Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Метод векторів та його застосування
Вступ
Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення. Уперше поняття вектора як напрямленого відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізичних векторних величин: швидкості, прискорення, сили, моменту сили тощо. Високий ступінь наочності і простота геометричних операцій над векторами як напрямленими відрізками сприяли тому, що поняття вектора знайшло загальне визнання і застосування в інших розділах фізики: в кінематиці, статиці, динаміці точки і динаміці системи, в теорії потенціалу та гідродинаміці, а також стало одним із основних понять таких наук, як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля, тензорний аналіз тощо. Проте хоча поняття вектора знайшло перше застосування в фізиці, це математичне поняття, усі операції над якими виконуються за законами математики. Вектор як математичне поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у різні нематематичні науки. В школі за допомогою векторного метод розв’язується багато різноманітних задач, які не мають іншого способу розв’язання. Саме тому вивчення поняття вектора є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук. 1.
Поняття вектора
В елементарній геометрії, як відомо, відрізком AB
називається сукупність всіх точок прямої, що лежать між A
і B
. Точки A
і B
називаються кінцями відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвий. Однак при використанні геометрії у вивченні фізики, особливо механіки, часто доводиться розглядати напрямлені відрізки
, тобто відрізки, для яких вказані початкова і кінцева точки. Тобто AB
і BA
геометрично один і той же відрізок, то, розглядаючи їх як напрямлені відрізки, ми повинні враховувати, що вони задають різні об’єкти. Означення 1.
Відрізок АВ називається напрямленим,
якщо береться до уваги порядок його кінцевих точок. Перша точка (А
)
називається його початком,
а друга (В
)
– його кінцем
.
Позначають напрямлений відрізок так: АВ
.
Означення 2.
Довжиною напрямленого відрізка довжина відрізка АВ
.
Позначають: Означення 3.
Напрямлені відрізки АВ
і CD
називаються однаково напрямленими
(спів напрямленими), якщо однаково напрямлені промені АВ
і CD
,
і протилежно напрямленими,
якщо ці промені протилежно напрямлені. Означення 4.
Вектором
називається множина однаково напрямлених (спів напрямлених) відрізків однакової довжини. Означення 4.1
. Вектором
називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, яка з обмежуючих його точок рахується першою, яка – другою. Перша точка напрямленого відрізка називається початком вектора
, а друга точка – кінцем
. Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою гострим кінцем до кінця вектора. В тексті вектор записується двома великими літерами латинського алфавіту зі спільною рискою зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга – кінець вектора. Наприклад, мал. 1.
a
мал. 1.
b
Означення 5.
Вектори мал. 2
.
a
мал. 2.
b
Означення 6. Довжиною (модулем)
вектора називається довжина будь-якого представника класу спів напрямлених відрізків, який визначає цей вектор. Інакше кажучи, довжиною вектора називається довжина напрямного відрізка, який зображає цей вектор. Модуль вектора Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим вектором
,
позначають Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором
,
або ортом
.
Рівність векторів
Означення 1.
Два вектори називаються рівними
,
якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються. Пишуть: Всі нульові вектори вважаться рівними один одному. Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів. Теорема 1
. (
перша ознака рівності двох векторів). Для того щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини. Доведення:
1. Необхідність.
Нехай вектори Якщо 2. Достатність.
Нехай Наслідок.
Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою. Теорема 2.
(теорема про відкладання вектора). Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний. Доведення:
Нехай даний вектор відрізок АС
і відкладемо на його продовженні відрізок CM
=АС
.
Чотирикутник АВМО
є паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси випливає, що промені АВ
і ОМ
однаково напрямлені, а відрізки АВ
і ОМ
рівні. Отже, Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор Означення 2.
Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до Додавання векторів, властивості операції додавання векторів
Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі. Означення.
Нехай задано два вектори З цього правила випливає правило паралелограма
: якщо вектори Розглянемо властивості операції додавання векторів. Властивість 1
. Операція додавання векторів комутативна
, тобто для будь-яких векторів Властивість 2.
Операція додавання векторів асоціативна
, тобто для будь-яких векторів Доведення:
Візьмемо довільну точку A
і від неї відкладемо вектори Властивість 3.
Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: Доведення.
Нехай Властивість 4
. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: Доведення:
Нехай З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: ( Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника.
Щоб знайти суму n векторів Віднімання векторів
Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення.
Різницею векторів
Доведемо, що вектор Отже, якщо вектор Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів Отже, для побудови різниці векторів Множення вектора на число
Означення. Добутком
вектора 1) 2) Такий вектор позначається Операція добутку вектора на число має такі властивості. Властивість 1.
α* Властивість 2.
Для будь-якого вектора Властивість 3.
Для будь-якого вектора Доведення.
Нехай α(β Отже, Властивість 4.
Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α( Доведення.
Нехай α > 0. Відкладемо вектори Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12). Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α ( Властивість 5.
Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β) Доведення.
Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів). 1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) Отже, 2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β) Якщо α 2. Колінеарність векторів
Означення.
Два ненульових вектори Позначення: Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором. Теорема
. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори Доведення.
1. Необхідність.
Нехай 2. Достатність.
Нехай виконується рівність /1/, тоді Зауваження 1.
Якщо Зауваження 2.
Оскільки для колінеарних векторів Відношення 3. Компланарність векторів
Означення.
Три ненульових вектори називаються компланарними
якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині. Очевидно, що коли компланарні вектори Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині. Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних. Теорема 1.
(про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори Інакше кажучи, вектор Доведення.
Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O
вектори Можливі два випадки: 1. Точка С
належить прямій ОВ
(мал. 15a). Тоді вектори 2. С Теорема 2. (
про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори Лінійна залежність векторів
Означення.
Система векторів Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при Сума Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі. Властивість 1.
Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи. Доведення.
1. Необхідність.
Нехай система векторів При цьому принаймні одне з чисел Отже, вектор 3. Достатність.
Нехай у даній системі векторів вектор Цю рівність можна записати так: У цій рівності коефіцієнт біля Властивість 2.
Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна. Властивість 3.
Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна. Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною. Властивість 4.
Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора. Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: виконується рівність 1* Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми. Теорема 1.
Два вектори Доведення.
1. Необхідність
. Нехай система векторів 2. Достатність
. Нехай вектори Теорема 2.
Система трьох векторів Доведення
.
1. Необхідність.
Нехай система векторів 2. Достатність.
Нехай вектори 4. Координати вектора
Нехай ( Коефіцієнти Якщо вектор Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих Тому Аналогічно, Отже, координата Базисні вектори в самому базисі мають координати Аналогічно визначаються координати вектора в просторі Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі Базисні вектори мають координати: Розглянемо властивості координат векторів. Теорема
(2-га ознака рівності векторів
): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати. Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами. Теорема:
справедливі такі твердження: 1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів; 2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів; 3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число. Доведення:
доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі ( Отже, Звідси випливає, що координати вектора Аналогічно доводяться й інші властивості. Теорема
(2-га ознака колінеарності двох векторів
): для того, щоб два вектори Доведення:
якщо 1. Необхідність.
Нехай Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні. 2. Достатність.
Нехай 5. Тривимірний векторний простір і його підпростори
Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме: У векторних просторах розглядається поняття базису
векторного простору і розмірності
. Введемо означення цих понять. Означення:
базисом
векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови: 1) ця система векторів лінійно незалежна; 2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів. Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору. Означення: розмірністю
векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів. З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку.
Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів. Тому розмірність даного простору
Означення:
нехай L – непорожня множина векторів із векторного простору 1) якщо 2) якщо Тобто підмножина L простору 6. Скалярний добуток векторів
Нехай Означення: скалярним добутком
двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: Теорема:
скалярний добуток векторів Доведення.
Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що 1. Вектори З звідки = 2. Вектори Теорему доведено. З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів: 1. 2. 3. 4. (α 5. ( Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами: – у просторі cos( – в просторі cos( Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії. Практична частина
Задача 1
. Довести, що коли точка D ділить відрізок AB у відношеннях m: n, а C – довільна точка площини, то Доведення:
Введемо позначення: AD: DB = m: n; Звідси (1 + Задача 2
. Якщо точки M і N належать відрізкам AB і CD, та AM: MB = CN: ND = m: n, то виконується рівність Доведення:
за умовою та за формулою, що була доведена в задачі 1, маємо: Доведення:
за умовою Задача 4.
В коло вписано чотирикутник ABCD, перетинаються в точці M. Через середину S сторони CD проведено пряму SM так, що (AB) Звідси x = Задача 5.
Дано три точки A, B, C і деяка точка O. Довести, що рівність Доведення:
Необхідність.
Нехай точки A, B, C належать одній прямій, тоді Достатність.
Нехай Доведення:
за формулою /#
/ маємо Задача 7.
Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобедреного трикутника дорівнює Задача 8.
Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рухаючи від вершин. Задача 9.
Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD. Чи є лінійно залежними вектори: а) Вектори Задача 10.
Обчислити кут між векторами Розв
’
язання:
формула косинуса кута: cos( Тоді cos( Відповідь:
Розв
’
язання:
Нехай ABCD – даний паралелограм. Покладемо Розв
’
язання:
нехай O – центр маси вантажу, до якого прикладено силу P. Розкладемо вектор Висновок
Таким чином в своїй курсовій роботі на тему «Метод векторів та його застосування» я подала короткі теоретичні відомості про поняття вектора, рівносильність векторів, додавання, віднімання та множення вектора на число, колінеарність, компланарність, лінійну залежність векторів, координати вектора, скалярний добуток векторів а також про векторний простір та його підпростори. А в практичній частині, на прикладах показала доцільність його застосування. Метод векторів широко застосовується в різних галузях науки (математиці, фізиці). Часто його застосування значно полегшує розв’язування деяких задач, а інших випадках задачу взагалі неможливо розв’язати іншим способом. Література
1. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия, Ч.І. – М: Просвещение, 1974. – 351 с. 2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1986. – 336 с. 3. Атанасян Л.С. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1967. – 300 с. 4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри, Ч.І. – М: Просвещение, 1973. – 256 с. 5. Яковець, Боровик, Коваленко. Аналітична геометрія: навч. пос. – Суми: Університецька книга, 2004. – 295 с. 6. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М: Наука, 1970. – 335 с. 7. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри, М: Наука, 1972. – 240 с. 8. Панішева О.В. Векторний метод: Інтегрований урок геометрії та фізики, Математика. – 2000. – №14. – с. 4 – 5. 9. Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв’язування задач, Математика. – 2001. – №5. – с. 5 – 11.
|