Задачи изучения дисциплины 5 4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 6 СОДЕРЖАНИЕ 1 Введение. 5 1.1 Порядок изучения дисциплины.. 5 1.2 Цель преподавания дисциплины.. 5 1.3 Задачи изучения дисциплины.. 5 1.4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 5 2 Программа лекционного курса. 6 Учебно-методические материалы по дисциплине. 8 3 Контрольные работы.. 10 3.1 Общие указания. 10 3.2 Контрольная работа № 1. 10 3.2.1 Пример решения типового варианта. 10 3.2.2 Варианты контрольной работы № 1. 19 3.3 Контрольная работа № 2. 27 3.3.1 Пример решения типового варианта. 27 3.3.2 Варианты контрольной работы № 2. 35 4 Лабораторные работы.. 44 4.1 Общие указания. 44 4.2 Лабораторная работа № 1. Знакомство с пакетом для математических и инженерных расчетов MATLAB.. 45 4.2.1 Вводные замечания. 45 4.2.2 Задание на лабораторную работу. 46 4.3 Лабораторная работа № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 48 4.3.1 Вводные замечания. 48 4.3.2 Основные положения метода Гаусса. 49 4.3.3 Стандартные функции системы MATLAB для работы с СЛАУ.. 50 4.3.4 Задание на лабораторную работу. 52 4.4 Лабораторная работа № 3. Линейная полиномиальная интерполяция функций. 54 4.4.1 Теоретические сведения. 54 4.4.3 Содержание лабораторной работы.. 58 4.5 Лабораторная работа № 4. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания и выравнивания экспериментальных данных. 59 4.5.1 Теоретические сведения. 59 4.5.2 Выравнивание экспериментальных данных на основе МНК.. 64 4.5.3 Задание на лабораторную работу. 68 4.5.4 Содержание отчета. 68 5 Курсовое проектирование. 70 5.1 Вводные указания. 70 5.2 Темы курсовых проектов. 71 6 Общие требования к содержанию пояснительной записки курсовых проектов, связанных с разработкой программного обеспечения. 74 6.1 Указания к оформлению ПЗ. 75 Приложение А.. 77 Приложение Б. 80 Приложение В.. 85 1 Введение 1.1 Порядок изучения дисциплины Курс «Вычислительные методы» изучается в 5 и 6 семестрах. В 5 семестре предусматривается изучение лекционного материала, выполнение двух контрольных работ и четырех лабораторных работ. В 5 семестре по результатам изучения дисциплины сдается компьютерный экзамен. В 6 семестре выполняется . Отчетность: 5 семестр – экзамен; 6 семестр – дифференциальный зачет. 1.2 Цель преподавания дисциплины Цель курса «Вычислительные методы» состоит в изучении общих принципов проведения вычислительного эксперимента, методов и алгоритмов решения стандартных задач вычислительной математики, современных программных средств для автоматизации вычислений. 1.3 Задачи изучения дисциплины В результате изучения студенты должны: знать: принципы проведения вычислительного эксперимента, характеристики вычислительных задач, источники погрешностей вычислений, основные методы и алгоритмы решения стандартных вычислительных задач; уметь: выбирать и разрабатывать численные алгоритмы решения вычислительных задач; разрабатывать программы для решения таких задач; иметь навыки: решения вычислительных задач с помощью современных математических пакетов. 1.4 Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины: 1) математика; 2) дискретная математика; 3) теория вероятности и математическая статистика; 4) информатика; 5) алгоритмические языки и программирование. 2 Программа лекционного курса 2.1 Введение в численные методы Предмет и история развития вычислительной математики. Этапы решения задачи на ЭВМ. Вычислительный эксперимент. Погрешности вычислительного эксперимента. Характеристики вычислительных задач. Устойчивые и неустойчивые, корректные и некорректные задачи. Примеры некорректных задач. Требования к вычислительным методам. Устойчивость, корректность, сходимость. Пример неустойчивого алгоритма. 2.2 Погрешности округления в ЭВМ Представление чисел в ЭВМ. Машинный нуль и машинная бесконечность. Абсолютная и относительная погрешности. Округление чисел в ЭВМ. Машинный эпсилон. Накопление ошибок округления. Классическая формула для погрешности суммы, разности, произведения и частного. Погрешности округления при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Погрешности суммы двух и нескольких чисел. Зависимость погрешности от порядка суммирования. Погрешности произведения двух и нескольких чисел. Алгоритм вычисления произведения чисел. Правила выполнения арифметических операций в ЭВМ. Статистические оценки погрешностей. Примеры организации вычислений. 2.3 Вычисление значений функций Вычисление значений полинома. Схема Горнера. Вычисление элементарных функций в ЭВМ. Способы вычисления. Показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции. Вычисление квадратного корня. 2.4 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Классификация и характеристики методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Прямые и итерационные методы. Методы Крамера, обратной матрицы. Метод Гаусса (схема единственного деления). Метод Гаусса с выбором главного элемента. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса. Метод прогонки. Погрешности решения СЛАУ. Нормы векторов и матриц. Оценка погрешностей. Число обусловленности. Оценка числа обусловленности. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций (метод Якоби). Условия сходимости. Оценка числа итераций. Метод Зейделя. 2.5 Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным Прямые и итерационные методы решения. Число корней нелинейных уравнений. Отделение корней. Методы уточнения корней. Метод дихотомии. Метод хорд. Метод Ньютона (касательных). Условия и скорость сходимости метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона и метод секущих. Последовательный поиск корней алгебраического уравнения. Нахождение комплексных корней. 2.6 Решение систем нелинейных уравнений Существование, число и характер решений систем нелинейных уравнений (СНУ). Ряд Тейлора для функций многих переменных. Метод простой итерации. Метод Ньютона. Условия сходимости метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. 2.7 Моделирование случайных величин Основные характеристики случайных величин. Получение случайных величин на ЭВМ. Генераторы случайных чисел. Метод Монте-Карло. Применение метода Монте-Карло для вычисления определенных интегралов. 2.8 Аппроксимация функций Понятие приближения функций. Применение аппроксимации функций в САПР. Критерии близости функций. Оптимальная аппроксимация. Классификация задач аппроксимации. Интерполяция функций. Задача линейной интерполяции. Линейная полиномиальная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяция тригонометрическими полиномами. Свойства интерполяционных моделей. Погрешность интерполяции. Многочлены Чебышева. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Сходимость интерполяции. Теорема Фабера. Локальная интерполяция. Применение глобальной и локальной интерполяции. Интерполяция с помощью сплайнов. Понятие сплайна. Построение кубического сплайна. Основные соотношения. Применение сплайнов. Дискретная среднеквадратичная аппроксимация. Свойство сглаживания. Получение и решение нормальных уравнений. Применение среднеквадратичной аппроксимации. Наилучшая равномерная аппроксимация. Теорема Чебышева. Теорема Валле-Пусена. Итерационный алгоритм нахождения наилучшего равномерного приближения. Применение наилучшей аппроксимации. Аппроксимация методом разложения в степенной ряд. Многочлен Тейлора. Погрешность приближения многочленом Тейлора. 2.9 Численное дифференцирование и интегрирование Прямое вычисление производных. Левая, правая и центральная разностные производные. Ошибки численного дифференцирования. Применение интерполяции. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Ошибки численного интегрирования. Выбор шага интегрирования. Учебно-методические материалы по дисциплине Основная литература - Бабак Л.И. Вычислительные методы. Курс лекций (части 1 и 3). - Томск: ТУСУР, 2002. - Черкашин М.В. Вычислительные методы. Курс лекций (часть 2). - Томск: ТУСУР, 2002. - Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с. - Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2000. – 266 с. - Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с. - Турчак Л.И. Основы численных методов. – М., Наука, 1987. – 320с. - Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М., Наука, 1984. - Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М., Наука, 1989. – 432с. - Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М., Высшая школа, 1990. – 544с. Дополнительная литература - Волков Е.А. Численные методы. – М., Наука, 1987. – 248с. - Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М., Мир, 1977. - Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М., Мир, 1988. –575с. - Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с. Методические указания и прочие учебно-методические материалы - Потемкин В.Г. Система MATLAB: Справочное пособие – М., Диалог –МИФИ, 1997. –352с. - Потемкин В.Г. MATLAB 5 для студентов. – М., Диалог –МИФИ, 1998. –314с. - Черкашин М.В. Система для математических и инженерных расчетов MATLAB: Учебное пособие. - Томск: ТУСУР, 2002. - Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1998, - 383 с. 3 Контрольные работ ы 3.1 Общие указания Студентам необходимо выполнить две контрольных работы по курсу. Вариант контрольной работы выбирается согласно формуле N в =(N *k ) div 100, где N в – искомый номер варианта; N – общее число возможных вариантов (N =10); k – две последних цифры пароля (число от 00 до 99); div – операция целочисленного деления. Если получается N в =0, то берется 10 вариант. Студент выполняет вариант с одним и тем же номером во всех контрольных работах. Ответы даются письменно или в электронном варианте с использованием тестового редактора MS Word. При решении задач необходимо полностью приводить ход решения. Ответ на задачу пишется отдельной строкой под решением. Везде, где возможно, следует выполнять проверку полученного ответа. 3.2 Контрольная работа № 1 Контрольная работа № 1 выполняется после изучения разделов 2.1–2.4 и содержит 6 вопросов. 3.2.1 Пример решения типового варианта Задача 1 Округлить по правилу симметричного округления число а* =3,1415926 последовательно до тысячных, сотых и десятых. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности каждого результата. Решение : При симметричном округлении за предельную абсолютную погрешность приближенного числа a принимается половина единицы последнего сохраняемого разряда числа. Таким образом, при симметричном округлении числа а* =3,1415926 получим следующий результат: а 1 =3,1 – предельная абсолютная погрешность равна (а 1 )=0,05; а 2 =3,14 – предельная абсолютная погрешность равна (а 2 )=0,005; а 3 =3,142– предельная абсолютная погрешность равна (а 1 )=0,0005; Предельную относительную погрешность числа можно определить по формуле: . Для нашей задачи получим: ; ; . Задача 2 С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять число arcsin(1), чтобы относительная погрешность была не более 0,1%? Решение : Вначале вычислим: а * =arcsin(1)=p/2»1,57079 … По значению предельной относительной погрешности (а* )=0,1 %=0,001 найдем предельную абсолютную погрешность числа а* : (a* ) = a* × (а * ) = 1,57079…×0,001 » 0,00158. (по правилу округления предельной погрешности, последнюю сохраняемую цифру числа увеличиваем на единицу). Представим число а * в виде а* = 1,57079… = 1×100 + 5×10–1 + 7×10–2 + 0×10 –3 + 7×10–4 + 9×10–5 + … и составим таблицу Цифра 1 5 7 0 7 9 … Единица разряда 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 … Половина единицы разряда 0,5 0,05 0,005 0,0005 0,00005 0,000005 … Сравнивая для каждой цифры половину единицы разряда с абсолютной погрешностью числа (a* ) = 0,00158, получим, что а * следует записать в виде а =1,57. Проверка : < 0,1 %. Ответ : arcsin(1)=1,57 – число верных знаков (в узком смысле) равно 3. Задача 3 Найти допустимые абсолютные погрешности аргументов и , которые позволяют вычислить функцию f с точностью (f ) = 0,2 %: Решение : Значение функции при x 1 =2,4563 и x 2 =0,8473 равно f (x 1 , x 2 ) » 2,59833. Предельную абсолютную погрешность (f ) можно оценить следующим образом: (f ) = | (f ) × f (x 1 , x 2 ) | = 0,002×2,59833 » 0,0051967 = 0,006 (опять при округлении последнюю сохраняемую цифру погрешности увеличиваем на единицу). Используя принцип равных влияний для предельных абсолютных погрешностей аргументов заданной функции, получим: ; . Таким образом, величины аргументов x 1 =2,4563 и x 2 =0,8473 следует брать с предельными абсолютными погрешностями (x 1 ) = 0,005 и (x 2 ) = 0,0085. Ответ : (x 1 ) = 0,005; (x 2 ) = 0,0085. Задача 4 Для матрицы вычислить число обусловленности cond(A ). Решение : число обусловленности можно найти по формуле cond(A )=||A ||×||A –1 ||, где ||A || – норма матрицы А ; ||A –1 || – норма обратной матрицы A –1 . Найдем обратную матрицу, используя метод алгебраических дополнений. Обратную к матрицу A –1 можно получить по формуле , где D – определитель матрицы А ; А ij – алгебраическое дополнение элемента a ij . А ij = (–1)(i +j ) ×M ij , где M ij – минор элемента a ij , т.е. определитель (n –1)-го порядка, получаемый из определителя D вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. Для нашей задачи D=1×4 – 2×3= –2. А 11 =(–1)1+1 ×4 = 4; А 12 =(–1)1+2 ×3= –3; А 21 =(–1)2+1 ×2= –2; А 22 =(–1)2+2 ×1=1. Отсюда получим обратную матрицу . Используя разные нормы матриц (¥-норму и 1-норму), найдем число обусловленности матрицы А . а) ¥-норма: – максимальная сумма модулей элементов строк. Для нашей задачи: ||A ||¥ = max{ | 1 |+| 2 |, | 3 |+| 4 | } = max{ 3, 7 } = 7; ||A –1 ||¥ = max{ | –2 |+| 1 |, | 1,5 |+| –0,5 | } = max{ 3, 2 }=3. б) 1-норма: - максимальная сумма элементов столбцов. Для нашей задачи: ||A ||1 = max{ | 1 |+| 3 |, | 2 |+| 4 | } = max{ 4, 6 } = 6; ||A –1 ||1 = max{ | –2 |+| 1,5 |, | 1 |+| –0,5 | } = max{ 3,5, 1,5 }=3,5. По полученным нормам рассчитаем число обусловленности матрицы cond(A ) = ||A ||¥ ×||A –1 ||¥ = 7×3 = 21; cond(A ) = ||A ||1 ×||A –1 ||1 = 6×3,5 = 21. Ответ : число обусловленности равно cond(A )=21. Задача 5 Решить систему методом Гаусса с выбором главного элемента в строке: Решение : 1 Прямой ход Первый шаг : а) выполним выбор главного элемента в 1-м столбце, получим новую систему перестановкой 1-й и 2-й строк в исходной СЛАУ. б) для исключения переменной x 1 из второго уравнения умножим первое уравнение на коэффициент и сложим его со вторым уравнением: 2 x 1– x 1+ x 2– x 2+ x 3– x 3= 0 – . Теперь упростим: 0 x 1+ x 2+ x 3=0+2; 0 x 1+0,6 x 2+1,4 x 3=2. в) для исключения x 1 из третьего уравнения умножим первое уравнение на коэффициент и сложим его с 3-м уравнением: –2 x 1+ x 1+ x 2+ x 2–2 x 3+ x 3=1+ ; 0 x 1+ x 2+ x 3=1–2; 0 x 1+1,4 x 2– 2,4x 3= –1. В результате этих преобразований после первого шага получим: . Видно, что коэффициенты при x 1 во втором и третьем уравнении равны нулю. Второй шаг : а) выполним выбор главного элемента во втором столбце (первую строку не трогаем), получим новую систему перестановкой 2-й и 3-й строк системы. в) теперь с помощью второго уравнения можно исключить переменную x 2 из третьего уравнения системы. Умножим второе уравнение на коэффициент и сложим его с 3-м уравнением: 0,6 x 2+ x 2+1,4 x 3+ x 3=2+ ; 0 x 2+2,4286 x 3=2,4286. В результате получаем следующую систему с треугольной матрицей коэффициентов: 2 Обратный ход Вторая часть метода Гаусса, называемая обратным ходом, заключается в последовательной подстановке найденных переменных x 3 и x 2 во второе и первое уравнения СЛАУ и их решения. Первый шаг : а) находим значение переменной x 3 из последнего уравнения x 3=2,4286/2,4286=1; б) подставляем полученное значение x 3 во второе уравнение системы: 0 x 1+1,4 x 2–2,4×1=–1, решая которое, получим значение x 2=(–1+2,4)/1,4 = 1. Второй шаг : Подставляем найденные значения x 3 и x 2 в первое уравнение системы: 5 x 1+1×1–1×1= –5; x 1= (–5)/5= –1; x 1= –1. В результате получаем решение заданной системы линейных уравнений x =[–1, 1, 1]t . Проверка : Ответ : вектор неизвестных равен x =[–1, 1, 1]t . Задача 6 Решить систему итерационным методом Гаусса-Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса. (При необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Решение : Приведем исходную систему уравнений к виду, необходимому для выполнения итерационного процесса. Для этого выразим неизвестные x 1 , x 2 и x 3 из первого, второго и третьего уравнений СЛАУ. Получим: В матричном виде приведенная система имеет вид x = x + , где ; . Проверим условие сходимости итераций. Исходная система не отвечает условиям диагонального преобладания ; . (*) Следовательно, достаточное условие сходимости не выполняется. Исследуем также сходимость метода, используя нормы матрицы для приведенной системы: а) ¥-норма: =max{(0+ + ); (2+0+4); (0+2+0)}= = max{ ; 6; 2} = 6. б) 1-норма: =max{(0+2+0); ( +0+3); ( +4+0)}= =max{2; ; } = 4,33. Так как обе нормы больше 1, то достаточное условие сходимости итерационного процесса || || < 1 не выполняется. Преобразуем исходную систему таким образом, чтобы получить матрицу А с преобладающими диагональными элементами. Для этого переставим местами 2 и 3 строки: Проверим условия сходимости (*): для строк матрицы А : | 3 | > | 1 | +| 1 |; | –2 | > | 0 | +| 1 |; | 4 | > | 2 | +| –1 |; для столбцов матрицы А : | 3 | > | 0 | +| 2 |; | –2 | = | 1 | +| –1 |; | 4 | > | 1 | +| 1 |. Так как одна из групп неравенств (*) (для строк) выполняется со строгим знаком неравенства, система удовлетворяет достаточному условию сходимости. Приведем полученную СЛАУ к итерационному виду. Получим следующую систему В матричном виде приведенная система имеет вид x = x + , где ; . Покажем, что и для приведенной системы условия сходимости выполняются. Вычислим нормы матрицы : а) ¥-норма: =max{(0+ + ); (0+0+ ); ( ++0)}= = max{ ; ; } = 0,75. б) 1-норма: =max{(0+0+ ); ( +0+ ); ( ++0)}= =max{ ; ; } = 0,83. Как и следовало ожидать, в данном случае условие сходимости выполняется и по ¥-норме и по 1-норме. Выполним 3 шага итерационного процесса. В качестве начального приближения возьмем вектор свободных членов преобразованной системы: . На каждом шаге оценим ошибку решения по формуле . 1-е приближение: = = ×max{½2–1,5875½; ½1,5–1,375½; ½–0,25+0,7½}= = 3×max{0,4125; 0,125; 0,45}=1,35. 2-е приближение: = =3×max{½1,773–1,5875½; ½1,15–1,375½; ½0,8511+0,7½}= = 3×max{0,1898; 0,2250; 0,1511}=0,675. 3-е приближение: = =3×max{½1,9014–1,773½; ½1,0744–1,15½; ½–0,9321+0,8511½}= = 3×max{0,1241; 0,0756; 0,081}=0,3723. Итак, полученное решение х = [1,9014, 1,0744, –0,9321]Т . Ошибка решения e3 £0,3723. Проверка : подставим найденный вектор х в исходную СЛАУ: Полученный вектор свободных членов близок к заданному вектору . Замечание : Точное решение данной системы уравнений равно х * = [2, 1, –1]Т . Ответ : решение исходной системы уравнений равно х = [1,9014, 1,0744, –0,9321]Т . 3.2.2 Варианты контрольной работы № 1 Вариант №1 Представить число 8912,342 в виде десятичной дроби (разложить по степеням числа 10). Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а , если известна его предельная относительная погрешность : . Вычислить выражение и найти предельные абсолютную и относительную погрешности. В ответе сохранить все верные цифры и одну сомнительную. Все исходные числа даны с верными знаками в узком смысле. . Для матрицы А вычислить обратную матрицу (использовать алгебраические дополнения элементов матрицы). Убедиться, что . . Решить СЛАУ методом простой итерации, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце: Вариант №2 Определить абсолютную погрешность D(а) приближенного числа а по его относительной погрешности d(а): . Округлить сомнительные цифры числа а , оставив в нем верные знаки в узком смысле: . Вычислить выражение и найти предельные абсолютную и относительную погрешности. В ответе сохранить все верные цифры и одну сомнительную. Для матрицы А вычислить нормы , , : . Решить СЛАУ методом обратной матрицы. Найти число обусловленности системы уравнений. Оценить возможное отклонение от полученного решения, если допустить относительную ошибку в левой части (использовать любую из норм). Решить СЛАУ методом Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Вариант №3 Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а , если известна его предельная абсолютная погрешность : . Округлить сомнительные цифры числа а , оставив в нем верные знаки в узком смысле, если и предельная относительная погрешность . Определить относительную погрешность вычисления объема цилиндра V , если погрешность измерения радиуса основания R равна 1% и погрешность измерения высоты H равна 1%. Найти произведение , если: а) ; б) . Решить систему уравнений: а) обычным методом Гаусса (схема единственного деления); б) методом Гаусса с выбором главного элемента. Все вычисления производить с точностью до 4-х значащих цифр. Вычислить число обусловленности системы уравнений (использовать любую из норм), сделать выводы. Показать, что для СЛАУ процесс решения по методу Зейделя сходится. Определить необходимое число итераций для нахождения корней системы с точностью до . Вариант №4 Найти предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа а , если оно имеет только верные знаки в узком смысле: . Определить, какое из измерений выполнено точнее – 80 км с ошибкой 20 м или 8 см с ошибкой 2 мм (сравнить относительные погрешности измерений). При измерении радиуса R круга с точностью до 0,5 см получилось число 12 см. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности при вычислении площади круга. Найти произведение , если: Вычислить определитель методом Гаусса: . Решить СЛАУ методом простой итерации, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Вариант №5 Округлить по правилу симметричного округления число 2,1514 последовательно до тысячных, сотых и десятых. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности каждого результата. С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять числа arctg(6) и ln(30), чтобы относительная погрешность была не более 0,1%? Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба. Решить СЛАУ по методу обратной матрицы: Вычислить обратную матрицу методом Гаусса: . Решить СЛАУ методом Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Вариант №6 Определить, какое из приближенных равенств точнее (более точным является то равенство, предельная относительная погрешность которого меньше): . С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять числа arctg(9) и ln(45), чтобы относительная погрешность была не более 0,1% ? Найти предельные абсолютную и относительную ошибки при вычислении напряжения U по закону Ома ( ), если ток I равен и сопротивление R равно 10 Ом с точностью 10%. Для матрицы А вычислить обратную матрицу (использовать алгебраические дополнения элементов матрицы). Убедиться, что . . Решить систему уравнений методом прогонки: Показать, что для СЛАУ процесс решения по методу Зейделя сходится. Определить необходимое число итераций для нахождения корней системы с точностью до . Вариант №7 Определить абсолютную погрешность D(а) приближенного числа а по его относительной погрешности d(а): . Определить, какое из измерений выполнено точнее – 100 км с ошибкой 30 м или 9 см с ошибкой 4 мм (сравнить относительные погрешности измерений). Реактивное сопротивление емкости (в Омах) задается формулой , где f – частота в герцах, С – емкость в фарадах. Указать границы возможных значений для Гц и 4. Для матрицы А вычислить нормы , , : . Решить систему уравнений: а) обычным методом Гаусса (схема единственного деления); б) методом Гаусса с выбором главного элемента. Все вычисления производить с точностью до 4-х значащих цифр. Вычислить число обусловленности системы уравнений (использовать любую из норм), сделать выводы. Решить СЛАУ методом простой итерации, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Вариант №8 Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а , если известна его предельная абсолютная погрешность : . Определить, какое из приближенных равенств точнее (более точным является то равенство, предельная относительная погрешность которого меньше): . С какой точностью следует определить радиус основания R и высоту H цилиндрической банки, чтобы ее вместимость можно было вычислить с точностью 1% ? Найти произведение , если: ; . Решить СЛАУ методом обратной матрицы. Найти число обусловленности системы уравнений. Оценить возможное отклонение от полученного решения, если допустить относительную ошибку в левой части (использовать любую из норм). Решить СЛАУ методом Зейделя, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). Вариант №9 Представить число 6834,148 в виде десятичной дроби (разложить по степеням числа 10). Определить количество верных цифр в узком и широком смысле для приближенного числа а , если известна его предельная относительная погрешность : . Найти допустимые абсолютные погрешности аргументов и , которые позволяют вычислить значения функции f с 4 верными знаками: Найти произведение , если: Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента в столбце: Показать, что для СЛАУ процесс решения по методу Зейделя сходится. Определить необходимое число итераций для нахождения корней системы с точностью до . Вариант №10 Округлить сомнительные цифры числа а , оставив в нем верные знаки в узком смысле: . Найти предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа а , если оно имеет только верные знаки в узком смысле: . С каким числом верных знаков в узком смысле следует взять значения аргумента х , чтобы получить значение функции f с точностью 0,1%: Решить СЛАУ по методу обратной матрицы: Вычислить определитель методом Гаусса: . Решить СЛАУ методом простой итерации, сделать 3 шага итерационного процесса (при необходимости для выполнения условий сходимости сначала преобразовать систему). 3.3 Контрольная работа № 2 Контрольная работа № 2 выполняется после изучения разделов 2.5–2.9 и содержит 5 вопросов. 3.3.1 Пример решения типового варианта Задача 1 Вычислить методом секущих корень уравнения в интервале [–3, 0]. Сделать три итерации. f (x ) = x 2 +2x –1=0. Решение : Выполним отделение корней на заданном интервале. Для этого рассчитаем значение заданной функции в интервале от –3 до 0 с шагом 0,5. Результат показан в таблице ниже. x –3,0 –2,5 –2,0 –1,5 –1,0 –0,5 0 f (x )= x 2 +2x –1 2,0 0,25 –1,0 –1,75 –2,0 –1,75 –1,0 Из таблицы видно, что искомый корень лежит в интервале [–2,5, –2,0]. Дальнейшее уточнение корня выполним методом секущих. Итерационная формула метода секущих имеет следующий вид . В качестве начального приближения возьмем левую границу и середину найденного интервала, т.е. х (0) = –2,5, х (1) = (–2,5+(–2,0))/2 = –2,25. 1-я итерация: 2-я итерация: 3-я итерация: Проверка : f (x (4) ) = (–2,4142)2 + 2×(–2,4142) – 1 » –3,84×10–5 . Ответ : найденный корень равен x »–2,4142. Задача 2 Функция y = f (x ) задана таблично. Найти коэффициенты интерполирующего полинома непосредственно из условий интерполяции. Рассчитать значение первой производной в точке 2,5. i 0 1 2 x 1 2 3 y –5 –8 –12 Решение : Интерполирующий полином имеет следующий вид: P n (x ) = C 0 +C 1 x + C 2 x 2 . Для нахождения коэффициентов C 0 , C 1 , C 2 составим следующую систему уравнений, используя условие интерполяции P n (x i )= y i , : C 0 +C 1 x 0 + C 2 x 0 2 = y 0 C 0 +C 1 x 1 + C 2 x 1 2 = y 1 C 0 +C 1 x 2 + C 2 x 2 2 = y 2 или в матричном виде Þ AC =B , где – вектор искомых коэффициентов полинома. Подставляем значения x i и y i из таблицы, получим , т.е. . Решение данной системы можно выполнить методом обратной матрицы. Вектор искомых коэффициентов найдем по формуле C =A –1 B : . Таким образом, интерполирующий полином будет иметь следующий вид P n (x ) = –3 – 1,5 x – 0,5 x 2 . Проверка : P n (x 0 ) = P n (1) = –3 – 1,5×1 – 0,5×12 = –5; P n (x 1 ) = P n (2) = –3 – 1,5×2 – 0,5×22 = –8; P n (x 2 ) = P n (3) = –3 – 1,5×3 – 0,5×32 = –12. Видно, что полученный полином проходит через заданные точки (x i , y i ). Получим значение первой производной: P' n (x ) = – 1,5 – x . Значение производной в точке x =2,5 равно P' n (2,5) = – 1,5 – 2,5 = –4. Ответ : значение производной равно (2,5) » P' n (2,5) = –4. Задача 3 Для функции y = f (x ), заданной таблицей, с помощью метода наименьших квадратов (МНК) найти коэффициенты аппроксимирующей функции в виде P n (x ) = C 0 +C 1 x i 0 1 2 x 1 2 3 y 2 3 6 Решение : В методе наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов разностей между значениями функции = C 0 +C 1 x и измеренными значениями y i в точках x i , : . В нашем случае число точек равно 3, т.е. n =2. Тогда . Дифференцируя функцию ошибки по переменным С 0 , С 1 , получим систему уравнений следующего вида: В матричном виде эту систему можно записать как или AC =B . Для решения данной системы используем правило Крамера: , , где D – определитель матрицы коэффициентов A = ; D0 – определитель матрицы , полученной из исходной матрицы коэффициентов A заменой первого столбца вектором свободных членов B . D1 – определитель матрицы , полученной из исходной матрицы коэффициентов A заменой второго столбца вектором свободных членов B . Следовательно, решением данной системы уравнений будет ; Замечание : При преобразовании формул следует правильно выполнять действия с величинами, входящими под знак суммы. В частности, необходимо иметь в виду, что , и т.д. В случае сомнений рекомендуется проверить преобразования, раскрывая знаки сумм при небольшом числе слагаемых. Например, раскрывая первую из приведенных формул при числе слагаемых n =2, легко убедиться, что . Подставляя в полученные выражения значения x i и y i из таблицы, получим: ; . Таким образом, аппроксимирующая функция будет иметь следующий вид: j(x ) = –0,3333 + 2 x . Проверка : для проверки построим график функции j(x ) = –0,3333 + 2 x и нанесем на него точки (x i , y i ). Ответ : аппроксимирующая функция имеет вид j(x ) = –0,3333 + 2 x . Задача 4 Функция y = f (x ) задана таблицей. В точке x =0,2 найти значения по формулам левой, правой и центральной разностных производных, а также f'' (x ). x 0,15 0,20 0,25 y 0,0034 0,0080 0,0156 Решение : Аппроксимация первой производной по формуле левых разностных производных (ЛРП) имеет следующий вид: Отсюда получим . Аппроксимация первой производной по формуле правых разностных производных (ПРП) имеет следующий вид: Отсюда получим . Аппроксимация первой производной по формуле центральных разностных производных (ЦРП) имеет следующий вид: Отсюда получим . Приближенное значение производной второго порядка получим следующим образом. Представим вторую производную с помощью правой разности: , а производные первого порядка y' i +1 и y' i – c помощью левых разностей: и окончательно получим . Для нашей задачи вторая производная равна . Замечание : Существенные отличия левой, правой и центральной разностных производных связаны с большой величиной шага h . Ответ : левая разностная производная: y' (0,2) = 0,092; правая разностная производная: y' (0,2) = 0,152; центральная разностная производная: y' (0,2) = 0,122; вторая производная: y'' (0,2) = 1,2. Задача 5 Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона (взять 5 значений подынтегральной функции, т.е. число подинтервалов n =4). Рассчитать оценки погрешности вычислений интеграла, сравнить с действительными погрешностями. Решение : Выполним разбиение интервала интегрирования на 4 части и рассчитаем значение функции в узлах. Результаты представим в виде таблицы. i 0 1 2 3 4 xi 0 0,25 0,5 0,75 1,0 уi =f (xi ) 2,0 2,2188 3,0 4,5312 7,0 а) Метод средних прямоугольников. Формула вычисления интеграла функции f (x ) по методу средних прямоугольников имеет следующий вид , где . Вычислим значения функции в середине выбранных интервалов и результаты сведем в таблицу x срi 0,125 0,375 0,625 0,875 у срi =f (x срi ) 2,0508 2,5273 3,6602 5,6367 Значение искомого интеграла по формуле прямоугольников будет равно: I пр =0,25×(2,0508+2,5273+3,6602+5,6367)=3,4688. Погрешность метода прямоугольников можно оценить по формуле , где . Для нашего случая имеем: h =0,25; (x )=6x 2 + 6x ; (x )=12x + 6; . Следовательно . б) Метод трапеций. Формула вычисления интеграла функции f (x ) по методу трапеций имеет следующий вид = = 0,25×((2,0+7,0)/2+2,2188+3,0+4,5312)=3,5625. Погрешность метода трапеций можно оценить по формуле 0,0938. в) Метод Симпсона. Формула вычисления интеграла функции f (x ) по методу Симпсона имеет следующий вид (n – должно быть четным числом) , где s1 = f (x 1 ) + f (x 3 ) +…+ f (x n –1 ); s2 = f (x 2 ) + f (x 4 ) +…+ f (x n –2 ) Для нашей задачи формула Симпсона примет следующий вид » = = 0,25/3×(2,0+7,0+4×(2,2188+4,5312)+2×3,0)=3,5. Погрешность метода Симпсона можно оценить по формуле 0, где . Четвертая производная заданной функции f (x )=2x 3 + 3x 2 + 2 равна нулю, т.е. M 4 =0. Проверка : Точное значение интеграла равно . Следовательно, истинные значения ошибок будут равны: а) метод прямоугольников e=| I – I пр | = | 3,5 – 3,4688 | = 0,0312; б) метод трапеций e= | I – I тр | = | 3,5 – 3,5625 | = 0,0625; в) метод Симпсона e= | I – I c | = | 3,5 – 3,5 | = 0. Таким образом, оценки ошибок близки к действительным ошибкам вычисления интеграла. 3.3.2 Варианты контрольной работы № 2 Вариант №1 Вычислить методом дихотомии (деления отрезка пополам) корень уравнения в интервале . Сделать три итерации. Функция интерполируется на интервале [2; 4] полиномом 1) Найти оптимальные (чебышевские) узлы интерполяции. 2) Оценить ошибку интерполяции при таких узлах. 3) Выполнить интерполяцию и сравнить оценку с действительной ошибкой в точке . Экспериментально получена зависимость дальности приема радиосигнала D от интенсивности осадков I : I , мм/час 10 30 50 70 D , км 100 60 30 20 С использованием МНК найти приближенную зависимость D (I ) в виде квадратного трехчлена. Функция задана таблицей. В точке найти значения и по формулам левой, правой и центральной разностных производных. x 1,00 1,10 1,20 y 2,7183 3,0042 3,3201 Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона (взять 5 значений подынтегральной функции, т.е. ). Рассчитать оценки погрешности вычислений интеграла, сравнить с действительными погрешностями. Вариант №2 Вычислить методом хорд корень уравнения в интервале . Сделать три итерации. Методом интерполяции найти первую производную функции в точке . Функция задана числовыми значениями. Указание: вначале найти интерполирующий полином. x 2 4 6 y 1