XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 21

 

  Главная      Учебники - Разные     XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями). "Нанотехнологии-прорыв в будущее" 2017-2018

 

поиск по сайту           правообладателям

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание      ..     19      20      21      22     ..

 

 

XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 21

 

 

M с удельной площадью поверхности пор S

уд

 = 500 м

2

/г. Известно, что все поры

материала M имеют форму цилиндров радиуса r, оси этих цилиндров параллельны...

5. Полые металлические кластеры

Поверхность полого высоко симметричного металлического кластера (ПМК) M

N(n,m)

 можно

представить в виде «выкройки» из плотноупакованного листа атомов металла M. Такая
«выкройка» состоит из 20 одинаковых равносторонних треугольников...

6. ДНК для хранения информации: от теории к практике

Молекулы ДНК обладают одной из самых больших плотностей хранения информации.
Недавно группа ученых предложила способ кодирования информации с использованием
адресной записи в короткие последовательности нуклеотидов...

7. Золотые октаэдры

Атомы золота могут образовывать кластеры в форме: а) октаэдра O с ребром n атомов;
б) правильного усеченного октаэдра TO с ребром m атомов и общим числом атомов.
Сколько атомов золота приходится на каждую грань октаэдрического кластера с ребром
в n атомов?..

8. Наноторы из нанотрубок: от больших к самому маленькому

Если вырезанную из листа графена фигуру свернуть и затем склеить по горизонтальному
«шву» как показано на рис., то мы получим углеродную нанотрубку. Сгибая эту трубку и
склеивая ее торцы, мы получаем углеродный нанотор...

9. Фуллерены

Молекулы фуллеренов представляют собой выпуклые многогранники, составленные из
атомов углерода* и имеющие только пяти- и шестиугольные грани. Воспользовавшись
теоремой Эйлера для выпуклых многогранников...

10. Изомерия икосаэдрических фуллеренов

Любой икосаэдрический фуллерен можно представить в виде «выкройки» на графеновой
плоскости. Общее число атомов при этом определяется по формуле. Изомерными
называются молекулы икосаэдрических фуллеренов, имеющие одинаковое число атомов
N...

162

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 1. G-квадруплексы 

 
Единичные 

нити 

ДНК* 

с 

определенным 

расположением 

гуанина 

способны 

самопроизвольно сворачиваться в четырёхцепочечные спирали – обладающие повышенной 
устойчивостью G-квадруплексы,  которые участвуют во многих жизненно важных процессах 
и  широко  представлены  во  всех  известных  геномах.  При  этом  четыре  нуклеотида  G  из 
разных цепей образуют плоскую структуру, называемую G-квартетом (см. рис.). 
 

 

 

1.

 

Найдите  вероятность  того,  что  случайная  последовательность  ДНК  фиксированной 

длины  является  G-квадруплексом  с  взаимным  расположением  G-квартетов  и  петель 
как на рисунке. Считать, что: 

 

первый и последний символы в G-квадруплексе не являются гуанином; 

 

все  три  петли  G-квадруплекса  а)  могут  содержать  G  (2  балла)  и  б)  не 
содержат G(2 балла) 

 

2.

 

Для случая (б) рассчитайте долю G в общем числе нуклеотидов нити ДНК, отвечающей 

G-квадруплексу.  (1  балл)  Во  сколько  раз  она  отличается  от  доли  нуклеотидов  G  для 
случайной последовательности ДНК? (1 балл) 

 
* Наследственную  информацию  в  ДНК-последовательности  можно  рассматривать  как 
строчку  текста,  записанную  четырьмя  буквами  –  A,  G,  T,  C,  которые  отвечают  четырем 
нуклеотидам. 
 
Всего – 6 баллов 
 

163

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 1. G-квадруплексы 

 

1.

 

Рассчитаем общее число нуклеотидов в последовательности: 

 

1 + 3·4 (G-области) + 3·3 (петли) + 1 = 23. 

 

Такая  нить  ДНК  может  иметь 

23

4

  варианта  записи  при  помощи  четырех  букв 

нуклеотидов. 
 

а)

 

Число  возможных  вариантов  G-квадруплексов  выбранной  структуры  равно 
произведению вариантов каждого из его фрагментов: 
 

9

3

3

3

4

9

3

1

4

1

4

1

4

1

3

 

По множителям: 
 

начало·G-область·петля·G-область·петля·G-область·петля·G-область·конец. 

 
Тогда вероятность  
 

 

8

14

23

9

10

35

,

3

4

9

4

4

9

a

P

 

б)

 

Число возможных вариантов G-квадруплексов:  
 

11

3

3

3

3

3

1

3

1

3

1

3

1

3

 
Тогда вероятность  
 

9

23

11

10

52

,

2

4

3

a

P

 

2.

 

Доля G в нити ДНК, отвечающей G-квадруплексу, составляет 

52

,

0

23

12

G

. В свою 

очередь, доля G в случайной последовательности равна φ = 0,25 (все четыре «буквы» 
в этом случае равновероятны). То есть, 

08

,

2

25

,

0

52

,

0

G

 

164

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 2. Тетраэдры и пирамиды 

 

 

 

 

 

а 

б 

в 

Рис. Примеры моделей а) тетраэдрического Td

4

 и б) пирамидального P

4

 нанокластеров с 

длиной ребра n = 4 атома. в) Зависимости общего числа атомов в нанокластерах от длин 

их ребер. 

 
Два  школьника  получили  одинаковые  наборы  шариков  и  задание:  сложить  из  них  модели 
тетраэдрических и пирамидальных нанокластеров так, чтобы ни одного лишнего шарика не 
осталось. 
 
Оба  школьника  с  заданием  справились.  Первый  построил  пять  моделей  нанокластеров: 
тетраэдрическую Td

7

 и пирамидальные – P

x

, две P

2x

 и P

4x

. Второй школьник  сложил восемь 

моделей тетраэдрических нанокластеров: пять Td

x

, одну Td

x+7

 и две Td

4x

 
Сколько шариков было в наборе? 
 
Всего – 5 баллов 

6

3

2

6

2

3

2

3

2

3

n

n

n

P

n

n

n

Td

n

n

 

165

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 2. Тетраэдры и пирамиды 

 
Запишем уравнение:  
 

x

x

x

x

x

x

Td

Td

Td

P

P

P

Td

4

7

4

2

7

2

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x

4

2

x

4

3

x

4

2

6

7

x

2

7

x

3

7

x

6

x

2

x

3

x

5

6

x

4

x

4

3

x

4

2

6

x

2

x

2

3

x

2

2

2

6

x

x

3

x

2

6

7

2

7

3

7

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

 

 

 

 

 

  

 

 

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

3

4

2

7

2

7

3

7

2

3

5

4

4

3

4

2

2

2

3

2

2

2

3

2

504

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

 

504

217

132

6

504

9

72

34

2

3

2

3

x

x

x

x

x

x

 

0

208

60

28

2

3

x

x

x

 

0

52

15

7

2

3

x

x

x

 

0

52

15

7

2

 x

x

x

41

52

7

4

15

2

D

4

14

41

15

x

 

 
Всего в наборе 

1496

204

2

30

84

2

16

8

4

7

P

P

P

Td

2018 шариков. 

 

166

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 3. Рост дендримера 

 
Рост  дендримера  –  макромолекулы  с  симметричной  древообразной  структурой с 
регулярными  ветвлениями  –  происходит  поэтапно,  поколение  за  поколением.  Число 
мономерных  звеньев,  присоединившихся  к  звену  предыдущего  поколения,  называют 
коэффициентом ветвления k
 

 

 

1.

 

Найдите максимальный размер молекулы дендримера (радиус R, число поколений i'), 

схема ветвления которого все еще отвечает представленной на рисунке. (3 балла) 
 

2.

 

По  какой  причине  дальнейший  рост  молекулы  приведет  к  изменению  величины  k

(1,5 балла) Рассчитайте k для поколения i’ + 1. (1 балл) 

 

3.

 

Выведите  и  постройте в  виде  графика  общий  вид  зависимости  k(i).  (2  балла)  Какова 

величина k для бесконечно больших молекул дендримера? (1,5 балла)  

 
Примите, что: 
 

 

в любом поколении молекула дендримера имеет форму сферы; 

 

радиус дендримера с каждым поколением увеличивается на l = 1 нм; 

 

радиус области, занимаемой одним мономерным звеном на поверхности молекулы, 

равен r = 0,25 нм. 

 
Всего – 9 баллов 

167

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 3. Рост дендримера 

 

1.

 

Число  мономерных  звеньев  в  поколении  i  при  условии  постоянного  значения 

величины  коэффициента  ветвления  k = 2  равно 

1

2

3

i

i

N

  (так  как  в  первом 

поколении число мономерных звеньев равно трем). 
 

Общая площадь поверхности молекулы i-го поколения составляет 

 

2

2

4

4

il

R

S

i

 
При этом одно мономерное звено занимает площадь 

 

2

2

2

1

4

4

r

r

r

S

, где 

φ – доля площади, занимаемая кругом при плотном заполнении плоскости. 
 
Таким  образом,  максимальное  число  мономерных  звеньев  в  i-м  поколении 
составляет 

 

 

2

2

2

2

4

4

r

il

r

il

N

i

 

Максимальным поколением с k = 2 будет поколение, для которого еще выполняется 
условие 

 

1

2

3

1

2

2

i

i

i

r

il

N

N

 

10 

11 

12 

13 

16,74  33,49  37,68  33,49  26,17  18,84  12,82  8,37 

5,30 

3,27 

1,98 

1,18 

0,69 

 
Тогда 

12

1

12

12

i

R

 нм. 

 

2.

 

Для поколений с i'  максимальное число мономерных звеньев, которое может быть 

размещено в слое, будет меньше, чем отвечающее условию k = 2. То есть, произойдет 
снижение величины коэффициента ветвления:  
 

38

,

1

6144

8490

12

13

13

N

N

k

 

3.

 

Для 

14

i

 величина коэффициента ветвления составляет  

 

2

1

1

1

i

k

i

 
Построим график зависимости k(i) на основании всех данных, полученных ранее: 

168

 

 

 

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

0

10

20

30

40

50

i

k

 

 
Для  бесконечно  большой  молекулы  дендримера  значение  коэффициента  ветвления 
будет  стремиться  к

1

lim

i

i

k

,    то  есть  прирост  ветвей  будет  происходить  линейно, 

без разветвлений. 
 

169

 

 

 

 

 

 

 

содержание      ..     19      20      21      22     ..