Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Числовые
функции
Понятие функции
является одним
из основных
в математике.
С его помощью
выражают зависимости
между различными
переменными
величинами.
Изучение свойств
функций, основанное
на методе пределов,
составляет
содержание
математического
анализа.
Пусть
Множество
Графиком
функции
В качестве
области определения
функции могут
выступать
различные
числовые множества,
например:
а) отрезок
б) интервал
в) полуинтервалы
г) бесконечные
полуинтервалы
д) множество
всех действительных
чисел R =
Под областью
определения
функции, заданной
формулой, понимают
обычно множество
всех значений
аргумента, для
которых эта
формула имеет
смысл. Примеры.
1) Для функции
имеют
вид:
Рис.
1. 2)
Для функции
Рис.
2.
3) Для функции
Рис. 3.
Напомним определения
и свойства
некоторых
элементарных
функций, известные
из школьного
курса математики.
В каждом случае
укажем аналитическое
выражение и
область определения
функции, приведем
ее график.
а) Линейная
функция:
где
том
Рис.4. б Рис.
5. где
называемой
дискриминантом
функции, и от
знака первого
коэффициента
в)
Обратно пропорциональная
зависимость: где
Рис.
6. г)
Степенная
функция: где
Рис.
7. е)
Показательная
функция: где
Рис. 8. Все
перечисленные
здесь функции,
а также логарифмическая,
тригонометрические
и обратные
тригонометрические
функции основными
элементарными
функциями.
Пусть заданы
функции
называемую
также композицией
функций
Пример.
Из функций
Используя
операцию композиции,
можно из основных
элементарных
функций, получать
новые функции,
также называемые
элементарными.
Вообще, элементарной
функцией называют
функцию, которую
можно получить
из основных
элементарных
функций с помощью
конечного числа
арифметических
операций и
композиций.
П
Рис. 9.
4. Обратная
функция
Рассмотрим
функцию
Функцию,
у которой существует
обратная функция,
назовем обратимой.
Обозначая, как
обычно, аргумент
функции через
Поскольку
взаимная перестановка
переменных
Рис. 10.
2) Для функции
Рис. 11.
Рис. 11.
3) Обратной к
показательной
функции
Рис. 12. Упражнения 1.
Найти области
определения
следующих
функций: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
2. Построить
графики функций: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
3.
Найти функции
обратные к
функции
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Ответы 1. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8);
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22) . 3. 1)
2)
3) 4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
§
2. Предел и непрерывность
функции Пределом
функции в точке
называется
число, к которому
приближаются
значения функции
при приближении
аргумента к
этой точке.
Строгое определение
предела дается
сначала для
функций частного
вида – последовательностей,
а затем переносится
на функции
общего вида.
На основе понятия
предела определяются
важнейшие
понятия математического
анализа – производная
и интеграл.
Последовательностью
называется
функция, определенная
на множестве
натуральных
чисел N =
Приведем примеры
последовательностей,
указав их различные
представления:
а)
б)
в)
Заметим,
что элементы
этих последовательностей
ведут себя
по-разному с
увеличением
номера
Число а называется
пределом
последовательности
Если предел
существует,
то говорят, что
последовательность
сходится, и
пишут
Примеры. а)
Последовательность
б) Аналогично
доказывается
более общее
утверждение:
Например,
При вычислении
пределов
последовательностей
используются
следующие
правила:
I. Если
последовательности
1)
2)
3)
если
4)
II. Предел
последовательности
III.
Постоянный
множитель можно
выносить за
знак предела: (следствие
правил I.3 и
II). Применению
указанных
правил часто
предшествуют
некоторые
предварительные
преобразования
выражения,
стоящего под
знаком предела.
Примеры. а)
б)
Последовательность
Последовательность
Заметим, что
если
Справедливы
также следующие
утверждения:
сумма и произведение
двух бесконечно
малых последовательностей
являются бесконечно
малыми последовательностями; произведение
двух бесконечно
больших последовательностей
является бесконечно
большой
последовательностью; если
оба предела
Примеры. а)
Последовательности
являются
бесконечно
малыми, а обратные
к ним последовательности
{ – бесконечно
большими.
б) Последовательности
Рассмотрим
последовательность
Число
Исходя
из определения
числа
справедливую
для любой постоянной
Приведем пример
экономической
задачи, в которой
возникает число
где
введено обозначение
Предположим,
что вклад можно
снять по истечении
любого срока
в течение года,
и начисление
на вклад пропорционально
этому сроку,
т.е. за полгода
будет начислено
Если
повторять
операцию
закрытия-открытия
счета чаще,
например, каждый
месяц, то к концу
года будем
иметь
Таким образом,
максимальное
число процентов,
на которое
гипотетически
может увеличиться
вклад при данной
схеме начисления,
составляет
Пусть функция
Число
При вычислении
пределов функций
используются
те же правила,
что и при вычислении
пределов
последовательностей.
В частности,
если существуют
пределы
если, кроме
того,
Примеры.
а) Найдем предел
функции
Отсюда
по определению
предела функции
получаем
б) Найдем предел
функции
Отсюда
получаем Данное
выше определение
предела функции
можно распространить
на случаи, когда
где
означает,
что для любой
последовательности
Примеры.
а)
г)
В качестве
более сложного
примера приведем
равенство которое
можно доказать,
исходя из определения
числа
Функция
Если
ввести обозначения
Таким
образом, непрерывность
означает, что
малым приращениям
аргумента
соответствуют
малые приращения
функции.
Функция называется
непрерывной
на множестве
Примеры.
Следующие
функции непрерывны
на указанных
множествах:
а) функция
б) функция
в) функция
г) функция
Упражнения 1.
Найти пределы
последовательностей: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
2. Найти
пределы функций: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Ответы
и указания к
решению 1. 1) 0; 2) 0; 3) 1; 4)
5) 0; 6) 0; 7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) 0; 14)
15) 0; 16)
17)
18)
19)
20)
21)
0; преобразовать
22) 0; 23)
24)
2. 1) 2; 2) 1; 3) 2; 4) 2; 5) 3; 6) 4; 7)
8)
9) 2; 10) 0; 11)
12)
13) 14)
15) 0; 16) 2; 17)
18)
19)
20)
§
3. Производная
и ее применение
Производная
характеризует
скорость изменения
функции при
изменении ее
аргумента. Она
является основным
инструментом
исследования
функций в
математическом
анализе,
в частности,
используется
для отыскания
точек экстремума:
в этих точках
производная
либо равна
нулю, либо не
существует.
Через производную
определяется
понятие эластичности
функции, применяемое
в экономических
приложениях.
1. Определение
производной
и правила
дифференцирования
Пусть функция
Операция вычисления
производной
называется
дифференцированием,
а функция, имеющая
производную
в точке, – дифференцируемой
в этой точке.
Если функция
имеет производную
в каждой точке
интервала
Примеры.
Найдем производные
функций в
произвольной
точке
а)
б)
Заметим, что
на практике
при вычислении
производных
редко прибегают
к определению.
Вместо этого
используют
таблицу, содержащую
выражения для
производных
всех основных
элементарных
функций, а также
правила дифференцирования,
позволяющие
находить производную
суммы, разности,
произведения,
частного и
композиции
функций.
Приведем таблицу
производных
некоторых
основных элементарных
функций и правила
дифференцирования. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
где
Примеры.
Получим некоторые
следствия
формулы 2: а)
б)
в)
Правила
дифференцирования если
где
индексы указывают,
по какому аргументу
производится
дифференцирование. Примеры.
Найдем производные
функций, используя
правила 1-4: а)
б)
в)
Примеры.
Найдем производные
сложных функций
по правилу 5: а)
б)
Заметим, что
производная
Примеры.
Найдем вторые
производные: а)
б)
2. Геометрический
и физический
смысл производной
а) Геометрический
смысл производной.
Рассмотрим
график функции
Рис.
13. Если
откуда
следует, что
производная
функции в точке
равна тангенсу
угла наклона
касательной
к графику функции
в этой точке. Пример.
Найдем угол
б) Физический
смысл производной.
Если
3. Исследование
функций с помощью
производной
Функция
Интервалы
возрастания
или убывания
могут быть
найдены на
основании
следующего
утверждения.
Теорема 1. Если
Точка
Для отыскания
точек экстремума
используются
следующие
теоремы.
Теорема 2 (необходимое
условие экстремума).
Если функция
Из этой теоремы
вытекает, что
в точках экстремума
функции производная
либо равна
нулю, либо не
существует.
Такие точки
называются
критическими.
Экстремумы
функции следует
искать среди
ее критических
точек.
Теорема 3
(достаточное
условие экстремума).
Пусть
Проводимый
на основе
сформулированных
теорем анализ
поведения
функций используют
при построении
их графиков. Примеры.
а) Найдем интервалы
возрастания
и убывания
функции и ее
экстремумы.
Производная
рассматриваемой
функции существует
при любом
Отсюда в силу
теорем 1-3 заключаем,
что функция
б) Пусть
в) Пусть
г) Точка
4. Эластичность
функции
Пусть аргумент
Рассмотрим
относительные
изменения
переменных
показывает,
на сколько
процентов в
среднем меняется
Так
как то
справедлива
формула Примеры.
а) Пусть
б) Пусть
в) Пусть
Функция
Пример.
Дана зависимость
спроса
Найдем
эластичность
спроса
Эластичность
спроса означает,
что его относительное
изменение по
абсолютной
величине превосходит
относительное
изменение
цены; неэластичность
означает меньшее
относительное
изменение
спроса по сравнению
с ценой; нейтральность
– равенство
этих изменений
по абсолютной
величине.
Пример.
Пусть зависимость
спроса от цены
представлена
функцией
равна
выручке, получаемой
от продажи
товара в объеме,
равном спросу
на товар. Выясним,
как изменяется
спрос с увеличением
цены. Для этого
найдем производную
откуда
Будем предполагать,
что
Отсюда
видно, что если
спрос эластичен
(
Упражнения
1. Найти
производные
1)
2) 3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
2. Определить
угол наклона
касательной
к графику функции:
1)
2)
3) 4)
3. Найти промежутки
возрастания
и убывания
функций и их
экстремумы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Найти
эластичность
функций: 6)
5. Для
заданной зависимости
спроса
1)
6. Для
заданной зависимости
спроса
1)
Ответы и решения 1.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
2.
1) Угол
наклона касательной
2)
3. 1) При
2) Функция
возрастает
при
3) Функция
убывает при
всех
5) Функция
убывает при
6) Функция
убывает при
всех
7) Функция
возрастает
при
8) Функция
убывает при
9) Функция
возрастает
при
10) Функция
убывает при
4.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
5.
1)
6. 1)
§
4. Неопределенный
интеграл К понятию
неопределенного
интеграла
приводит задача
о нахождении
функции по ее
производной.
Эта задача
решается с
помощью операции
интегрирования,
обратной по
отношению к
операции
дифференцирования.
1.
Определение
интеграла и
правила интегрирования
Пусть для всех
тогда
функция
Заметим,
что первообразная
функции
Совокупность
всех первообразных
функции
при
этом
Пример. а) Из
равенства
б)
Аналогично,
из равенства
В отличие от
производной
интеграл элементарной
функции может
не быть элементарной
функцией. Это
относится,
например, к
интегралам
от
Таблица
интегралов
1)
3)
Правила
интегрирования Отметим,
что приведенные
правила аналогичны
соответствующим
правилам
дифференцирования.
Примеры. Найдем
интегралы,
применяя указанные
правила и таблицу:
а)
б)
в)
2.
Замена переменной
в неопределенном
интеграле
В некоторых
случаях нахождение
интеграла
упрощается
при переходе
к другой переменной
интегрирования.
При этом если
исходная и
новая переменные
|