Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ Т.М. Сукач
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи Передмова
Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому. Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв’язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей). Матеріал посібника поділено на 4 глави: 1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних. Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики. Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”. 1.1 Функція. Область визначення функції
Нехай маємо множину Х
дійсних чисел. Якщо кожному числу При цьому множина Х
називається областю визначення
або областю існування
функції; х
називають аргументом
або незалежною змінною; у
називають залежною змінною або функцією
; Множину всіх значень функції, яких вона набуває при Приклад 1.
Знайти область визначення функції Розв’язання.
Функція у
існує, якщо підкореневий вираз невід’ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності: Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок Приклад 2.
Знайти область визначення функції Розв’язання.
Функція визначена, якщо Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів: Приклад 3.
Знайти область визначення функції Розв’язання.
Функція визначена, якщо Тобто 1.2 Парність, непарність функцій. Періодичність функцій
Нехай функцію Функція Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Функція Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Приклад 1.
Нехай Отже, Приклад 2.
Нехай Отже, Приклад 3.
Дослідити на парність чи непарність функцію Знайдемо область визначення функції: Знайдемо Одержали, що Функція Число Т
при цьому називається періодом функції Якщо число Т
є періодом функції Якщо Зокрема, якщо розглянути функцію Зауважимо, що функцію Приклад 4.
Знайти період функції Розв’язання.
Функція Приклад 5.
Знайти період функції Розв’язання.
Функція Приклад 6.
Знайти період функції Розв’язання.
Функція Тренувальні вправи
Дослідити на парність чи непарність функції: 1. 2. 3. 5. 1.3 Основні елементарні функції та їх графіки
1. Лінійна функція:
Графік функції — пряма, досить знати дві точки, бажано точки перетину з осями координат: 2. Степенева функція:
Якщо Якщо Якщо 3. Показникова
функція:
Область її визначення Причому, для довільного 4. Логарифмічна функція:
а
>
1 0<a<
1 5. Тригонометричні функції:
Функції Функція Функція Множина значень Функції Функції періодичні. Найменший період синуса та косинуса 6. Обернені тригонометричні функції
Тригонометричні функції в інтервалі монотонності мають обернені: 7. Перетворення графіків функцій
При побудові графіків функцій часто використовують дефор-мації та паралельне перенесення вздовж осі Треба знати, що: 1) графік функції 2) графік функції 3) графік функції 4) графік функції 5) графік функції 6) графік функції 7) графік функції 8) графік функції Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв’язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція 1.
Функцію 2.
Якщо 3.
Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході). 4.
Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала. 5.
Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала. 6.
Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала. 7.
Частка При обчисленні границь необхідно знати такі теореми: 1.
2.
3.
Якщо 4.
Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність 5.
Якщо якщо 6.
Якщо 7.
Якщо 8.
Якщо 9.
Якщо 10.
Якщо змінна величина Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х
при Нескінченно малі функції Якщо Якщо Якщо 1.
Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними. 2.
Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них. Якщо 1. 3. 5. 7. При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули: де е
— ірраціональне число, е
= 2,718281... 1. 3. 5. Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз. Невизначеність виду Щоб розкрити невизначеність виду Приклад 1.
Знайти границю: а) б) в) г) Невизначеність виду Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при Приклад 3.
Обчислити: а) б) Приклад 4.
Знайти границі: Розв’язання.
Безпосередня підстановка числа Невизначеність виду Невизначеність виду Приклад 5.
а) б) Невизначеність виду Невизначеність виду Приклад 6.
а) б) в) Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих: а) б) 1.
5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Функція Функція 1.
функція 2.
існує границя 3.
границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме: для того, щоб функція 1.
2.
існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число 3.
існувала правостороння границя функції – число 4.
лівостороння й правостороння границя були рівні 5.
правостороння й лівостороння границя в точці Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною
. Якщо функція Функція 1.
2.
в точці 3.
лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці Отже, якщо де Функція 1.
2.
в точці 3.
правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення де Точкою розриву функції 1.
Точка 2.
Точка називають стрибком функції 3.
Точка Приклад 1.
Дослідити точки розриву функції Оскільки односторонні границі скінченні, але то Стрибок в даному випадку в точці Приклад 2.
Дослідити на неперервність функцію Рівність Приклад 3.
Визначити характер розриву функції При Тому точка 2.1 Похідна функції в точці Похідною функції
Функція, яка має скінчену похідну в точці х
, називається диференційовною
в цій точці. Приріст диференційовної в точці х
функції має вигляд де Якщо Похідні основних елементарних функцій Розв’язання.
Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо: Приклад 2.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Приклад 3.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Використовуючи формули, маємо: Приклад 4.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Приклад 5.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Приклад 6.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Приклад 7.
Знайти похідну функції Розв’язання.
2.2 Похідна складеної та оберненої функції
Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій. Наприклад, для складеної функції виду Розв’язання.
Приклад 2.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо: Приклад 3.
Обчислити похідну функції Розв’язання.
За правилом диференціювання частки маємо: Знайдемо похідну функції Таким чином, Приклад 4.
Знайти похідну функції, оберненої до Розв’язання.
Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна Приклад 5.
Знайти похідну функції Розв’язання.
2.
3 Диференціювання показниково-степеневої функції
Похідна показниково-степеневої функції Похідні показникових та логарифмічних функцій
Якщо Приклад 1.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Застосовуючи наведені формули, маємо: Приклад 2.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Застосовуючи формули, знаходимо: Приклад 3.
Знайти похідну функції Розв’язання.
За наведеними формулами, маємо: 2.4 Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом Похідна функції яка задана параметрично, обчислюється за формулою: за умови, що Приклад 1.
Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням Розв’язання.
Диференціюючи, дістанемо: відкіля Приклад 2.
Знайти похідну функції, яка задана неявно Розв’язання.
Диференціюючи, маємо З цього рівняння знаходимо Приклад
3.
Знайти Розв’язання.
Приклад 4.
Знайти в точці Розв’язання.
Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо: Таким чином, Приклад
5.
Знайти Розв’язання.
Тренувальні вправи
Знайти похідні функцій, які задані неявно: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Знайти 10.
Знайти 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19*
. 20. Знайти похідну функції, яка задана параметрично: 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37*
. 2.5 Логарифмічне диференціювання
Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати. Приклад 1.
Знайти похідну функції Розв’язання.
Прологарифмуємо функцію: Знайдемо похідну від лівої та правої частин: звідки Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції Приклад 2.
Продиференціювати функцію: Розв’язання.
Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати. Дійсно, Диференціюючи (у
розглядаємо як складену функцію), маємо: Тоді 2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної
Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв’язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності. де На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції Якщо неперервна функція в точці Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику У випадку У деяких задачах потрібно знайти кут Кутом В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної
, відрізок нормалі
, піддотична
, піднормаль
, довжини яких визначають за формулами: а) відрізок дотичної б) відрізок нормалі в) піддотична ТК:
г) піднормаль Приклад 1.
Знайти, під яким кутом функція Розв’язання.
Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює –1. Це означає, що в точках Якщо Приклад 2.
Записати рівняння дотичної до кривої Розв’язання.
Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці Отже, отримаємо рівняння дотичної: Приклад 3.
Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: Розв’язання.
Рівняння нормалі має вигляд: Значення Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично: В точці Приклад 4.
Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої Розв’язання.
Значення похідної даної функції в точці А: Рівняння дотичної: Рівняння нормалі: Фізичний зміст похідної
Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад: 1) при русі тіла швидкість 2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі 3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу 4) теплоємність С
для даної температури 5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення Приклад 1.
Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням Розв’язання.
Швидкість визначається за формулою Коли Коли Приклад 2.
Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса Розв’язання.
Нехай точка починає рухатися з положення А
проти годинникової стрілки. Нехай за час Кут між її радіусом-вектором та віссю Отже, в будь-який момент Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень: Тоді швидкість точки буде: 2.7 Диференціал функції
Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв’язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях. Диференціалом функції
Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст: Тоді формула диференціала має вигляд відкіля Основні властивості диференціала
1. 2. 3. 4. 5.
П
риклад 1.
Знайти диференціал функції Розв’язання.
За формулою Приклад 2.
Знайти диференціал функції Розв’язання.
За формулою При малих Приклад 1.
Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції Розв’язання.
Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення За наведеною формулою маємо Приклад 2.
Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об’єм його зменшиться з 64 до 63,98 м3
. Розв’язання.
Якщо х – об’єм куба, а у – його ребро, тоді За умовою задачі тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м. 2.8 Похідні та диференціали вищих порядків
Похідну, для якої існує п
-а похідна в точці х
, називають п
разів диференційовною в цій точці. зокрема, Основні правила обчислення похідних
Якщо функції 1) 2) де Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично
Якщо функція задана параметрично рівняннями Для похідної другого порядку має місце формула: Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції Якщо ж х
— деяка функція від t
, Якщо для функцій Приклад 1.
Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично Розв’язання.
Приклад 2.
Знайти похідну другого порядку функції Розв’язання.
Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції: Тоді друга похідна дорівнює: Приклад 3.
Знайти диференціал другого порядку функції Розв’язання.
Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку Тоді Отже, Приклад 4.
Знайти Розв’язання.
Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у
є функція від х
: Звідси Підставляючи замість Приклад 5.
Знайти Розв’язання.
За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо: Приклад
6.
Знайти Розв’язання.
З попереднього прикладу маємо Приклад 7.
Знайти Розв’язання.
3.1 Монотонність функції. Екстремум функції
Припустимо, що функція Функція Якщо функція Якщо функція Функція Якщо існує окіл Якщо існує окіл Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками
, а максимум і мінімум називають екстремумом функції
. Приклад 1.
Довести, що функція Розв’язання.
Знаходимо похідну функції У кожній точці Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція Приклад 2.
Довести, що показникова функція Розв’язання.
Знаходимо похідну функції Внаслідок того, що Отже, при Якщо Приклад 3.
Знайти інтервали зростання і спадання функції: Розв’язання.
Знаходимо похідну: При будь якому Отже, функція Приклад 4.
Знайти інтервали зростання і спадання функції: Розв’язання.
Знаходимо похідну: При Отже, в інтервалі При цьому точка Приклад 5.
Знайти інтервали зростання і спадання функції: Розв’язання.
Знайдемо похідну: Знайдемо точки, в яких Отже, в інтервалі Робимо висновок, що точка Якщо функція Внутрішня точка Перше правило дослідження функції на екстремум Щоб дослідити функцію 1)
знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв’язати рівняння 2)
знайти точки, в яких похідна 3)
у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку. Якщо Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції. Теорема.
Нехай точка Друге правило дослідження функції на екстремум.
Щоб дослідити функцію 1)
знайти стаціонарні точки заданої функції; 2)
знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці Приклад 6.
Дослідити функцію на екстремум: Розв’язання.
Знаходимо похідну: Дістаємо стаціонарні точки: Знаходимо похідну другого порядку: Підставляємо у вираз для Отже, Приклад 7.
Дослідити функцію на екстремум: Розв’язання.
Знаходимо похідну першого порядку: Прирівнюємо похідну Звідси знаходимо стаціонарні точки: Знайдемо похідну другого порядку: Тоді Отже, в точці 3.
2 Знаходження найбільшого і найменшого значень
функції
Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції. Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців. Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку 1)
знайти критичні точки функції; 2)
обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка; 3)
найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку Приклад 1.
Знайти найбільше і найменше значення функції Розв’язання.
Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну: Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння дістаємо стаціонарні точки: Обчислюємо значення функції в точках Отже, найбільше значення Приклад 2.
Знайти найбільше та найменше значення функції Розв’язання.
Функція є неперервною на відрізку Функція має дві критичні точки: Таким чином, Приклад 3.
Знайти найбільше та найменше значення функції Розв’язання.
Знаходимо критичні точки функції, розв’язавши рівняння Коренями цього рівняння є числа: Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка: Отже, 3.3 Інтервали опуклості та угнутості кривої, точки перегину
Графік функції Графік функції Графік функції Для дослідження графіка функції на опуклість застосовується друга похідна функції. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції Точка, при переході через яку крива змінює опуклість на угнутість або навпаки, називається точкою перегину
. Точками перегину функції
|