Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Министерство образования РФ Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н.Толстого кафедра математического анализа по математике "Гипергеометрическое уравнение" Выполнила: студентка ф-та МиМ, группы 3В, Куркова Д.Н. Проверила: Исаева Г.Р. Тула-2006 Содержание Введение 1. Гипергеометрическое уравнение 1.1 Определение гипергеометрического ряда. Гипергеометрическая функция 1.2 Свойства гипергеометрической функции 1.3 Гипергеометрическое уравнение 2. Представление функций через гипергеометрическую 3. Вырожденная функция 4. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода 5. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции Литература Введение В связи с широким развитием численных методов и возрастанием роли численного эксперимента в большой степени повысился интерес к специальным функциям. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления для выяснения относительной роли отдельных эффектов исходную задачу часто приходится упрощать для того, чтобы можно было получить решение в легко анализируемой аналитической форме. Во-вторых, при решении сложных задач на ЭВМ удобно использовать упрощенные задачи для выбора надежных и экономичных вычислительных алгоритмов. Очень редко при этом можно ограничиться задачами, приводящими к элементарным функциям. Кроме того, знание специальных функций необходимо для понимания многих важных вопросов теоретической и практической физики. Наиболее часто употребляемыми функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита), цилиндрические, сферические и гипергеометрические. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд исследований.Гипергеометрические функции применяются в различных разделах математического анализа, в частности, при решении дифференциальных уравнений и при рассмотрении других специальных функций. С помощью гипергеометрических функций выражаются не только сферические, эллиптические, но и ряд других, в том числе и элементарные функции.В работе рассматриваются определение гипергеометрического ряда и гипергеометрической функции, доказывается, и выводятся некоторые элементарные свойства гипергеометрической функции, функциональные и специальные функциональные соотношения, представление различных функций через гипергеометрическую, вырожденная функция 1 и 2 рода, дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции и его интегралы, представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции. 1. Гипергеометрическое уравнение 1.1 Определение гипергеометрического ряда Гипергеометрическим рядом называется степенной ряд вида где z – комплексная переменная, Если имеем когда k Сумма ряда F( называется гипергеометрической функцией. Данное определение гипергеометрической функции пригодно лишь для значений z, принадлежащих кругу сходимости, однако в дальнейшем будет показано, что существует функция комплексного переменного z, регулярная в плоскости с разрезом (1, Чтобы выполнить аналитическое продолжение предположим сначала что R( k=0,1,2,.. Подставляя (1.2) в (1.1) находим F( причем законность изменения порядка интегрирования и суммирования вытекает из абсолютной сходимости. Действительно, при R( = На основании известного биноминального разложения 0 поэтому для F( F( R( Покажем, что интеграл в правой части последнего равенства сохраняет смысл и представляет регулярную функцию комплексного переменного zв плоскости с разрезом (1, Для zпринадлежащих области (М – верхняя граница модуля функции (1-tz)-
a
, непрерывной в замкнутой области Таким образом, условие F( R( В общем случае, когда параметры имеют произвольные значения, аналитическое продолжение F( Более элементарный метод продолжения, не дающий, однако, возможность получить в явной форме общее аналитическое выражение гипергеометрической функции, заключается в использовании рекуррентного соотношения (1.6) справедливость которого может быть установлена подстановкой в него ряда (1.1). После подстановки и приведения подобных членов коэффициент при zk
в правой части (1.6) будет Путем повторного применения этого тождества можно представить функцию F( F( где р – целое положительное число Гипергеометрическая функция F( Большое число специальных функций может быть выражено через функцию F( 1.2 Элементарные свойства гипергеометрической функции В настоящем разделе мы рассмотрим некоторые свойства гипергеометрической функции, которые непосредственно вытекают из ее определения с помощью ряда (1.1). 1. Принимая во внимание, что члены ряда не изменяются при перестановке параметров F( 2. Дифференцируя рассматриваемый ряд почленно, находим = Таким образом, 3. Повторное применение этой формулы приводит к равенствам m=1,2,… Положим в дальнейшем для сокращения записи F( F( F( F( Функции F( 4. Мы покажем, что F и любые две смежные функции связаны между собой рекуррентным соотношением с коэффициентами, являющимися линейными функциями переменного z.В качестве основных соотношений этого типа могут быть выбраны равенства (2.4), (2.5), (2.6) соответственно. ( ( Подставляя ряд (1.1) в (2.4) имеем (2.4) ( =( = = ( так как z Формулы (2.5) и (2.6) доказываются аналогичным способом: ( = = = = +( Из (2.4)-(2.6) и свойства симметрии (2.1) следует три других равенства: ( ( ( = = 1)}zk
=0, ( = = = = ( Остальные рекуррентные соотношения получаются из (2.4) – (2.9) путем исключения из соответствующей пары формул общей смежной функции. Например, комбинируя (2.5) и (2.8) или (2.6) и (2.9) получаем ( ( и так далее ( = = ( = = ( Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F( Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются F( F( F( F( К данному классу относятся также равенство (1.6) Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций. 1.3 Гипергеометрическое уравнение Заметим, что гипергеометрическая функция u= F( z(1-z) регулярным в окрестности точки z=0. Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях. Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0< Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида u=zs
где s – надлежащее выбранное число, u= Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим z(1-z) z(1-z) zk
+
s
= = - = откуда для определения показателя s и k=1,2,…, первое из которых дает s=0 или s=1- 1) Предположим, что Тогда для вычисления коэффициентов откуда, если принять где для сокращения записи введено обозначение Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при u= 2) Аналогично, выбирая s=1- откуда, если взять k=0,1,2,…, Таким образом, при u= 3) Если u=AF( где А и В произвольные постоянные 2. Представление различных функций через гипергеометрическую Гипергеометрическая функция F( F( так как F( =1-2 так как и так далее. Преобразование F( показывает, что гипергеометрическая функция при F( Придавая параметрам (1-z)v
= F(-v, 1, 1,z) (1-z (1-z)n
= F(-n, n=0,1,2,… Чтобы получить представление логарифмической функции, воспользуемся разложением ln(1-z)= - откуда следует ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) Аналогичным образом выводятся формулы для обратных круговых функций: arctgz=zF( arcsinz=zF( arctg z= =z z2
), таккак arcsin z=z+ =z[1+ =z[1+ 3. Вырожденная гипергеометрическая функция Наряду с гипергеометрической функцией F( Чтобы определить эту функцию, заметим, что степенной ряд где z – комплексное переменное, сходится при любых конечных z. Так как, если обозначить через Вырожденная гипергеометрическая функция F( F( Из данного определения вытекает, что F( Если положить f( то f( Полагая Отсюда следует, что при заданном z функция F( представляет целую функцию Функция F( Связь функции F( Из определения вырожденной гипергеометрической функции непосредственно вытекают равенства и рекуррентные соотношения ( ( ( связывающие функцию F F( Формулы (4.6) и (4.7) доказываются путем подстановки ряда (4.1) остальные рекуррентные соотношения получаются из них в результате простых алгебраических операций. ( = = = = = = Повторное применение рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию F( F( F( Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения z где u= F( Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологаяu= l( =[ Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида z с новыми значениями параметров Если u= F( Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме G Формула (5.3) определяет функцию G G = Мы имеем n=0,1,2,… = поэтому выражение в правой части (5.4) при G( n=0,1,2,… Выполнив вычисления, находим: + откуда для G( G( + n=0,1,2,… , Здесь Если G(-m,n+1,z)= m=0,1,2,… , n=0,1,2,… Из (5.3) непосредственно следует, что вырожденная гипергеометрическая функция второго рода удовлетворяет функциональному соотношению G( На основании этой формулы можно определить функцию G( G( n=1,2,… , Таким образом, функция имеет смысл при любых значениях ее параметров. Из донного определения вытекает, что G( Покажем, что функция G( При Если Из (5.1) следует W{F,G}=C W{ F( Общий интеграл уравнения (7.1) в этом случае может быть представлен в форме u = AF( Функция G( m=1,2,... рекуррентные соотношения: G- ( ( ( G( ( G и так далее. Справедливость этих формул вытекает из определения функции G и соответствующих свойств функции F. 5. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции Как уже отмечалось, многие элементарные и специальные функции, встречающиеся в анализе, могут быть вырождены через функцию F( Мы имеем, например, 1) F( так как 2) F(1,2,z)= так как 3) F(-2,1,z)= и так далее. Литература 1. Балк М.Б. Математический анализ: теория аналитических функций. 2. Гурвиц А.И., Курант. Теория функций. 3. Евграфов Н.А. Аналитические функции. 4. Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения. 5. Маркушевич. Введение в теорию аналитических функций. 6. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 3,4. 7. Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа том 1,2 8. Фихтенгольд. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 9. Фильчаков. Справочник по высшей математике.
|