Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Пособие учебно-методическое по специальным разделам высшей математики Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Самарский государственный Технический университет» К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2005 Составители: Л.В. Лиманова, Л.А. МУРАТОВА УДК 517.531, 519.2 Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа. Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова . Самара, 2005. 49 с. Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ. Пособие предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ. Ил. . Библиогр.: 6 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ В соответствии с программой курса высшей математики для 1 семестра СамГТУ пособие охватывает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление. Пособие содержит тренировочный тест (стр.37) с типовыми задачами из указанных разделов. Представлены подробные решения всех задач тренировочного теста, а также необходимый теоретический материал. Пособие рекомендуется использовать для подготовки к экзамену по высшей математике. Внимательное изучение настоящего пособия позволит успешно справиться с этой задачей. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Задача 1. Найти сумму элементов 3-его столбца матрицы В , если Решение. При умножении матрицы размера на матрицу размера получится матрица размера (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее, умножение матриц осуществляется по правилу: элемент матрицы , стоящий в i -той строке и к -том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i -той строки матрицы А и к -го столбца матрицы С . То есть, чтобы найти нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С : Аналогично, находим Тогда сумма этих элементов Задача 2. Найти , если . Решение. Вычислим определитель матрицы А : Так как , то - существует. Обратную матрицу находим по схеме Здесь - транспонированная матрица, получается из матрицы А , если поменять местами строки и столбцы: - союзная матрица, состоит из алгебраических дополнений элементов . Найдем алгебраические дополнения элементов по формуле где - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы . Получим Итак, Наконец, находим обратную матрицу Задача 3. Найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , если Решение. Вычислим определитель матрицы А : Запишем транспонированную матрицу Так как надо найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-ей строки матрицы : Тогда элементы 3-ей строки матрицы : Их сумма равна Задача 4. Дана система уравнений Найти Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями Найдем - определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными Чтобы найти , необходимо элементы 3-его столбца определителя заменить на столбец свободных членов системы: Находим z : Задача 5. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z : Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. 5 ~ Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z . Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей ~ Умножим 2-е уравнение на (-1): 2 ~ Считая новой базисной переменной у , исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым: В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х ). Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице: Выразив базисные переменные (у и z ) через свободную (х ), получим общее решение системы уравнений Задача 6. Найти Решение. Воспользуемся формулой где - скалярное произведение векторов и . Вычислим : Найдем модули векторов Тогда Задача 7. Вектор ортогонален вектору Найти Решение. Так как вектор ортогонален вектору , то , и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю: С другой стороны Итак, и Задача 8. Найти , если Решение. Проекция вектора на вектор определяется по формуле . Найдем координаты вектора : Вычислим скалярное произведение векторов и и модуль вектора Тогда Задача 9. Известно, что а угол между и равен Найти . Решение. Согласно определению векторного произведения имеет место формула Тогда Подставив исходные данные, получим Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и , может быть найдена по формуле: где векторное произведение векторов и . Примем , Вычислим координаты векторов и : Найдем векторное произведение этих векторов Тогда Следовательно, Задача 11. Определить , при котором компланарны векторы и Решение. Условие компланарности трех векторов имеет вид где - смешанное произведение векторов и - вычисляется по формуле Подставляя исходные данные, получим откуда Задача 12. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках Решение. Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида: Вычислим смешанное произведение этих векторов Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен Задача 13. Записать уравнение прямой, проходящей через точки Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид Подставляя координаты точек А и В , получим Задача 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости. Тогда Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид получим Задача 15. Определить, при каких и параллельны прямые и Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов и Подставляя координаты и получим Тогда Задача 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид Вычисляем определитель и получаем уравнение плоскости Задача 17. Определить, при каком А прямая параллельна плоскости Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости: Применяя эту формулу для и получим то есть Задача 18. Найти точку пересечения прямой и плоскости Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой откуда Найдем значение t , соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости Подставляя в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости Задача 19. Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса. -3 Составим расширенную матрицу системы уравнений ~ Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением. Получим ~ Разделим 2-е уравнение на (-4) -3 ~ Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с первым уравнением Запишем получившуюся систему уравнений: Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z : Обозначив , получим параметрические уравнения прямой: Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой Задача 20. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно вектору Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов: Так как то Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид , или Задача 21. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим - направляющие векторы прямых, Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А (-1; 0; 3). Так как получим или Задача 22. Найти собственные значения матрицы Решение. Собственные значения и матрицы А находим, решая характеристическое уравнение: Задача 23. Найти координаты вектора в базисе Решение. При разложении вектора по базису , , необходимо представить в виде Здесь - есть координаты вектора в базисе , . Запишем это равенство в координатной форме Оно равносильно системе уравнений Решим систему, например, по формулам Крамера. Тогда Значит, координаты вектора в базисе , . Задача 24. Определить вид и расположение кривой Решение. Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y . Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса с полуосями и центром в точке Задача 25. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид Действительная полуось этой гиперболы . Найдем а из соотношения: Так как и Итак, искомое уравнение гиперболы или Задача 26. Вычислить Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, то есть на Так как при каждая из дробей , стремится к нулю, получим Задача 27. Вычислить Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение: Задача 28. Вычислить Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида так как при числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, то есть на Задача 29. Вычислить Решение. При числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми. Так как при ~ , ~ , то ~ ~6x . Теперь можно воспользоваться формулой где - бесконечно малые, причем ~ , ~. Тогда Задача 30. Вычислить Решение. Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела В данном случае Поэтому Задача 31. Вычислить Решение. При имеем неопределенность . Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов: Так как , , имеем неопределенность , которую раскрываем по правилу Лопиталя: Тогда Так как получили неопределенность Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых: при ~х , ~х . Тогда Задача 32. Найти Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного получим Подставим в производную Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия. Задача 33. . Найти Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если то В данном случае поэтому Тогда Задача 34. Вычислить Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов: Получившуюся функцию дифференцируем как сложную Тогда Задача 35. Вычислить в точке Решение. Преобразуем данную функцию Вычислим частную производную , считая у константой: Найдем , считая х константой: Подставим вместо х и у координаты точки Тогда Задача 36. Найти , если Решение. Функция задана в неявном виде – уравнением Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции: Так как то Задача 37. , где Найти при Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции где имеем Так как то Тогда Задача 38. Найти , если Решение. Функция задана параметрически – уравнениями . В этом случае можно воспользоваться формулой Так как то Задача 39. Найти асимптоты кривой Решение. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Прямая является вертикальной асимптотой кривой если Прямая является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы Так как знаменатель дроби никогда не обращается в 0 (D =-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты: Тогда наклонная асимптота имеет вид Задача 40. Найти интервалы убывания функции Решение. Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем Определим знаки производной и промежутки монотонности функции: - Итак, функция убывает на интервале . Задача 41. Найти интервалы выпуклости функции Решение. Функция является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции: -3 0 0 - + - Итак, функция выпукла при Задача 42. Дана функция Найти точки разрыва и установить их характер. Решение. Функция называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем Последнее равенство означает, что Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода. Если - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода. В том случае, когда - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода: устранимый, если со скачком, если (величина скачка ). Рассмотрим заданную функцию при . Здесь Функция не определена в точке , значит в этой точке разрыв. Вычислим односторонние пределы: Итак, значит, при имеем устранимый разрыв I рода. Если то Функция не определена в точке значит это точка разрыва. Вычислим односторонние пределы. Так как - точка разрыва II рода. В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид. В этой точке функция определена: Найдем односторонние пределы: Итак, для точки односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при разрыв I рода со скачком при . Задача 43. Найти максимальную скорость возрастания функции в точке М (2;1). Решение. Известно, что максимальная скорость возрастания функции равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор Найдем градиент функции : Вычислим градиент в точке М (2;1): Тогда максимальная скорость возрастания функции Задача 44. Найти производную функции в точке М (1;-3) в направлении вектора Решение. Производная функции по направлению вектора определяется по формуле где - направляющие косинусы вектора , Найдем частные производные функции : Их значения в точке М (1;-3) равны Вычислим направляющие косинусы вектора Тогда производная функции по направлению равна Задача 45. Найти экстремум функции , если Решение. I способ. Необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные x и y подчиняются уравнению связи Составим функцию Лагранжа Точки экстремума находим, решая систему уравнений: Так как то Находим Решаем систему уравнений Итак, получена точка экстремума (1;2). Вычисляем Определяем характер экстремума, сравнивая значение со значением функции в любой другой точке, удовлетворяющей условию Например, значит, в точке (1;2) – минимум. II способ. Преобразуем уравнение связи: и подставим его в данную функцию Получили функцию одной переменной у . Исследуем её на экстремум: Определим знаки производной и промежутки монотонности функции: 2 - 0 + 6 min Следовательно, точка является точкой минимума. Таким образом, функция имеет минимум в точке с координатами Задача 46. Функцию исследовать на экстремум в точках и . Решение. Функция может достигать экстремума только в стационарной точке, то есть такой, что Найдем частные производные первого порядка Подставив координаты точек и , убеждаемся, что обе точки стационарные. А : В : Согласно достаточным условиям экстремума в стационарной точке функция имеет 1) минимум, если 2) максимум, если 3) отсутствие экстремума, если Здесь Вычисляем частные производные второго порядка Рассмотрим точку . Так как то в точке - минимум. Рассмотрим точку . Так как то в точке - максимум. ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ № Задания Варианты ответов 1 2 3 4 5 1 Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В . 34 -18 28 -26 14 2а . Найти . 2б Найти сумму элементов 3 строки матрицы , если . 3а Дана система уравнений . Найти 19,-38,-2 19,-19,-1 19,38,2 19,19,1 19,57,3 3б Решить систему уравнений , приняв в качестве базисных переменных : 4а Найти , если , , . 4б Вектор ортогонален вектору . Найти . 7 -1 5 9 -3 4в , . Найти . 5а Найти площадь треугольника с вершинами в точках , , . 5б Известно, что , , а угол между и равен . Найти . 0 1 6а Определить , при котором компланарны векторы , , . 1 6б Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках