Математика. Экзаменационные варианты ОГЭ 2020 года

 

  Главная      Учебники - Разные 

 

поиск по сайту            правообладателям  

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

Математика. Экзаменационные варианты ОГЭ 2020 года

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА
1 / 4
Открытый вариант 1
Основной государственный экзамен
Часть 1
по МАТЕМАТИКЕ
Ответами к заданиям 1-20 являются число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от
Вариант №1
номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если
ответом является последовательность цифр, то запишите её без
Инструкция по выполнению работы
пробелов, запятых и других дополнительных символов. Каждый символ
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя
пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке
26 заданий. Часть 1 содержит 20 заданий, часть 2 содержит 6 заданий
образцами.
с развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Ответы к заданиям 7 и 15 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной
цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное
Для остальных заданий части
1 ответом является число или
отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон
последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы,
а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если получилась обыкновенная
в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной
дробь, ответ запишите в виде десятичной.
60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно
Решения заданий части
2 и ответы к ним запишите на бланке
использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены
ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания
характеристики трёх печей.
переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
Номер
Объём помещения
Масса
Стоимость
использование гелевой или капиллярной ручки.
Тип
печи
(куб. м)
(кг)
(руб.)
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий,
которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим
1
дровяная
8-12
40
18 000
заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся
2
дровяная
10-16
48
19 500
выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,
3
электрическая
9-15,5
15
15 000
Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
При выполнении части
1
все необходимые вычисления,
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется.
преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также
Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля,
в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при
оценивании работы.
что обойдётся в 6500 руб.
Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте
1
Установите соответствие между объёмами помещения и номерами печей, для
работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем
внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
которых данный объём является наименьшим для отопления помещений.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх
материалами, выданными вместе с вариантом КИМ, и линейкой.
цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
Объём (куб. м)
8
9
10
количество баллов.
Номер печи
Для прохождения аттестационного порога необходимо набрать
не менее 8 баллов, из которых не менее 2 баллов должны быть получены
за решение заданий по геометрии (задания 16-20, 24-26).
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание
2
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте
в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
в кубических метрах.
Желаем успеха!
Ответ: ___________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА
2 / 4
Открытый вариант 1
3
Во сколько рублей обойдётся покупка электрической печи с установкой
6
2
Найдите значение выражения 9
и доставкой, если доставка печи до дачного участка будет стоить 800 рублей?
5 3
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
4
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей
стала стоить печь?
7
На координатной прямой точки A, B , C и D соответствуют числам
0,098 ; 0,02 ; 0,09 ; 0,11.
Ответ: ___________________________.
A
B C D
5
Хозяин выбрал дровяную печь
(рис. 1). Чертёж передней панели печи
показан на рисунке 2.
Какой точке соответствует число 0,09 ?
1) A
2) B
3) C
4) D
Ответ:
арка кожуха
R
8
18 +
2
2.
Найдите значение выражения (
)
дверца топки
40
Ответ: ___________________________.
60
2
9
Решите уравнение
x
49 = 0.
Рис. 1
Рис. 2
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший
из корней.
Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха
выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге
Ответ: ___________________________.
окружности с центром в середине нижней части кожуха
(см. рис. 2).
Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления
арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус
закругления арки в сантиметрах.
В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 1 чёрная, 9 жёлтых
10
и 20 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся
Ответ: ___________________________.
ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет
жёлтое такси.
Ответ: ___________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА
3 / 4
Открытый вариант 1
15
Укажите решение системы неравенств
11
Установите соответствие между функциями и их графиками.
35
+
5
x
<
0,
ФУНКЦИИ
63
x
>−18.
А)
1
Б)
2
В)
9
y=− x5
y=−x
+7x7
y
=
1)
(7;8)
3)
(−∞;8)
5
x
2)
(−∞;7)
4)
(7; + ∞)
ГРАФИКИ
y
y
y
1)
2)
3)
Ответ:
1
1
1
0
1
x
0
1
x
0
1
x
16
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH ,
B
BAC = 48° . Найдите угол ABH . Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________________________.
A
H
C
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
17
Треугольник ABC вписан в окружность с центром
C
Ответ:
в точке O . Точки O и C лежат в одной полуплоскости
относительно прямой AB . Найдите угол ACB , если
O
угол AOB равен 153° . Ответ дайте в градусах.
A
B
12
Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:
1
; 2; 5; …
Найдите сумму первых пяти её членов.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
18
Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30° .
Найдите площадь этого ромба.
13
1
8x
+8y
1
Найдите значение выражения
при x =
30 ,
y= .
8x
64xy
4
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
14
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных
19
На клетчатой бумаге с размером клетки
1×1
колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n — число колец,
изображена трапеция. Найдите длину её средней
установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость
линии.
колодца из 12 колец. Ответ дайте в рублях.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА
4 / 4
Открытый вариант 1
Часть 2
20
Какие из следующих утверждений верны?
При выполнении заданий 21-26 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Любые два равносторонних треугольника подобны.
21
13
Решите неравенство
0
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых
(
x
4
)2
6
и других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________.
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую —
22
со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении
всего пути.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов
1
в соответствии с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
23
Постройте график функции
2
x
6x
+10
при
x
1,
y
=
x
+
2
при
x
<1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно
две общие точки.
24
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH =16 и CH = 4.
Найдите высоту ромба.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются
25
в точке O . Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC =100, точка O
26
центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD,
перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D .
Найдите CD .
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером
соответствующего задания.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА
Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180°(n 2 ).
Формула корней квадратного уравнения:
Радиус r окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a ,
3
b±
D
2
равен
x
=
, где
D=b
4ac.
6 a
2a
2
Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника
Если квадратный трехчлен
ax
+ bx + c имеет два корня
x
1
и
x
2
, то
3
со стороной a , равен
a .
2
ax
+ bx + c = a
(
xx
)(
xx
)
;
3
1
2
2
Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a :
если квадратный трехчлен
ax
+ bx + c имеет единственный корень
x
0
, то
2
a
b
c
=
=
=
2R,
ax
+ bx + c = a
(
xx
0
)2
sin
A
sinB
sinC
Формула n -го члена арифметической прогрессии (a
n
)
, первый член которой
где R — радиус описанной окружности.
равен
a
и разность равна d :
1
Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a :
a
=a
+d
(
n1
)
n
1
2
2
2
c
=a
+b
2abcosC .
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Формула длины l окружности радиуса R :
(
a
1
+
a
n
)
n
S
n
=
l=
2πR .
2
Формула длины l дуги окружности радиуса R , на которую опирается
Формула n -го члена геометрической прогрессии
b
n
, первый член
которой
центральный угол в ϕ градусов:
равен
b1, а знаменатель равен q :
n
1
2π
Rϕ
b
n
=b
1
q
l
=
360
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Формула площади S параллелограмма со стороной a и высотой
h,
n
(
q
1
b
проведённой к этой стороне:
S
=
n
q
1
S = ah.
Таблица квадратов двузначных чисел
Формула площади S треугольника со стороной a и высотой
h,
проведённой к этой стороне:
Единицы
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S = ah.
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
Формула площади S трапеции с основаниями a , b и высотой h :
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
a+b
S
=
h
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
2
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
Формула площади S круга радиуса R :
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
2
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
S = πR

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА
1 / 4
Открытый вариант 2
Часть 1
Основной государственный экзамен
по МАТЕМАТИКЕ
Ответами к заданиям 1-20 являются число или последовательность
цифр, которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от
Вариант №2
номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если
ответом является последовательность цифр, то запишите её без
Инструкция по выполнению работы
пробелов, запятых и других дополнительных символов. Каждый символ
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя
пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке
26 заданий. Часть 1 содержит 20 заданий, часть 2 содержит 6 заданий
образцами.
с развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится
3 часа 55 минут (235 минут).
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1-5.
Ответы к заданиям 7 и 15 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной
цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части
1 ответом является число или
последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы,
1
2
плитка
а затем перенесите в бланк ответов № 1. Если получилась обыкновенная
дробь, ответ запишите в виде десятичной.
3
Решения заданий части
2 и ответы к ним запишите на бланке
ответов № 2. Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания
яблони
переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
4
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
5
использование гелевой или капиллярной ручки.
6
огород
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий,
которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим
7
заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся
выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,
ворота
2 м
Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
При выполнении части
1
все необходимые вычисления,
преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также
На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево,
в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при
оценивании работы.
3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м).
Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через
работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем
единственные ворота.
внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева — гараж,
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными
отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м.
материалами, выданными вместе с вариантом КИМ, и линейкой.
Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
и бани, на участке имеется сарай, расположенный рядом с гаражом,
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2).
Для прохождения аттестационного порога необходимо набрать
Перед жилым домом имеются яблоневые посадки.
не менее 8 баллов, из которых не менее 2 баллов должны быть получены
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной
за решение заданий по геометрии (задания 16-20, 24-26).
плиткой размером 1 м ×1 м . Между баней и гаражом имеется площадка
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание
площадью 64 кв. м, вымощенная плиткой такого же размера, но другой
в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.
фактуры и цвета.
Желаем успеха!
К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное
газоснабжение.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА
2 / 4
Открытый вариант 2
1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они
обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ перенесите
5
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления.
последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других
Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены
дополнительных символов.
на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа,
электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Объекты
яблони
теплица
жилой дом
баня
Средн. расход
Прочее
Стоимость
Нагреватель
газа/
Цифры
оборудование
газа/электро-
(котёл)
средн. потребл.
и монтаж
энергии
мощность
Газовое
2
Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок
25 000 руб.
17 552 руб.
1,3 куб. м/ч
5,2 руб./куб. м
отопление
плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед
гаражом?
Электр.
21 000 руб.
15 000 руб.
5,2 кВт
4,1 руб./( кВт ч )
отопление
Ответ: ___________________________.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через
сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования
3
Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных
газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки
метрах.
и установки газового и электрического оборудования?
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
4
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя
6
Найдите значение выражения 4,9 9, 4 .
ближайшими точками по прямой) в метрах.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
7
На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D . Одна из них
соответствует числу
85 . Какая это точка?
A
B
C D
9
10
11
1) точка A
2) точка B
3) точка C
4) точка D
Ответ:
8
4
24
Найдите значение выражения
2
3
3
8
Ответ: ___________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА
3 / 4
Открытый вариант 2
9
2
13
2
Решите уравнение
x
25 = 0 .
a+ x ax+ x
Найдите значение выражения
:
при a = 56 , x = 40 .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший
a
2
a
из корней.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
14
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу
10
Родительский комитет закупил
10 пазлов для подарков детям в связи
Фаренгейта, пользуются формулой
t
F
=1,8t
C
+32, где
t
C
— температура
с окончанием учебного года, из них 4 с машинами и 6 с видами городов.
в градусах Цельсия,
t
F
— температура в градусах Фаренгейта. Скольким
Подарки распределяются случайным образом между
10 детьми, среди
градусам по шкале Фаренгейта соответствует 80 градусов по шкале Цельсия?
которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл
с машиной.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.
15
Укажите решение неравенства
11
Установите соответствие между функциями и их графиками.
33x<7x9.
ФУНКЦИИ
1)
(−∞;0,6)
2)
(−∞;1,2)
3)
(0,6; + ∞ )
4)
(1, 2; + ∞ )
А)
1
Б)
2
В)
9
y= x6
y=x
8x +11
y
=−
2
x
Ответ:
ГРАФИКИ
y
y
y
1)
2)
3)
16
Два катета прямоугольного треугольника
равны 4 и 11. Найдите площадь этого
треугольника.
1
1
1
0
1
x
0
1
x
0
1
x
Ответ: ___________________________.
17
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC ,
B
C
вписанной в окружность, равен 61° . Найдите угол C этой
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
трапеции. Ответ дайте в градусах.
А
Б
В
Ответ: ___________________________.
A
D
Ответ:
18
Найдите площадь параллелограмма,
13
5
изображённого на рисунке.
12
Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:
20; 17; 14; …
12
3
Найдите 6-й член этой прогрессии.
Ответ: ___________________________.
Ответ: ___________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА
4 / 4
Открытый вариант 2
Часть 2
19
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1
B
При выполнении заданий 21-26 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2.
изображён треугольник ABC . Найдите длину
Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение
его средней линии, параллельной стороне AC .
и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
A
C
Ответ: ___________________________.
21
2
Решите уравнение
x
(
x
+2x+1
)
=2
(
x+1
)
20
Какое из следующих утверждений верно?
1) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является
22
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью
140 км/ч, проезжает мимо
ромбом.
пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч
2) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: ___________________________.
23
Постройте график функции
y=x
x
+2
x
3x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно
две общие точки.
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов
1
в соответствии с инструкцией по выполнению работы.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером
соответствующего задания.
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через
24
вершину C и касается прямой AB в точке B . Найдите AC , если диаметр
окружности равен 6,4, а AB = 6 .
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64,
25
BD = 16 . Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Середина
M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена
26
от всех его вершин. Найдите AD , если BC = 14 , а углы B и C
четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером
соответствующего задания.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА
Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180°(n 2 ).
Формула корней квадратного уравнения:
Радиус r окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a ,
3
b±
D
2
равен
x
=
, где
D=b
4ac.
6 a
2a
2
Радиус R окружности, описанной около правильного треугольника
Если квадратный трехчлен
ax
+ bx + c имеет два корня
x
1
и
x
2
, то
3
со стороной a , равен
a .
2
ax
+ bx + c = a
(
xx
)(
xx
)
;
3
1
2
2
Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a :
если квадратный трехчлен
ax
+ bx + c имеет единственный корень
x
0
, то
2
a
b
c
=
=
=
2R,
ax
+ bx + c = a
(
xx
0
)2
sin
A
sinB
sinC
Формула n -го члена арифметической прогрессии (a
n
)
, первый член которой
где R — радиус описанной окружности.
равен
a
и разность равна d :
1
Для треугольника ABC со сторонами AB = c , AC = b , BC = a :
a
=a
+d
(
n1
)
n
1
2
2
2
c
=a
+b
2abcosC .
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Формула длины l окружности радиуса R :
(
a
1
+
a
n
)
n
S
n
=
l=
2πR .
2
Формула длины l дуги окружности радиуса R , на которую опирается
Формула n -го члена геометрической прогрессии
b
n
, первый член
которой
центральный угол в ϕ градусов:
равен
b1, а знаменатель равен q :
n
1
2π
Rϕ
b
n
=b
1
q
l
=
360
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Формула площади S параллелограмма со стороной a и высотой
h,
n
(
q
1
b
проведённой к этой стороне:
S
=
n
q
1
S = ah.
Таблица квадратов двузначных чисел
Формула площади S треугольника со стороной a и высотой
h,
проведённой к этой стороне:
Единицы
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S = ah.
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
Формула площади S трапеции с основаниями a , b и высотой h :
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
a+b
S
=
h
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
2
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
Формула площади S круга радиуса R :
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
2
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
S = πR

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА. 9 класс
1/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
22
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую —
со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении
21
13
всего пути.
Решите неравенство
0
(
x
4
)2
6
Решение.
Пусть половина трассы составляет s километров. Тогда первую половину
Решение.
s
s
Исходное неравенство принимает вид
трассы автомобиль проехал за
часа, а вторую — за
часа. Значит, его
84
96
13
0,
средняя скорость в км/ч равна
(
x
4
6
)(
x
4+
6
)
2s
=89,6.
s
s
откуда 4
6<x<4+
6 .
+
84
96
4
6;4+
6
Ответ: (
)
Ответ: 89,6 км/ч.
Баллы
Содержание критерия
Баллы
Содержание критерия
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2
Обоснованно получен верный ответ
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного
1
1
ошибка вычислительного характера
характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
0
выше
выше
2
Максимальный балл
2
Максимальный балл

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА. 9 класс
3/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
23
Постройте график функции
24
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH =16 и CH = 4.
2
Найдите высоту ромба.
x
6x
+10
при
x
1,
y
=
x
+
2
при
x
<1.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно
Решение.
A
B
две общие точки.
Решение.
Построим график функции y = x + 2 при x < 1
y
2
и график функции
y=x
6x +10 при x 1.
D
H C
Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие
Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 20 .
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:
точки при m = 1 или 3 m 5 .
2
2
Ответ: m = 1; 3 m 5 .
AH = AD
DH
= 12 .
1
Ответ: 12.
0
1
x
Баллы
Содержание критерия
Баллы
Содержание критерия
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
2
2
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
верный ответ
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны
График построен верно, но искомые значения параметра найдены
1
1
неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
неверно или не найдены
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
0
выше
выше
2
Максимальный балл
2
Максимальный балл

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 1
МАТЕМАТИКА. 9 класс
5/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
25
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются
26
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC =100, точка O
в точке O . Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD,
перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D .
Найдите CD .
Доказательство.
Расстояния от точек B и C до прямой AD равны,
B
C
следовательно, площади треугольников ABD и ACD
Решение.
равны. Тогда
B
O
S
AOB
=S
ABD
S
AOD
=S
ACD
S
AOD
=S
COD
A
C
Значит, площади треугольников AOB и COD равны.
D
A
D
P
Баллы
Содержание критерия
O
2
Доказательство верное, все шаги обоснованы
1
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
Пусть продолжение отрезка BD за точку D пересекает окружность,
выше
описанную около треугольника ABC , в точке P (см. рис.). Тогда хорда BP
2
Максимальный балл
перпендикулярна радиусу OA этой окружности. Значит, точка A — середина
дуги BP , не содержащей вершину C . Отсюда следует, что
ABD = ∠ABP = ∠ACB (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).
Поэтому треугольники ABD и ACB подобны по двум углам (угол A
общий).
Следовательно,
AD AB
=
,
AB AC
2
AB
откуда
AD
=
=9; CD = AC AD =1009 = 91.
AC
Ответ: 91.
Баллы
Содержание критерия
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
1
ошибка вычислительного характера
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
выше
2
Максимальный балл

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА. 9 класс
1/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
22
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью
140 км/ч, проезжает мимо
пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч
21
2
Решите уравнение
x
(
x
+2x+1
)
=2
(
x+1
)
навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Решение.
Решение.
Скорость сближения пешехода и поезда равна 140 + 4 =144 (км/ч). Заметим,
Преобразуем уравнение:
что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна
2
2
x
(
x+1
)
=2
(
x+1
)
;
(x+1)(x(x+1)2)=0; (x+1
x
+x2
=0,
)(
)
14410
=
400.
откуда x = −1, x = −2 или x = 1.
3,6
Ответ: 2 ; 1; 1.
Ответ: 400 м.
Баллы
Содержание критерия
Баллы
Содержание критерия
2
Обоснованно получен верный ответ
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
1
1
характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
ошибка вычислительного характера
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
0
выше
выше
2
Максимальный балл
2
Максимальный балл

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА. 9 класс
3/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
23
Постройте график функции
24
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через
y=x
x
+2
x
3x.
вершину C и касается прямой AB в точке B . Найдите AC , если диаметр
окружности равен 6,4, а AB = 6 .
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно
две общие точки.
Решение.
Решение.
B
2
y
Построим график функции
y=−x
5
x
2
при x < 0 и график функции
y=x
x
при x 0 .
A
D
O
C
Прямая y = m имеет с графиком ровно
две общие точки, если она проходит
через вершину одной из парабол.
Получаем, что m = − 0, 25 или m = 6, 25 .
Пусть окружность пересекает второй раз прямую AC в точке D , а AC = x .
Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки
Ответ: m = − 0, 25 ; m = 6, 25 .
0
x
к окружности, получаем:
2
2
AB
=x
(
x CD
)
;
36 = x(x 6,4);
x
6,4x 36 = 0,
Баллы
Содержание критерия
откуда x = 10 или x = −3,6 . Получаем, что AC = 10 .
2
График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
Ответ: 10.
График построен верно, но искомые значения параметра найдены
1
неверно или не найдены
Баллы
Содержание критерия
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен
0
2
выше
верный ответ
2
Максимальный балл
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны
1
неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
выше
2
Максимальный балл

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Открытый вариант 2
МАТЕМАТИКА. 9 класс
5/6
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
25
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64,
26
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена
BD = 16 . Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
от всех его вершин. Найдите AD , если BC = 14 , а углы B и C
четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.
Доказательство.
В треугольниках ADB и DBC углы ADB и DBC
B C
Решение.
равны как накрест лежащие при параллельных
Условие задачи означает, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность
прямых AD и BC и секущей BD , кроме того,
с центром M , а AD — её диаметр (см. рис.).
C D
AD DB
4
DB BC==
A
D
Поэтому указанные треугольники подобны по двум пропорциональным
сторонам и углу между ними.
M
Баллы
Содержание критерия
2
Доказательство верное, все шаги обоснованы
B
A
1
Доказательство в целом верное, но содержит неточности
Так как сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
равна 180°, получаем, что DAB = 80° и ADC = 70°.
0
выше
Угол ABD прямой, так как опирается на диаметр, поэтому
2
Максимальный балл
ADB = 90° − 80° = 10° ,
откуда CDB = 70° −10° = 60° .
По теореме синусов для треугольника CDB, получаем:
BC
28
3
AD =
=
sin60°
3
3
Ответ: 28
3
Баллы
Содержание критерия
2
Ход решения задачи верный, получен верный ответ
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена
1
ошибка вычислительного характера
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных
0
выше
2
Максимальный балл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

///////////////////////////////////////