Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 11
Югорский физико-математический лицей Заочное отделение Ю.В. Михеев Задачи на отношения
Ханты-Мансийск - Новосибирск 2008 Михеев Ю.В. Задачи на отношения.
Учебно-методическое пособие. Ханты-Мансийск, 2004, 12 с. В пособии задании рассматриваются свойства медиан, высот и биссектрис треугольника и разнообразные примеры на применение этих свойств. Рецензент к.ф.-м.н. В.П. Чуваков ã Михеев Ю.В. 2004 Отношение величин возникают часто. Иногда требуется установить, во сколько раз одна величина больше или меньше другой величины, иногда известно отношение величин и нужно найти одну из них, зная значение другой, и т. д. В геометрии задачами такого вида, в основном, являются задачи на отношение длин отрезков и кривых, на отношение площадей фигур, на отношение объемов. Каждый раз при вычислении отношений величин нужно следить за тем, чтобы их значения были выражены в одинаковых единицах измерения. В дальнейшем для упрощения записи значения длин и площадей будем обозначать только числами, предполагая, что в реальной практической задаче всегда можно указать необходимые единицы измерения. I
.
Отношения отрезков на прямой
При решении задач на отношение длин отрезков, расположенных на одной прямой, всегда используются основные свойства длины: - длина каждого отрезка неотрицательна; - длина отрезка BA
равна длине отрезка AB
; - равные отрезки имеют одинаковую длину; - если отрезок AB
составлен из отрезков AC
и CB
, то Из перечисленных свойств следует, что если отрезок составлен из нескольких равных частей, то длина всего отрезка равна длине одной части, умноженной на количество частей. С помощью этого свойства иногда отношение отрезков находится легко. Пример 1.
На отрезке AB
точка C
расположена так, что Решение.
Разобьем отрезок AC
на 5 равных частей. Пусть длина каждой части равна a
. Рис. 1 Тогда Данный способ удалось применить потому, что по условию отношение отрезков равно отношению небольших натуральных чисел. В более сложных ситуациях аналогичные задачи удается решить алгебраическим способом. Пример 2.
На отрезке AB
точка C
расположена так, что Рис. 2 Решение
.
Пусть Когда на прямой заданы три или большее число точек, то по некоторым известным отношениям отрезков также можно находить отношения каких-то других отрезков. Пример 3.
На отрезке AB
точки C
и D
расположены так, что точка C
лежит между точками A
и D
(рис. 3). Рис. 3 Известно, что Решение.
Пусть Геометрически решение данной задачи можно представить в очень наглядном виде. Однако сделать это сложнее, чем решить задачу алгебраическим способом. Чтобы придумать геометрическое решение, нужно понять, что отношение Рис. 4 Так как число 15 кратно и 3, и 5, то поделив отрезок AB
на 15 равных частей, точки C
и D
следует поставить так, как показано на рис. 4. В результате ответ, найденный в решении, становится очевидным. II
. Отношения отрезков на плоскости
При решении задач на вычисление отношений отрезков, не лежащих на одной прямой, чаще всего используются теорема Фалеса и подобие треугольников. Приступая к изучению данного раздела, следует вспомнить этот материал, и особенно теорему Фалеса, формулировку которой приводим в обобщенном виде. Пусть параллельные прямые
a
,
b
,
c
,
d
, и т. д. пересекают одну сторону заданного угла в точках
A
1
,
B
1
,
C
1
,
D
1
, и т. д., вторую сторону угла соответственно в точках
A
2
,
B
2
,
C
2
,
D
2
, и т. д. (рис. 5). Тогда Рис. 5 В тех случаях, когда на чертеже имеются параллельные прямые, можно всегда пытаться применять теорему Фалеса. Пример 4.
В треугольнике ABC
точка D
лежит на стороне AC
, а точки E
на AB
, H
на BC
, F
и G
на BD
расположены так, что Решение.
Заметим, что прямые AC
и EF
параллельны и пересекают стороны угла ABD
(рис. 6). Поэтому по теореме Фалеса
Рис. 6 Пусть Тогда В некоторых задачах следует пытаться самим добавлять прямые так, чтобы получались либо параллельные секущие сторон угла, либо пары подобных треугольников. Пример 5.
В треугольнике ABC
точки D
на стороне AC
и E
на стороне BC
расположены так, что Рис. 7 Отрезки BD
и AE
пересекаются в точке P. Найти отношение Решение.
С целью получения параллельных секущих сторон углов проведем через точку D
прямую параллельно прямой AE
, которая пересекает сторону BC
в точке F
(рис. 7). Так как AE
и DF
являются параллельными секущими сторон угла ACB
, то Таким образом, добавление прямой DF
позволяет свести задачу на вычисление отношения Пример 6.
В треугольнике ABC
точка M
середина стороны AB
, а точка K
расположена на продолжении стороны AC
так, что Рис. 8 Решение.
Добавив прямую CF, параллельную прямой MK (рис. 8), задачу на вычисление Поэтому При вычислении отношений отрезков можно использовать и подобие треугольников. Пример 7.
В треугольнике ABC
точки M
на стороне AB
и N
на стороне BC
расположены так, что Рис. 9 Решение.
С целью получения пар подобных треугольников проведем через вершину B
прямую m
параллельно прямой AC
и отметим точки E
и F
пересечения прямой m
с прямыми AN
и BM
(рис. 9). Далее последовательно обратим внимание на пары подобных треугольников. Прежде всего заметим, что подобны треугольники BMF
и AMC
, так как III
. Отношение площадей
Рассмотрим треугольник ABC
и выберем на стороне AC
точку M
. Если провести в треугольнике ABC
высоту BH
, то эта высота одновременно будет и высотой в треугольнике ABM
(рис. 10). Записывая площади треугольников ABC
и ABM
, получаем Рис. 10
и Следовательно, зная площадь треугольника ABC
и отношение Заметим, что найденная закономерность сохраняется и в том случае, когда точка M
находится на продолжении стороны AC
. Снова рассмотрим треугольник ABC
, и на сторонах AC
и AB
, либо на продолжениях этих сторон, выберем соответственно точки M
и K
(рис. 11). Рис. 11 Используя найденную закономерность получаем, что Отсюда Пример 8.
В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что Решение.
Сначала вычислим отношение Так как Далее, Рис. 12 . Поэтому Рассмотренную закономерность можно обобщить следующим образом: если для треугольников ABC
и EFG
известны отношения Пример 9.
В трапеции ABCD
основание AD
в три раза больше основания BC
. На боковых сторонах AB
и CD
поставлены точки K
и L
соответственно так, что Решение.
Обозначим площадь треугольника ABC
через P
. Так как высоты треугольников ABC
и ADC
равны и Рис. 13 поэтому Так как В качестве еще одного примера на применение рассмотренных свойств разберем одну известную олимпиадную задачу. Пример 10.
На продолжениях сторон AB
,
BC
,
CD
,
DA
четырехугольника ABCD
соответственно строятся точки M
,
N
,
K
,
L
так, что Решение.
Сделаем чертеж (рис. 14) и постараемся понять, какие связанные с чертежом задачи мы умеем решать. Рис. 14 И такие задачи находятся. Например, если знать площадь треугольника ABC
, то мы можем сначала найти площадь треугольника BMC
,
а затем и площадь треугольника BMN
. Когда это удалось отыскать, то дальнейшее уже не так сложно и приводит к следующему решению.
|