Главная      Учебники - Разные     Лекции (разные) - часть 12

 

Поиск            

 

Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления > Технологическая схема введения понятия числа Заключение

 

             

Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления > Технологическая схема введения понятия числа Заключение

Содержание

Введение _______________________________________________3

Глава I . Системы счисления

1.1. Исторические вопросы возникновения чисел и систем счисления

1.2.Позиционные и непозиционные системы счисления

1.3. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними

Глава II . Психолого-педагогические основы введения систем счисления

2.1. Психологические основы введения систем счисления в начальной школе.

2.2. Развитие познавательного интереса при обучении математики.

Глава 3. Методика и технология введения систем счисления в начальной школе

3.1. Введение элементов систем счисления в начальной школе

3.2 Преемственность в изучении систем счисления в

математики и информатики в начальной школе

3.3. Методика ознакомления младших школьников с нумерацией многозначных чисел и системой счисления

3.4. Технологическая схема введения понятия числа

Заключение

Литература

Приложения

Введение

В настоящее время, когда весь мир вступает в эпоху математизации научного знания, в эпоху широкого применения ЭВТ, математике отводится ответственная роль в развитии и становлении активной, самостоятельно мыслящей личности, готовой конструктивно и творчески решать возникающие перед обществом задачи. Именно математика вносит большой вклад в развитие логического мышления детей, воспитание таких важных качеств научного мышления, как критичность и обобщенность, формирует логически обоснованную гипотезу и т.д. математика воспитывает и такие качества ума и речи, как точность, четкость и ясность.

Цели начального обучения математике и содержания курса определяют основные особенности его изучения. Так, решение главной задачи начального курса математики – формирование прочных вычислительных навыков проводится в тесной взаимосвязи с развитием математического мышления детей, их познавательной самостоятельности. В процессе формирования вычислительных навыков решение тренировочных примеров дополняется заданиями логического, познавательного характера, нацеливающими детей на проведение наблюдений, сравнений, анализа рассматриваемых математических выражений и примеров, что ведет к установлению причинно-следственных связей и закономерностей, способствует осознанию практической значимости операций сравнения и анализа.

Человеку очень часто приходится иметь дело с числами, поэтому нужно уметь правильно называть и записывать любое число, производить действие над числами. Как правило, мы успешно справляемся с этим. Помогает здесь способ записи чисел, который в настоящее время используется повсеместно и носит название десятичной системы счисления.

Изучение этой системы начинается в начальных классах, и, конечно, учителю нужны определенные знания в этой области. Он должен знать различные способы записи чисел, алгоритмы арифметических действий и их обоснование. Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же и возникло необходимость в названии и записи чисел. Язык для наименования, записи и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Успешность изучения математики и формирования прочных вычислительных навыков зависит от качества усвоения детьми арифметических действий в пределах 1000, нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие нашей системы счисления.

Актуальность проблемы заключается в том, что выработка осознанных и прочных навыков письменных вычисленных явлений одной из основных задач изучения систем счисления.

Объектом исследования является процесс обучения математике младших школьников.

Предметом исследования является методика ознакомления младших школьников с системой счисления.

Проблема нашей работы состоит в том, что десятичная система счисления изучается на уроках математики, а другие системы счисления рассматриваются на уроках информатики. В связи с этим, цель нашего исследования – показать необходимость использования систем счисления в курсе математики начальной школы, их роль в развитии математического мышления младших школьников.

В соответствии с целью, в данной работе поставлены следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.

2. Раскрыть теоретические основы систем счисления.

3. Разработать методы и приемы ознакомления младших школьников с системами счисления.

В ходе исследования применялись такие методы:

1. Теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы.

2. Обобщение передового опыта учителей.

3. Беседа с учителями по проблеме исследования.

4. Использование средств ознакомления на практике с целью выявления их эффективности.

Исследовательская работа проводилась в три этапа :

I этап – ознакомление с психолого-педагогической литературой, обоснование темы;

II этап – опытно-экспериментальная работа в школе;

III этап – обобщение результатов исследования, определение плана и содержания данной работы, который состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней раскрыты понятия и содержание работы по ознакомлению младших школьников с системами счисления.

Практическая значимость исследования состоит в том, что в ней показана методика работы по ознакомлению младших школьников с системами счисления, которая может использоваться как опытными, так и начинающими учителями.

Глава I . Исторические вопросы возникновения чисел и системы счисления.

1.1. Исторические вопросы возникновения чисел

Покупатель, приходя в магазин, видит товары самой разной стоимости: есть очень дешевые, есть непомерно дорогие. Чтобы упростить расчеты при покупке, Центральный Банк выпускает денежные знаки различного достоинства. Когда фотограф или аптекарь для приготовления нужного ему раствора взвешивает порошки, он использует специальные аптекарские весы и набор гирек разной массы. Точно так же из базовых элементов, или ключевых чисел, строится любая числовая система.

Если при взвешивании порошка аптекарь положил на чашу весов две гирьки по 50г, одну гирьку в 2г, то вес порошка составил 2х50г+1х5г+1х2г=107г. Но и сама запись числа 107 связана со специальной числовой базой, а именно 1,10,100,… Так, цифра 1 задает число сотен, о – число десятков, 7 – число единиц. Элементы числовой базы, или ключевые числа, в данном случае представляют собой степени десяти: 1=100 , 10=101 , 100=102 , 1000=103 и т.д. В десятичной системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого ряда единиц, тем большую солидность и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления. Сейчас десятичная система счисления применяется почти повсеместно. Но и теперь есть еще племена, которые довольствуются при счете пальцами одной руки. У них система счета оказалась пятеричной. В странах, где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20, поэтому довольно большое распространение получила двадцатеричная система счисления. Самым серьезным соперником десятеричной системы оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, то есть группы из 12 предметов. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например, ножи, вилки, ложки продают дюжинами. В столовой сервиз, как правила, входит 12 тарелок, 12 чашек, 12 блюдец. Победа над всеми соперницами объясняется тем, что у человека на каждой руке по 5 пальцев. Было бы их по шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, - мы считали бы парами. Но странные повороты делает история! Именно двоичная система счисления счета оказалась самой полезной для современной техники, на основе двоичной арифметики работают современные ЭВМ.

Различные способы счета и нумерации

Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была самая уважительная – они не умели писать. Поэтому, если кому-нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где участвовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках, рисункам на мягкой глине и т.д. такие знаки уже нельзя было перекладывать с места на место, убирать одни и добавлять другие. Вместо этого приходилось думать, мысленно выполнять операции над знаками.

Но все же это еще не была настоящая арифметика. Знаки на глине обозначали не числа, а предметы – головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С этим еще можно было мириться. Пока учет велся в пределах одного хозяйства, одной деревни. Но когда возникли государства, старые методы обозначения стали негодными. Для записи больших чисел уже нельзя было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.

И вот примерно 5 тысяч лет тому назад было сделано замечательное открытие. Люди догадались, что можно обозначать знаком не одну голову скота, а сразу десять или сто голов, не один мешок зерна. А сразу 6 или 60 мешков.

Например, египтяне обозначали десяток знаком (единицу они обозначало просто вертикальной черточкой , как это делаем и мы), десять десятков, то есть сотню – знаком .Появились знаки для тысячи - (цветок лотоса), десятка тысяч - (поднятый кверху палец), ста тысяч (сидящая лягушка) и миллиона (человек с поднятыми руками).

Чтобы написать какое-нибудь число, египетский писец бесхитростно писал столько раз знак j, сколько в этом числе тысяч, затем столько раз, сколько в оставшейся части сотен и т.д. запись. Показанная на таблице, означала, что в числе 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 7 единиц.

Писать много раз один и тот же знак, разумеется, весьма неудобно. Более экономичной является позиционная система записи чисел, где имеет значение не только начертание цифры, но и ее позиция, положение среди других цифр. Позиционная является современная система записи чисел, которую мы изучаем в школе. В позиционной системе счисления один и тот же знак может означать различные числа в зависимости от места (позиции) занимаемого этим знаком в записи числа. Например, в числе 18 цифра 8 означает 8 единиц, в числе 82 – 8 десятков или 8/0 единиц, а в числе 875 – 8 сотен или 800 единиц. Шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в середине века.

Интересны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки. Один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, но обозначать он их не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков в истории человечества, не додумался до … нуля!

Знакомясь в первом классе с числом 0, вряд ли кто-нибудь себе представлял, что это одно из величайших изобретений в математике. Только после того, как люди научились обозначать пропущенные разряды в позиционной записи чисел, они получили в руки могучее орудие познания природы. Без нуля не было бы современной математики, не было бы таких достижений человеческого разума, как вычислительные машины и космические корабли.

Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет тому назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов в середине числа. Писать нули в конце записи числа они не догадались.

В Индии примерно полторы тысячи лет тому назад нуль был присоединен к девяти цифрам и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы оно велико ни было. И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Приведу название некоторых больших чисел с указанием числа нулей после единицы.

Название класса

Число нулей

Запись числа

Степень

Тысяча

3

1 000

103

Миллион

6

1 000 000

106

Миллиард (биллион)

9

1 000 000 000

109

Триллион

12

1 000 000 000 000

1012

Квадриллион

15

1 000 000 000 000 000

1015

Квинтиллион

18

1000 000 000 000 000 000

1018

Индийской системой обозначений мы пользуемся до сих пор. Это не значит, что индийские цифры имели с самого начала современный вид. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, они много раз изменялись, пока приняли современную форму. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему записи чисел. Европейцы, в свою очередь, узнали ее от арабов. Поэтому наши цифры в отличие от римских, стали называться арабскими. Правильнее было бы называть их индийскими. Они употребляются в нашей стране, начиная примерно с XVII века.

Обычно вопросы исторического характера рассматриваются как некоторая необязательная, дополнительная часть курса и выносятся во внеклассную работу. В учебнике математики Л.Г. Петерсон во II классе подробно рассматривается материал, связанный с историей развития понятия числа. Дети должны в сжатой, сокращенной форме пройти и «пережить» весь тот исторический путь, который прошло человечество от операций с конкретными множествами предметов к числам и операциям над ними. Основные этапы этого пути отражены в учебнике И.Я. Депмана, Н.Я. Виленкина «За страницами учебника математики».

1.2. Введение элементов систем счисления в начальной школе.

Содержание учебного предмета, как известно, зависит от многих факторов – от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга необходимых знаний, так в отношении развития их интеллекта.

Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в частности математики, не соответствуют новым требованием жизни, уровню развития современных наук (например, математики) и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов.

Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики.

Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем – устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии – вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.

Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий – для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза. С I по IV класс дети решают следующие основные типы задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего арифметического и некоторые другие виды задач.

С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно – учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении – это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которой более «сложные» ситуации были бы связаны и с более «глубокими» пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей (от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр – углубление в систему собственно математических закономерностей – в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и краткое сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа.

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.

Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т. д. (отношение «больше», «меньше», «равно»). Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г. Гонина «Теоретическая арифметика» основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками [15, 12-15]. Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей [15, 14-19]. Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того, последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории «доматематических образований» (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы «доматематических образований» более существенна для развития собственно математического мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной» [24,17].

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по ее конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим основным требованиям:

· преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;

· давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;

· прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин ( связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);

· решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и других подсобных (в частности, электронных) средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.

Опыт конструирования новой программы по математике и ее экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.3 . Психологические основы введения систем счисления в начальной школе.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция отчетливо проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логическое и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими понятиями. Ниже специально рассматривается особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам-теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа – исходная ступень математической абстракции, что оно является основной для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число – основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности проистекают некоторые существенные недостатки приятных программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет – разные числовые системы, понятия о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причем в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не « числового» характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6-7 лет, на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах.

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективна.

На первый взгляд понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7-10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно- предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг [42] Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12-14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А+А1 =В) и операции, ей обратной (В-А1 =А). Сериация – это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже показывают, как от ее исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме – к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному, но и двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель – выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость , т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого» [42, 15].

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остается в В, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путем соответствующего перемещения собственного тела – и это уже другая форма преобразования, нежели обращение [42, 16].

В своих работах Ж. Пиаже показал, что эти преобразования возникают в начале в форме сенсо-моторных схем (с 10-12 мес.). Постепенная координация чувственно-двигательных схем, функциональная символика и языковое отображение приводят к тому, что через ряд этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до 11 и с 12 до 15 лет). Теперь ребенок может координировать все перемещения в одно по двум системам отсчета сразу – одна мобильная, другая неподвижная.

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими [42, 13]. Так, алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмом ума, подчиняющимся одной из форм обратимости

· инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

· координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

· операция может развиваться в двух направлениях;

· при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

· к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Факты «самостоятельного» развития ребенка (т.е. развития, независимо от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку преемственности основных групп, где топология является первой. У ребенка, по данным Ж. Пиаже, вначале складывается интуиция топологическая, а затем он ориентируется в направлении проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как отмечает Ж. Пиаже, при первых попытках рисования ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но прекрасно различает фигуры открытые и закрытые, положение «вне» или «внутри» по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до поры до времени расстояния) и т. д. ([17],стр. 23).

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7-8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 2 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «отношение – структура» но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного «порога», с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14-15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7-8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В «естественных» условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13-15 годам. Но нельзя ли «ускорить» их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7-8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7-11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще нем связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь структур детского мышления и обще алгебраических структур, хотя «механизм» этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь возможности!) для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме «от простых структур – к их сложным сочетаниям». Одним из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

Глава 2. Методика введения систем счисления в начальной школе.

2.1. Преемственность в изучении систем счисления в курсах математики и информатики в начальной школе

Одной из задач базового курса информатики в средней школе является ознакомление учащихся с принципами кодирования и представления информации в ЭВМ, в связи с чем важное значение имеет формирование представления о двоичной форме записи чисел. Пропедевтическую работу в этом направлении можно осуществлять уже в начальной школе. Для ознакомления учащихся начальных классов с двоичной системой счисления можно:

1) показать возможность записи натуральных чисел с помощью цифр 0 и 1;

2) познакомить с правилом чтения таких чисел;

3) научить сравнивать числа, записанные в двоичной системе счисления. Хотелось бы подчеркнуть, что при формировании понятия о двоичной системе счисления целесообразно опираться на соответствующие знания учащихся о десятичной системе счисления, обращая внимание на сходства и немногочисленные различия в построении указанных систем.

Сравним этапы построения десятичной и двоичной систем счисления.

1 этап Алфавит (цифры)

Десятичная система счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двоичная система счисления: 0, 1.

2 этап Построение и запись чисел. Число в любой системе счисления – конечное упорядоченное множество цифр из ее алфавита. Запись чисел производится простым приписыванием цифр слева направо.

3 этап Чтение чисел. Чтение чисел во всех системах счисления производится слева направо. В десятичной системе счисления каждый разряд в записи числа имеет свое название. Если значность числа не больше трех, называют последовательно каждую цифру, указывая ее разряд (используя общепринятые сокращения). Если значность числа больше трех, в его записи выделяют классы, затем читают числа каждого класса с указанием названия его единиц. В двоичной системе счисления разряды не имеют специальных названий. При чтении числа последовательно называют каждую цифру в его записи.

4 этап Построение числовых выражений и выражений с переменными. Составляются выражения из чисел, имен переменных и знаков арифметических операций.

5 этап Построение математических предложений. Составляются предложения из чисел, имен переменных, знаков арифметических операций и знаков бинарных отношений (<,>,=). 4 и 5 этапы выполняются в указанных системах счисления аналогичным образом. Алгоритмы сравнения натуральных чисел в двоичной и десятичной системах счисления также одинаковы.

Расшифруй послание: УКВИВИРП ИЛИВАТСОП ЕНМ.

2) Напиши, какое слово закодировано, воспользовавшись таблицей кодов «0» - 01101111; «м» - 01101101; «д» - 01100100

код – 01100100 01101111 01101101 слово?

3) Запиши слово «еж», воспользовавшись таблицей кодов «ж» - 01110110; «е» - 01100101. При ознакомлении с правилом записи чисел с помощью цифр 0 и 1 в данной программе используется методический прием, предложенный А.Лельевр. Необходимо обуть в сапожки цаплю, Чиполлино, собачку и осьминога (каждый персонаж иллюстрирует определенный двоичный разряд, в зависимости от того, сколько сапожек ему требуется). Если герой обут, в соответствующей клетке записывают 1, если босиком – 0.

Таким образом, изображенный на экране компьютера рисунок помогает детям более осознанно воспринимать такое достаточно сложное для них математическое понятие, как двоичная запись числа. Опыт использования предложенной методики в школах города Омска показал, что изучение двоичной системы счисления с опорой на выявленные преемственные связи с десятичной системой в сочетании с применением описанной компьютерной программы позволяет успешно формировать первичные представления младших школьников о двоичной форме представления информации в ЭВМ.

Упражнения по системам счисления

Данный набор упражнений, предназначен для того, чтобы дать представление о системах счисления, причем, как предполагает автор, эти упражнения приведут учащегося к личным небольшим открытиям, если учащийся будет сопоставлять полученные решения. Хотя некоторые моменты теории имеют объяснение в тексте, предполагается, что ученик уже получил формальное представление об операциях, которые необходимо выполнить для решения задач, например для перевода чисел из одной системы счисления в другую. Упражнения должны превратить формальные знания в понимание предмета. Для этого нужно решать задачи разных типов, и в данном наборе упражнений две или большее количество подобных друг другу задач приводятся для того, чтобы учащийся, сопоставив их решения, получил наглядную картину, раскрывающую некоторую закономерность. Поэтому при выполнении упражнений не нужно пренебрегать простыми, на первый взгляд, задачами, а доводить решение до конца, анализируя получаемые ответы.

Упражнениями можно пользоваться при занятиях как индивидуально, так и с преподавателем, который будет проверять правильный ход решения задач.

Данные упражнения знакомят с системами счисления. Мы будем придерживаться такого порядка, при обозначении чисел, что признак системы счисления не ставится, а для остальных – ставится. Рекомендуем применять принятые в русском языке названия чисел только к десятичной системе счисления, т. е. 10 десятичное – это «десять». Числа, представленные в других системах счисления, рекомендуем называть, просто перечисляя цифры, стоящие в числе, слева направо, например 108 называть «один ноль в восьмеричной системе счисления».

Чтобы приступить к пониманию систем счисления, нужно четко осознать различие между числом и цифрой. Запись любого числа в форме с фиксированной запятой состоит из цифр и одной запятой. В десятичной системе для записи чисел используются 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Числа в n-ричной системе счисления записываются с помощью n цифр. В n-ричной системе счисления число «n» носит название основания системы счисления. В 16-ричной системе счисления для получения 16 цифр кроме традиционных цифр используют первые буквы латинского алфавита. А, Е, С, D, E, F. Каждой цифре сопоставляется ее числовое значение. Для традиционных десяти цифр числовое значение цифры и сама цифра обозначаются одинаковыми словами: ноль, один, два и т.д. Цифры A, B, C, D, E, F имеют числовые значения, выраженные в 10-ой системе счисления, соответственно как 10, 11, 12, 13, 14, 15. При написании числа запятая разделяет целую и дробную часть числа. Положение цифры в числе, относительно запятой, называется позицией. Позиция, находящаяся сразу слева от запятой нумеруется числом 0, а справа от запятой числом -1. Номера позиции возрастают на 1 при движении от цифры к цифре вдоль числа справа налево. Каждой позиции в числе можно сопоставить число, называемое весом позиции. Возьмите номер позиции как степень и возведите в эту степень основание системы счисление и получите вес позиции. Значение числа получается, как сумма величин, каждая из которых вычисляется умножением числового значения цифры, стоящей в числе на некоторой позиции, на вес этой позиции. Если к числу, которое выражается одной цифрой, имеющей максимальное, среди всех цифр данной системы счисления, значение, прибавить 1, то получится число, запись которого, независимо от системы счисления, выглядит как «10» .

Рекомендации к выполнению упражнений:

1. Нужно делать все упражнения подряд, доводя решение до конца.

2. После получения решения, следует проанализировать, нельзя ли было получить решение более простым методом, чем был использован вначале.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10,2,3,8,16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27,32,1023,1024.

2. Решите задачу «Найти двузначное число (состоящее из двух цифр) сумма цифр которого в два раза меньше самого числа» в различных системах счисления (по основанию 2,3,5,8,10,16).

3. Составить таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме с «фиксированной запятой» в различных системах счисления, с основанием 10,2,3,8,16. Рассчитать и поместить в таблицу следующие величины:

0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625.

4. Перевести число из 16-ой системы счисления в двоичную систему счисления. 1) 1996, 2) 1А2В, 3)FFF, 4)C87,543, 5)D00,00Е, 6)110,101.

5. Составить таблицу сложения 8-ой системе

0

1

2

3

4

5

6

7

10

0+10=

1+10=

2+10=

3+10=

4+10=

5+10=

6+10=

7+10=

7

1+7=

2+7=

3+7=

4+7=

5+7=

6+7=

7+7=

6

2+6=

3+6=

4+6=

5+6=

6+6=

5

3+5=

4+5=

5+5=

4

4+4=

6. Составить таблицу сложения в 16-ой системе (В таблице все числа записаны в шестнадцатеричной системе)

5

6

7

8

9

А

Е

С

D

E

F

1

1+9

1+A

1+B

1+C

1+D

1+E

1+F

2

2+8

2+9

2+A

2+B

2+C

2+D

2+E

2+F

3

3+7

3+8

3+9

3+A

3+B

3+C

3+D

3+E

3+F

4

4+6

4+7

4+8

4+9

4+A

4+B

4+C

4+D

4+E

4+F

5

5+5

5+6

5+7

5+8

5+9

5+A

5+B

5+C

5+D

5+E

5+F

6

6+6

6+7

6+8

6+9

6+A

6+B

6+C

6+D

6+E

6+F

7

7+7

7+8

7+9

7+A

7+B

7+C

7+D

7+E

7+F

8

8+8

8+9

8+A

8+B

8+C

8+D

8+E

8+F

9

9+8

9+9

9+A

9+B

9+C

9+D

9+E

9+F

A

A+9

A+A

A+B

A+C

A+D

A+E

A+F

B

B+A

B+B

B+C

B+D

B+E

B+F

C

C+B

C+C

C+D

C+E

C+F

D

D+C

D+D

D+E

D+F

E

E+D

E+E

E+F

F

F+E

F+F

7. Выполните действия в 16-ричной системе счисления, пользуясь таблицами сложения, полученными к задачам 3,4 и правилами сложения «в столбец», известными Вам еще с начальной школы.

FFFF+1996-BAC

8. Выполните преобразования чисел последовательно из десятичной системы в 16-ричную, затем полученное 16-ричное число преобразуйте в двоичную систему счисления, полученное двоичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления, полученное 8-ричное число преобразуйте опять в десятеричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему. Результаты изобразите в таблице, со следующими заголовками столбцов:

«10-ричная->», «16-ричная->», «2-ичная->», «8-ричная->, «10-тичная»

В таблицу поместите следующие числа:

2,8,10,16,4,64,100,256,5,65,101,257,1024,1025.

9. Выполните преобразования чисел последовательно из 16-ричной системы в 10-ричную. Затем полученное 10-ичное число преобразуйте в 8-ричную систему счисления. Полученное 8-ричное число преобразуйте в 2-ичную систему счисления. Полученное 2-ичное число преобразуйте опять в 16-ричную систему. Записывайте для проверки преподавателем ход решения при перевода чисел из системы в систему.

Результаты изобразите в таблице:

«16-ричная-> 10-тичная-> 8-ричная-> 2-ичная-> 16-ичная»

В таблицу поместите следующие числа:

F16 , FF16 , FFFF16 , 1016 , 10016 , 1000016

10. Запишите в разных системах счисления с основанием (2,3,5,8,16) в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих простых арифметических действий:

1/2, 1/3,1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8, 1/9

11. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.

Примеры:

0,(3)=3/9=1/3

0,(15)=15/99=5/33

Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать «максимальную» цифру системы счисления.

Примеры:

0,(01001)2 = 010012 /11111,=9/63=178

0,(1F)16 =1F16 /FF16 =31/(162 -1)

0,(21)3 =213 /223 =7/8

Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала ту же систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем десятичную систему счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь.

0,(1)2 , 0,(10)2 , 0,(1)3 , 0,(10)3 , 0,(1)5 , 0,(10)5 , 0,(1)8 , 0,(10)8 , 0,(1), 0,(10), 0,(1)16 , 0,(10)16 , 0,(2)3 , 0,(20)3 , 0,(4)5 , 0,(40)5 , 0,(7)8 , 0,(70)8 , 0,(9), 0,(90),0,(F)16 , 0,(FO)16 .

12. Уже в средней школе обучают: чтобы перевести число, записанное большим количеством цифр, из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать подряд по три цифры, считая от запятой, отделяющую целую часть. И отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли подобрать похожие правила для перевода чисел из троичной системы в девятеричную?

13. Используя правила умножения целых чисел «в столбик» возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 11111111111111116 , выполняя действия и получая результат в той же (шестнадцатеричной) системе счисления. Если Вы не знаете, как это сделать возведите в квадрат десятичное число: 111 111 111 выполняя действия в десятичной системе. Решение послужит Вам подсказкой к исходной задаче.

2.2. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними

Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел используется 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3х103 +7х102 +4х10+5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х. называется его представление в виде: x = а n * 10 n + an -1 .10 n -1 +… a 1 .10+ a 0 , где коэффициенты а n , an -1 ,…, a 1 , a 0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а n =0.

Сумму а n х10n +an -1 x10n -1 +…+а1 х10+а0 в краткой форме принято записывать так: an an -1 a 1 a 0 .

Так понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х. можно представить в виде:

х = аn *10n +an-1 *10n-1 +…+a1 *10+a0 (1),

где а n , an -1 , …, a 1 , a 0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 102 , 103 ,…, 10n ,… найдем наибольшую степень, содержащуюся в х , т.е.такую что 10n < x <10n +1 , что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10n . Если частное этих чисел обозначить через а n , а остаток через х n , то х-а n * 10n +xn , где а n <10 и х. n <10n . Далее, разделив х n на 10n -1 , получим: х n = an -1 *10 n -1 +xn , откуда х= а n *10 n + an 1 *10 n -1 + xn -1 , где an -1 <10 и xn -1 <10 n . Продолжая деление, дойдем до равенства х21 *10+х1 . Положив х10 , будем иметь х=а n *10n +an -1 *10n -1 +…+a1 *10+a0 ,т.е. число х. будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числах в десятичной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число n в равенстве (1) однозначно определяется условием 10n < x < 10+7 . После того как n определено, коэффициент а n находят из условия: а n * 10n < x <(an +1)*10n . Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты an -1 ,… , a0 .

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема . Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = а n *10n +an-1 *10n-1 +…+a1 *10+a0 ,

y=bm *10m +bm-1 *10m-1 +…+b1 *10+b0

Тогда число х меньше числа у , если выполнено одно из условий:

а) n<m;

б) n=m, но an <bn ;

в) n=m, an =bn ,…,ak =bk , но ak-1 <bk-1 .

Доказательство. В случае а) имеем: так как n<m, то 10n +1 <10m , а поскольку х< 10n +1 и 10m < y , то x < 10n +1 < 10m < y , т.е. х< y .

В случае б): если n = m , но а n < bn , то an +1< bn и потому (an +1)*10n < bn *10n . А так как х<(an +1)*10 n и bn *10n < y , то x<(an +1)*10 n < bn *10 n < y , то x < y .

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х= 3456,а у =3467, то х< y , так как число тысяч и сотен в записи одинаковое, но десятков в числе х меньше, чем десятков в числе у .

Если натуральное число л; представлено в виде х= an *10 n + an -1 *10 n -1 +…+ a 1 *10+ a 0 , то числа 1,10,102 ,…,10n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, …, n + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют

первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки , сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класскласс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс – класс миллионов , состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1*10+а0 ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять («дцать»):

Одиннадцать – один на десять,

Двенадцать – два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два» и «десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2*10+а0 ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два,…, сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча .

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование – миллион . Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число – тысяча миллионов – носит особое название миллиард . Миллион миллионов называется биллионом . В вычислениях миллион принято записывать в виде 106 , миллиард – 109 , биллион – 1012 . По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион – 1015 , квадриллион – 1018 и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,

341

+7238

7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

341+7238=(3*102 +4*10+1)+(7*103 +2*102 +3*10+8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

3-102 +4-10+1+7-103 +2-102 +3-10+8

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7*103 +3*102 +2*102 +4*10+3*10+1+8. Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:7*103 +(3*102 +2*102 )+(4*10+3*10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102 , а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7*103 +(3+2)*102 +(4+3)*10+(1+8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7*103 +5*102 +7*10+9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7*102 +4*10+8)+(4*102 +3*10+6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7+4)*102 +(4+3)*10+(8+6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8/+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1*10+4:

(7+4)*102 +(4+3)*10+(1*10+4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7+4)*102 +(4+3+1)*10+4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде 1*10+1, получаем: (1*10+1)*102 +8*10+4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х=а n *10 n + an -1 *10 n -1 +…+ a 1 *10+ a 0 и y = bn +10 n + bn -1 +…+ b 1 *10+ b 0 , т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х=у одинаково, х+у = а n *10 n + an -1 *10 n -1 +…+ a 1 *10 + a 0 ) + ( bn *10 n + bn -1 *10 n -1 +…+ b 1 *10+ b 0 )=( an + bn )*10 n +( an -1 + bn -1 )*10 n -1 +…+(a0 +b0 ) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (an + bn )*10 n +( an -1 + bn -1 )*10 n -1 +…+( a 0 + b 0 ) , вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х.+у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы ak + bk не превосходит 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k , для которого ak + bk > 10 . Если ak + bk > 10, то из того , что0< ak < 9 и 0 < bk < 9, следует неравенство 0< ak + bk < 18 и поэтому ak + bk можно представить в виде ak + bk =10+ ck , где 0< ck < 9. Но тогда (ak + bk )* 10k = (10+ck )-10k = 10k +1 + ck * 10k . В силу свойств сложения и умножения в (an + bn )*10n +…+(a 0 + b 0 ) слагаемые (ak +1 + bk +1 )*10k +1 + (ak + bk )*10k могут быть заменены на (ak +1 + bk +1 + 1)*10k +1 +ck * 10k . После этого рассматриваем коэффициенты an + bn , an -1 + bn -1 , …, ak +2 + bk +2 , ak +1 + bk +1 + 1, выбираем наименьшее s , при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: x + y = (cn + 10)*10n +…+ c 0 , где cn =0, или х + у= 10n +1 +cn * 10n +…+ c 0 , и где для всех n выполняется равенство 0 < cn < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х+ у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. Он позволяет сформулировать в общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления.

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду десятков.

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b 0 = 1*10+с0 , где с0 – однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а , не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с , что b + c = a , и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < a , то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231= (4*102 +8*10+5)-(2*102 +3*10+1). Чтобы вычесть из числа 4*102 +8*10+5 сумму 2*102 +3*10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4*102 +8*10+5)-(2*102 +3*10+1)=(4*102 +8*10+5)-2*102 -3*10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2*102 вычтем из слагаемого 4*102 , число 3*10 – из слагаемого 8*10, а число 1 – из слагаемого 5, тогда:

(4*102 +8*10+5)-2*102 -3*10-1=(4*102 -2*102 )+(8*10-3*10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2)*102 +(8-3)*10+(5-1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2*102 +5*10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231=254. Выражение (4-2)*102 +(8-3)*10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

254

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760-326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326= (7*102 +6*10+0)-(3*102 +2*10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц-десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение: (7*102 +5*10+10)-(3*102 +2*10+6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3)*102 +(5-2)*10+(10-6) или 4*102 +3*10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,760-326=434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа х=а n *10 n + an -1 *10 n -1 +…+ a 1 *10+ a 0 и y = bn *10 n + bn -1 *10 n -1 +…+ b 1 *10+ b 0 . Известно также , что y < x . Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

x-y= (an -bn )*10n +(an-1 -bn-1 )*10n-1 +…+(a0 b0 ) (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех k выполняется условие ak > bk . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее k , для которого ak < bk . Пусть m – наименьший индекс, такой, что m > k и am =0, а am -1 =… ak +1 =0 . Имеет место равенство am *10 m =( am - 1)*10m +9*10m -1 +…+ 9*10k +1 +10*10k (например, если m =4, k =1, am =6, то 6*104 = 5*104 +9*103 +9*102 +10*10). Поэтому в равенстве (1) выражение (am - bm )*10 m +…+( ak - bk )*10 k можно заменить на (am - bm -1)*10 m +(9- bm -1 )*10 m -1 +…+ (9- bk +1 )*10 k +1 +( ak +10- bk ). Из того, что ak < bk <10, вытекает неравенство 0<10+ ak - bk < 10, а из того, что 0< bs <9, вытекает неравенство 0< 9-bs <10, где k+1<s<m-1. Поэтому в записи х-у=(а n - bn )*10 n +…+( am - bm -1)*10 m +(9- bm -1 )*10