полно, несколько выходя за объем лекций. Автор весьма признателен доценту, к.т.н. К.П. Полову за ценные замечания, сделанные им при рецензировании рукописи пособия, а также благодарен сотрудникам кафедры радиотехники за советы и замечания, высказанные ими при обсуждении рукописи. Автор 1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Введение
Современные радиотехнические системы часто включают в себя комплекс достаточно сложных электрических цепей, среди которых разнообразные линейные цепи. В зависимости от характера воздействующих э.д.с. и назначения линейных цепей в них могут протекать самые различные процессы. Поэтому необходимо иметь ясное представление о таких процессах и уметь рассчитывать их для определенной цепи при заданном воздействии. Это относится к задачам анализа процессов в цепях. Среди них все больший интерес вызывают задачи, связанные с процессами в различных импульсных системах. В этих задачах кроме анализа установившихся или стационарных процессов важное значение имеет анализ переходных процессов, возникающих при включении или выключении э.д.с. и при воздействии импульсных сигналов. Переходные процессы, протекающие в линейных цепях, также, как и стационарные, подчиняются законам Кирхгофа, которые позволяют установить связь между э.д.с., действующей в некоторой ветви цепи и током в любой ветви. Записанные для цепи уравнения Кирхгофа обычно приводятся к линейному дифференциальному уравнению, порядок которого зависит от числа реактивных элементов и сложности цепи. Изучить процесс, возникающий в цепи под действием э.д.с., означает найти решение уравнения и исследовать его поведение вдоль всей временной оси. Если по истечении некоторого времени с момента начала действия э.д.с. на цепь в ней устанавливается стационарный режим, отличный от стационарного режима, имевшегося до начала действия э.д.с., то это время, определяющее длительность переходного процесса, называют временем установления. Характер переходного процесса и величина времени установления часто являются главными факторами, от которых зависит правильность функционирования радиотехнического устройства. Как уже говорилось, связь между током в любой ветви цепи и действующей э.д.с. устанавливается дифференциальным уравнением, которое в общем случае выглядит так:
где Известно, что решение уравнения (0.l) может быть представлено в форме суммы
Здесь i
2
(
t
) -
частное решение уравнения с правой частью, в качестве которого обычно принимается стационарное (вынужденное) решение, определяющее связь между i
(
t
)
и e
(
t
)
в установившемся режиме; i
1
(t
) -
решение однородного уравнения (правая часть равна нулю) , определяющее переходной процесс в цепи. Если цепь такова, что, то можно указать времен ной интервал Поскольку i
1
(
t
)
есть решение уравнения без правой части, то длительность переходного процесса не зависит от интенсивности и характера входного воздействия, а определяется свойствами цепи. Характер переходного процесса также существенно зависит от свойств цепи. Возможность представления решения уравнения (0.l) в виде (0.2) опирается на основное свойство линейных цепей, выражающееся в принципе суперпозиции. Найти решение (0.2) можно и с помощью других способов, основанных на принципе суперпозиции. Так, э.д.с. сложной формы удобно рассматривать как образованную в результате сложения элементарных э.д.с. некоторой основной формы. Находя переходный процесс, вызванный действием всех элементарных э.д.с., образующих данную сложную э.д.с., и затем суммируя полученные результаты, оказывается возможным нахождение всего переходного процесса. В зависимости от вида элементарных э.д.с. и особенностей вычисления результирующего переходного процесса различают ряд методов анализа. Основные из них - спектральный метод, основанный на преобразовании Фурье, операторный, использующий преобразование Лапласа и временной метод, основанный на интеграле Дюамеля. Перечисленные методы во многих случаях существенно упрощают нахождение решения уравнения (0.l). Развитие этих методов привело к тому, что каждый из них позволяет на своем языке характеризовать существенные для практики свойства цепей без обращения к их дифференциальным уравнениям. Это придало большую самостоятельность этим методам и позволяет говорить о них, как об основных методах анализа процессов в линейных цепях. Их особенности и примеры применения будут рассмотрены в последующих главах. Глава 1 АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДОМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.1. Введение
Метод решения линейных дифференциальных уравнений, или так называемый классический метод, основан на отыскании решения вида (0.2) для уравнения (0.l). Так, при подключении э.д.с, e
(
t
)
к последовательно соединенным индуктивности L
,
емкости С
и активному сопротивлению R
, на основании второго закона Кирхгофа получаем уравнение
которое приводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка
Согласно выражению (0.2) решение этого уравнения записывается в виде
То есть, процесс, происходящий в цепи, рассматривается условно состоящим из двух процессов — вынужденного, который наступил как бы сразу (ток i
2
), и свободного, наблюдающегося только во время переходного процесса (ток i
1
). Уместно отметить, что в рассматриваемой цепи физически существует только один ток i
, а его представление в виде суммы токов i
1
и i
2
является удобным приемом, облегчающим расчеты при данном методе анализа. Известно, что в результате интегрирования уравнения (1.1),или в общем случае уравнения (0.l),eгo решение включает в себя постоянные интегрирования, которые должны быть определены по начальным значениям основных физических величин, т.е. необходимо знать начальные (при t
=
0) токи в индуктивностях и заряды на емкостях, иначе говоря, надо знать начальные условия задачи. В общем случае уравнения (0.l) для n
постоянных интегрирования Если анализируемая цепь содержит несколько взаимосвязанных контуров, то при составлении дифференциального уравнения удобно пользоваться методом контурных токов. Сначала образуется система из m
уравнений относительно m
неизвестных контурных токов. Порядок каждого уравнения не выше второго. Если в контуре сложной цепи имеется несколько индуктивностей и емкостей, то они могут быть сведены (например, заменой двух емкостей одной эквивалентной) к одной независимой емкости и одной индуктивности. Затем путем исключения всех токов, кроме одного интересующего, получают одно дифференциальное уравнение порядка Хотя процесс анализа переходных явлений методом решения дифференциальных уравнений достаточно наглядно вскрывает физические процессы в цепи, этот метод оказывается громоздким для случая сложных разветвленных цепей, когда определение постоянных интегрирования связано с составлением и решением системы из n
уравнений. Нахождение же этим методом переходных процессов в простейших цепях не вызывает трудностей и способствует пониманию физических явлений. Убедимся в этом на ряде примеров, часто встречающихся на практике. 1.2. Включение цепи
R,
C
на постоянное напряжение
Поэтому условие отсутствия скачкообразного изменения энергии означает, что в цепи R
,C
напряжение на емкости Выясним законы изменения напряжения на элементах схемы во времени, т.е. найдем характер переходного процесса. На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи при t
= 0
имеем
где Тогда выражение (l.3) принимает вид
Общее решение полученного линейного дифференциального уравнения первого порядка (l.4) представим аналогично выражению (l.2) в виде суммы напряжений на емкости
Напряжение
т.е. имеет вид
где A
– постоянная интегрирования, а
Постоянная A
определяется из начальных условий для данной цепи, заключающихся в том, что при t
=0
,
Напряжение на конденсаторе в процессе его заряда возрастает no экспоненциальному закону, приближаясь к величине E
тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи
откуда получаем
или
Время установления также часто определяется как разность моментов времени
откуда определяется время установления
Для тока в цепи находим выражение
т.е. ток убывает по экспоненциальному закону, а следовательно, и напряжение на сопротивлении
Как видно из (1.8),при t
=0 Графики изменения напряжений в цепи приведены на рис.1.2.
В процессе заряда емкости половина энергии, отдаваемой источником, переходит в энергию, запасаемую емкостью, а вторая половина расходуется в активном сопротивлении, переходя в тепло. Энергия, расходуемая на сопротивлении
где 1.3. Разряд конденсатора на активное сопротивление
Если конденсатор
решением которого является выражение
Для определения константы интегрирования
Ток разряда
Сравнивая выражения (1.8) н (1.10),видим, что, как и следовало ожидать, направление тока разряда противоположно направлению тока заряда емкости для этой же цепи. Графики изменения напряжения и тока приведены на рнс.1.4. В процессе разряда емкости вся энергия, запасенная в ней, расходуется в активном сопротивлении в виде тепловых потерь.
1.4. Включение цепи
R,
L
на постоянное напряжение
Рассматриваемая цепь приведена на рис.1.5.Так как энергия магнитного поля катушки индуктивности равна
и она не может изменяться скачком при мгновенном изменении внешнего воздействия, то отсюда заключаем, что в цепи R
,
L
ток скачком изменяться не может. Требуется конечное время переходного процесса, пока ток в цепи не достигнет стационарного значения. Рассмотрим этот процесс. Уравнение Кирхгофа для такой цепи
Рис. 1.5
Общее решение этого уравнения
т.е.
здесь
Из этого выражения видно, что ток нарастает по экспоненциальному закону, достигая установившейся величины По известному току
Графики тока Необходимо отметить аналогию в характере изменения тока в данной цепи и напряжения на емкости
1.5. Разряд конденсатора в цепи Действительно, имеем для суммы напряжений на элементах цепи
или, так как
уравнение приводится к виду
Аналогичное уравнение записывается и для тока в цепи
Решением однородного уравнения (1.17) является
Где
т.е.
где
Тогда решение уравнения (1.17)
Постоянные интегрирования
Подставив значения констант
Аналогично получается решение уравнения (1.18) для напряжения на емкости
В зависимости от того, будет ли В случае
Согласно выражению (l.21) на рис.1.8 построен график тока
Как видно из рис.1.8, при апериодическом разряде емкости ток в цепи вначале равен нулю, что объясняется противодействием э.д.с, самоиндукции катушки. Затем по мере убывания этой э.д.с. ток по абсолютной величине растет. Однако в процессе разряда емкости напряжение В случае
где
где Для контура с высокой добротностью, т.е. если
называется частотой собственных колебаний (или свободных колебаний) контура. Как видно, она зависит не только от реактивных параметров контура, но и от активного сопротивления, в отличие от резонансной частоты контура Затухание колебаний иногда характеризуют логарифмическим декрементом затухания
Время, за которое амплитуда колебаний убывает в
или, так как
Решение этого уравнения
где 1.6. Воздействие постоянного напряжения на L,
C,
R
цепь Пусть постоянное напряжение
и его общее решение
рассмотренного в предыдущем примере. Однако начальные условия данной задачи несколько отличаются от условий предыдущей задачи. Здесь при
постоянные интегрирования
и тогда ток
напряжение на индуктивности выражается зависимостью
а для напряжения на емкости в соответствии с (1.27) получаем
Если корни
где, как и раньше, Если контур имеет высокую добротность, что обычно справедливо для радиотехнических контуров, то
т.е. в контуре с большой добротностью напряжение Как видно из рис.1.13, напряжение на емкости осциллирует, приближаясь при
или
Чем меньше добротность контура и, следовательно, шире полоса пропускания 1.7. Воздействие гармонической э.д.с, на колебательный контур
В начальный момент
а его решение Аналогичное уравнение записывается для напряжения на емкости
решение которого
Тогда для тока свободных колебаний
Для контуров с достаточной добротностью (
При воздействии гармонической э.д.с, установившийся ток в контуре имеет вид
где
Тогда общее решение уравнения (l.35)
Для напряжения на емкости в переходном режиме получаем выражение
Для определения констант
Заменяя здесь
При этом для тока и напряжения получаем обратные решения:
В случае, когда частота э.д.с. совпадает с частотой контура, т.е.
На рис.1.14 приведена осциллограмма напряжения
Величина амплитуды установившегося колебания зависит от добротности контура. Процесс установления колебаний заключается в постепенном заряде емкости и накоплении энергии в ней. Так как частота э.д.с. Процесс установления колебаний практически считается законченным, когда амплитуда напряжения на емкости (или ток в контуре) достигает 95% своего стационарного значения, т.е. можно записать
или время установления
На рис.1.15 показана огибающая амплитуд напряжения на емкости для различных значений добротности контура. С ростом добротности Если частота э.д.с, не совпадает с собственной частотой контура
|