Рекомендации методические к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Бийский технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» О.Р. Светлова, Н.С. Левина ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ Методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» Бийск Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова 2010 УДК 515,(075.8) Рецензент: к.т.н. проф. кафедры МРСиИ БТИАлтГТУ А.М. Фирсов Светлова, О.Р. Определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций: методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Н.С. Левина; Алт. гoc. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гoc. техн. ун-та, 2010. – 14 с. В методических рекомендациях представлен теоретический материал и подробное решение задач по теме: определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций. Методические рекомендации предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика», всех форм обучения. УДК 515,(075.8) Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры технической графики. Протокол № 56 от 08.12.2009 г. © О.Р. Светлова, Н.С. Левина, 2010 © БТИ АлтГТУ, 2010 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………………4 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ (МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА)………………………………………….5 Задача 1.1…………………………………………………………………………………………5 Задача 1.2…………………………………………………………………………………………5 Задача 1.3…………………………………………………………………………………………6 2 ПЛОСКОСТЬ…………………………………………………………………………………..7 2.1 Главные линии плоскости…………………………………………………………………...7 2.2 Определение углов наклона плоскостей общего положения к плоскостям проекций………………………………………………………………………….9 Задача 2.1………………………………………………………………………………………..10 Задача 2.2………………………………………………………………………………………..10 Задача 2.3………………………………………………………………………………………..11 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………...13 ВВЕДЕНИЕ Прямая линия – одно из основных понятий начертательной геометрии. Основой построения прямой является кратчайшее расстояния между двумя точками пространства. Прямая линия – алгебраическая линия первого порядка в декартовой системе координат, прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейным уравнением). Общее уравнение прямой (полное): Ах+Ву+С =0, где А , В и С – любые постоянные, причем А и В одновременно не могут быть равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рисунок 1) – через эти точки можно провести прямую линию. модель эпюр Рисунок 1 – Определение положения прямой по двум точкам Для того чтобы найти проекции отрезка АВ на плоскости проекций, необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка (см. рисунок 1): A 1 В 1 < АВ; A 2 В 2 < AB; A 3 В 3 < AB. Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через a – с плоскостью П1 , β – с плоскостью П2 , γ – с плоскость П3 и тогда получим: A 1 В 1 = АВ × cos a ; A 2 В 2 = AB × cosβ; A 3 В 3 = AB × cosγ. 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ (МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА) Задача 1.1 Определить величину угла наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций П1 . Дано: координаты точек А, В. Длину отрезка AВ и a - угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций П1 можно определить из прямоугольного треугольника ABC ( AC= A 1 В 1 ), BC=∆ z (рисунок 2). модель эпюр Рисунок 2 – Определение угла α наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций П1 Для этого на эпюре (рисунок 2) из В 1 горизонтальной проекции точки В под углом 90° проводим отрезок В1 С=∆ z , полученный в результате построений отрезок А 1 С и будет натуральной величиной отрезка АВ , а угол В 1 A 1 С= α . Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Натуральную величину отрезка АВ и углы наклона его к фронтальной плоскости и профильной плоскости проекций П2 и П3 можно определить аналогично. Тот же результат можно получить при вращении треугольника ABC вокруг стороны АС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П1 , в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрено в разделе «Методы преобразования плоскостей проекций» [1, 3, 4, 5, 6, 8]. Задача 1.2 Определить величину угла наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций П2 . Дано: координаты точек А, В. Длину отрезка АВ и угол β наклона отрезка к плоскости П2 можно определить из прямоугольного треугольника ABC (рисунок 3). Для этого на эпюре (см. рисунок 3) из точки В 2 (фронтальной проекции точки В ) под углом 90° к проекции A 2 В 2 проводим отрезок В 2 С = ∆ y . Полученный в результате построений отрезок A 2 C и будет натуральной величиной отрезка АВ , a угол В 2 A 2 C = β . Тот же результат можно получить при вращении треугольника ABC вокруг стороны АС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П2 , в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрено в разделе «Методы преобразования плоскостей проекций» [1, 3, 4, 5, 6, 8]. модель эпюр Рисунок 3 – Определение угла β наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций П2 Задача 1.3 Определить величину угла наклона прямой АВ к профильной плоскости проекций П3 . Дано: координаты точек А, В. Длину отрезка АВ и угол β наклона отрезка к плоскости П3 можно определить из прямоугольного треугольника ABC . Для этого на эпюре (рисунок 4) из точки В 3 (профильной проекции точки В ) под углом 90° к проекции A 3 В 3 проводим отрезок В 3 С = ∆х . Полученный в результате построений отрезок A 3 C и будет натуральной величиной отрезка АВ , a угол В 3 A 3 C = γ. Рисунок 4 – Определение угла γ наклона прямой АВ к профильной плоскости проекций П3 2 ПЛОСКОСТЬ Плоскость – это также одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: а) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки; б) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек. Плоскость в линейной алгебре – поверхность первого порядка. В декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение плоскости: Ах+Ву+С z+ D =0, где А , В , С и D – постоянные, причем А , В и С одновременно не равны нулю. 2.1 Главные линии плоскости Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве – это прямые уровня . Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные горизонтальной плоскости проекций П1 ( h є ABC, h // П1 , h 2 //Ох, h 3 //Оу) (рисунок 5). модель эпюр Рисунок 5 – Горизонталь плоскости АВС Фронтали f – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные фронтальной плоскости проекций П2 ( f є ABC, f // П2 , f 2 //Ох, f 3 //О z) (рисунок 6). модель эпюр Рисунок 6 – Фронталь плоскости АВС Профильные прямые р – прямые, лежащие в данной плоскости АВС и параллельные профильной плоскости проекций П3 (р є ABC, р // П3 , р 1 //Оу, р 2 //О z) (рисунок 7). модель эпюр Рисунок 7 – Профильная прямая плоскости АВС 2.2 Определение углов наклона плоскостей общего положения к плоскостям проекций Прямые, принадлежащие заданной плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол, называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют величину двугранного угла между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций. Линии наибольшего наклона перпендикулярны линиям уровня . Линия наибольшего наклона и ее проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций (рисунок 8). Рисунок 8 – Определение величины угла наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций Задача 2.1 Определить величину угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1 . Дано: координаты точек А, В, С. План решения: этап 1 – построение линии наибольшего наклона; этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона. Построения: Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций П1 строим в плоскости АВС горизонталь h (А 2 1 2 //х; А 1 1 1 ) . В горизонтальной плоскости проекций П1 проводим линию наибольшего наклона С 1 21 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h 1 ( А 1 1 1 ) (рисунок 9). Рисунок 9 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1 Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На горизонтальной проекции С 1 21 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 9), одним катетом которого является проекция С 1 21 , а вторым катетом – отрезок ΔΖ , равный разности расстояний от точек С и 2 до горизонтальной плоскости проекций П1 . Гипотенуза треугольника С 0 21 равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол α (С 1 21 С 0 ) , заключенный между горизонтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П1 (см. рисунок 9). Задача 2.2 Определить величину угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2 . Дано: координаты точек А, В, С. План решения: этап 1 – построение линии наибольшего наклона; этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона. Построения: Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций П2 строим в плоскости АВС фронталь f (В 1 11 ; В 2 12 //х) . Во фронтальной плоскости проекций П2 проводим линию наибольшего наклона С 2 22 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f 2 (В 2 12 ) (рисунок 10). Рисунок 10 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2 Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На фронтальной проекции С 2 22 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 10), одним катетом которого является проекция С 2 22 , вторым катетом – отрезок Δ Y равный разности расстояний от точек С и 2 до фронтальной плоскости проекций П2 . Гипотенуза треугольника С 0 22 равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол β (С 2 22 С 0 ) , заключенный между фронтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС к фронтальной плоскости проекций П2 (см. рисунок 10). Задача 2.3 Определить величину угла наклона плоскости АВС к профильной плоскости проекций П3 . Дано: координаты точек А, В, С. План решения: этап 1 – построение линии наибольшего наклона; этап 2 – нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона. Построения: Этап 1. Для построения линии наибольшего наклона к профильной плоскости проекций П3 строим профильную прямую p ( C 2 12 // z ; С 3 13 ) . В профильной плоскости проекций П3 проводим линию наибольшего наклона А 3 23 перпендикулярно профильной проекции профильной прямой p 3 (С 3 13 ) (рисунок 11). Рисунок 11 – Определение величины угла наклона плоскости АВС к профильной плоскости проекций П3 Этап 2. Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На профильной проекции А 3 23 линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 11), одним катетом которого является проекция А 3 23 , вторым катетом – ΔХ отрезок, равный разности расстояний точек от А и 2 до профильной плоскости проекций П3 . Гипотенуза треугольника А 0 23 равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол γ (А 3 23 А 0 ) , заключенный между профильной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС к профильной плоскости проекций П3 (см. рисунок 11). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. 2. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / Гордон В.О., Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. 3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002. 4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Выcшая школа , 2000. 5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических спец-тей вузов / А.А. Чекмарев, А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – Изд. 2-е, испр. – М.: Выcшая школа, 2001. Дополнительная литература 6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978. 7. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Машиностроение, 2000. 8. Начертательная геометрия: учеб. для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Ни-колаев, Н.М. Лаврухина; под ред. Н.Н. Крылова. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 240 с.: ил. Учебное издание СветловА ОЛЬГА РАФАИЛОВНА ЛЕВИНА НАДЕЖДА СЕРГЕЕВНА ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ Методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» Редактор Идт Л.И. Технический редактор Сазонова В.П. Подписано в печать 02.03.2010. Формат 60´84/8 Усл. п. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,75 Печать − ризография, множительно-копировальный аппарат «RISO EZ300» Тираж 80 экз. Заказ 2010-38 Издательство Алтайского государственного технического университета 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ