Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Работа Скворцова Александра Петровича,
учителя, ветерана педагогического труда
Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Содержание
Общее утверждение Утверждение 1 Доказательство Части первой «Утверждения 1» Доказательство Части второй «Утверждения 1» Пример Примечание «Вывод» о Великой теореме Ферма (простое) Утверждение 2 Доказательство Части первой «Утверждения 2» Доказательство Части второй «Утверждения 2» Примечание Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма Утверждение 3 Доказательство Части первой «Утверждения 3» Доказательство Части второй «Утверждения 3» Примечание Общий вывод Литература Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения Этот метод позволяет: 1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для 2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения 3. Судить о возможности существования частного решения уравнения а) b = ±1; c = ±3; a = 2. б) b = 4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения 5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма 6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма ********** Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом. И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ≥
ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма
1. Уравнение 2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ»,
необходимо рассмотреть2 случая для показателя q
: 1)
2)
Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма
, для простого показателя
Часть 1
Уравнение Часть 2
Возможны случаи: либо **********
Последнее утверждение (либо *********
Часть первая
(Утверждения 1)
Уравнение Доказательство
Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для Докажем данное «Утверждение 1
» методом от противного. Предположим, что уравнение Из уравнения (1) следует: где ******** Примечание
То, что Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома Ньютона Для Для степени (3)
*******
Пусть где Тогда уравнение (2) примет вид: где где Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем: Сумму же нечетных чисел где Из (7) и (8) определим Откуда (11) ********
Вывод:
На основании (8) и (11) имеем: (13)
из соотношений (7) и (12) имеем: (14)
Это дополнительная информация
о свойствах предполагаемых взаимно простых числах
*******
Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c
и Таким образом, получили следующее уравнение: где (16) (17) (18) (19) Примечание:
во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t
=0
иr
=0 (при
t
=0
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15) следующий: (20) целыми решениями
которого (это известный факт в теории чисел
) являются: (21) (22) (23) (24) То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество
. *******
Для простоты обозначим правые части уравнений
(16), …, (19) буквами С, В, N, К,
т.е.
и рассмотрим случай
, когда в правых частях уравнений
(16), …, (19) перед С, В, N, К,
стоят «плюсы»
и выполняется Условие 1
. Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
Случай «+».
(16+) (17+) (18+) (19+) Казалось бы, все в порядке: четность
Однако не все так просто. Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации
(13)
и (14)
(о
четности
, заключенной в «Выводе» (стр.5))
, вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1»
, допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа Попробуем найти сумму т.е. Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»
Однако, если Мы пришли к противоречию
в Случае «+»
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых Вывод.
Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1
не имеет решений в целых попарно взаимно простых ******* Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1»
доказана. На самом деле у уравнения (15) Случаи «+» и «-».
(16±) (17±) (18±) (19±) Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) (17-) (18-) (19-) Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».
И в этом случае сумма Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»
Однако, если Мы пришли к противоречию
(
в Случае «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых *******
Вывод.
Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых *******
Примечание
.
Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В, N, К
стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1. ******** Т.к. уравнение (15) симметрично
для с
и b
(для уравнения (15) они равнозначны), тос
иb
могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство назовем «новым свойством Условие 2 (начало)
с =B
b = С
n = N «Новые» случаи
«+» и «-».
(16´±) c
(17´±) b
(18±) (19±) И в этом случае сумма Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях
«+» и «-»
Однако, если Мы пришли к противоречию
(
в «Новых» случаях «+»
и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых ******* Вывод
. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало)
не имеет решений в целых попарно взаимно простых ******* Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев (
пояснение ниже
)
,рассматривающих «новые свойства ******** Уравнение (15)
симметрично и для
n
и для
Условие 3
c = C b = B n = К
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с
= ± С =
± ( (17±) b
= ± В
=± ( (18´±) n
= ± К
= ± ( (19´±) Согласно одному из Выводов
(формула (14))
Мы пришли к противоречию
(
в «Похожих» случаях «+»
и «-»)
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых *******
В остальных 14 «похожих» случаях,
где опять же
Это значит, что мы опять придем к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых ******** Вывод
. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3
не имеет решений в целых попарно взаимно простых ********
Пояснение
(почему не надо
в Условии 3
затрагивать «новые свойства Запишем Условия (1, …, 3).
Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3
с = С
с =B
c = C
c =B
b = B
b = С
b = B
=> b = C
n= N
n = N
n = К
n = К
Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 с
на
b
,
аb
на
c
в верхних двух строчках и n
на Условие 2+3 Условие 1
c =B
b = B
с = С
b = C
=> с = С
=> b = B
n = К
Вывод.
1. Таким образом,
в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3
,
Уравнение (1) 2. 1-я часть «Утверждения 1»
(
для Условий 1(начало), 2 (начало)
и 3) доказана.
*********
Часть вторая
(Утверждения1)
Возможны случаи: либо (Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1
(продолжение
).
Всего случаев 16
. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев
, когда перед С, В,
N
и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки
. Пояснение.
Случаев всего 14
, когда перед С, В,
N
и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки
и число их равно числу Р
перестановок из m= 4 элементов (
c
,
b
,
n
и ******** Случай 1.
Тогда сумма
Учитывая (14) и (19), можно получить разность Выразим из (25) и (26) По условию Т.о., Т.к. из (8) Из (19) с учетом (29) выразим Т.о., выражения
которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму т.к. (Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем). Теперь, учитывая (32), получим значение для
b
:
Итак, Учитывая (35), получим Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с
(из (34)): Таким образом, уравнение где *******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15)
были бы решения, противоположные
по знаку с решениями
(16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
где *******
Случай 3
Тогда сумма
Учитывая (14) и (19′), можно получить разность
Выразим из (25) и (26′) По условию Т.о., Т.к. из (8) Из (19´) с учетом (29) выразим Т.о., где т.е. Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму т.к. (Здесь чередование
«плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем). Теперь, учитывая (32), получим значение для
b
:
Итак, Учитывая (35´), получим Теперь, с учетом ( Таким образом, уравнение ********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15)
были бы решения, противоположные
по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.
где *******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые части уравнений
(16),…, (19) буквами С, В, N, К,
т.е Тогда эти первые 4 случая
следующие: 1
. (16) (17´) (18) (19) 3
. (16) (17´) (18) (19´) ********* Рассмотрим еще 10 случаев
. 5
. с = С
6
. с = - С
7
. c= C
8
. c= - C
b = - B
b= B
b= - B
b= B
n= - N
n= N
n= - N
n= N 9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С b = Bb = -Bb = Bb = -B n =- Nn = Nn = Nn =- N 13. с = С 14. с = -С b = Bb =- B n =- Nn = N ******* Итак, рассмотрим случай 5. Случай 5
Тогда сумма Учитывая (14) и (19), можно получить разность Выразим из (25) и (26) По условию Т.о., Т.к. из (8) Из (19) с учетом (29) выразим
Т.о., выражения
которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10
). Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность т.к. (Здесь чередование «плюса» и «минуса
» такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем). Теперь, учитывая (32), найдем разность (
b
-
n
)-
n
:
Т.к. b+ c=2n, то b-2n= b- (b+ c) = - c= -1 => c
= 1 (40).
Учитывая (34), получим Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для
b
(
из (35)): Таким образом, уравнение *******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями
(16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е
. *******
Случай7
Тогда сумма Учитывая (14) и (19´), можно получить разность Выразим из (25) и (26´) По условию Т.о., Т.к. из (8) Из (19´), с учетом (29), выразим Т.о., выражени
я которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность т.к. (Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29).
В последующих действиях мы это учтем). Теперь, учитывая (32), найдем разность (
b
-
n
)-
n
:
Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c
= 1 (40)
. Учитывая (34´), получим Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для
b
(из (35´)):
Таким образом, уравнение *******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные
по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´),
мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.
*******
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15)
а) б) А это в свою очередь означает, что и уравнение Случай 9
Из (16) и (17) имеем: Учитывая (14) и (19), можно получить разность Следовательно, Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых *********
Случай 10
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 9.
Действительно, из (16´) и (17´) имеем: Учитывая (14) и (19´), можно получить разность Следовательно, - Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых ******** Случай 11
Из (16) и (17) имеем: Учитывая (14) и (19´), можно получить разность Следовательно, Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых Случай 12
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 11.
Действительно, из (16´) и (17´) имеем: Учитывая (14) и (19), можно получить разность Следовательно, - Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых ******* Случай 13
Из (16) и (17) имеем: Учитывая (14) и (19´), можно получить разность Следовательно, Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых ********
Случай 14
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13
здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же
, что и в случае 13.
Действительно, из (16´) и (17´) имеем: Учитывая (14) и (19), можно получить разность Следовательно, - Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1)
попарно взаимно простых целых *********** Вывод.
1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено
.
********** Условие 2
(продолжение
).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично
для с
и b
, поэтомус
и
b
могут меняться
своими выражениями (
C
и В)
. Это свойство нами было названо «новым свойством В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва
«Новых» случая
«+» и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев
,рассматривающих «новые свойства ********
«Новый» случай 15
(
Отличающийся «новым свойством с = - В
(
16-B),
b
=
С (
17+C),
n
=
N
(
18),
где Доказательство
Сумма Учитывая (14) и (19), можно получить разность Выразим из (25) и (26) По условию Т.о., Т.к. из (8) Из (19) с учетом (29) выразим
Т.о., Теперь найдем сумму
с
т.к. (Здесь чередование «плюса» и «минуса»
такое же, как и у единицы в (29
). В последующих действиях мы это учтем). Теперь, учитывая (32), получим значение для с
:
т.к. из (29) вытекает Итак, Учитывая (34), получим Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для
b
(из (35)): Таким образом, уравнение *********
Примечание
То, что окончательные решения
в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает
и из
следующего соображения
, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В
(
16-B),
с = - С
(
16´),
b
=
С (
17+C),
b
=
В (
17),
n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),
У этих случаев одинаковые знаки
в правых частях с
и b
, но разные выражения
(С
и В
), в остальном эти случаи похожи. Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством
для них являются произведение и разность с
иb
.
«Общие свойства для
с
и
b
»:
с
b
= -СВ
, с –
b
= -С -В
,
с –
b
=2К
Воспользуемся свойствами корней
квадратного уравнения (теоремой Виета
). Имеем: с
(-
b
)= СВ
, с+
(–
b
)= -С -В
= 2К
.
Отсюда получаем квадратное уравнение
где, например, Х1
= -
b
, а Х2
=
с
, то есть Х1
= -
b
= К +
где на основании Х2
=
с = К-
где на основании (40´) Случай 8
с = - С
(
16´),
b
=
В (
17),
n
=
N
(
18),
где Теперь обозначим Х1
=
с
, а Х2
= -
b
.
Тогда получим: Х1
=
с = К+
где на основании (40´) Х2
= -
b
= К-
где на основании Таким образом, мы получили случай 15
: Случай 15
с = -В
(
16-B),
b
=
С (
17+C),
n
=
N
(
18),
где Таким образом, одно и то же квадратное уравнение В этом мы непосредственно и убедились. Следовательно, «Общие свойства для с
иb
» (
с
b
= -СВ
, с –
b
= -С -В
,
с –
b
= 2К)
действительно определяют
Случаи 15 и 8,
имеющие одинаковые знаки
у с
иb
и отличающиеся друг от друга
у них выражениями (С
и В
)
, а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений
.
Этой похожестью
с
иb
, их отличием друг от друга
и вышерассмотренными «Общими свойствами для с
иb
»
мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев. *********
Вывод
(критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях
наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с
иb
» (
с
b
=
const
´
********* «Новый» случай 16
(
Отличающийся «новым свойством Случай 16. Случай 7. с = В
с = С
b
= -С
b
= -В
n
= -
N
n
= -
N
Окончательные решения в случае 7
:
где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= С+В =
const
´´,
с –
b
= - 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
16 и 7
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где ********
«Новый» случай 17
(
Отличающийся « новым свойством Случай 17. Случай 6. с = - В
(
16-B),
с = - С
(
16´),
b
=
С (
17+C),
b
=
В (
17),
n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),
Окончательные решения в случае 6
: где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= -С –В =
const
´´
, с –
b
= - 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
17 и 6
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где *********
«Новый» случай 18
(
Отличающийся «новым свойством Случай 18. Случай 5. с = В
(
16+B),
с = С
(
16),
b
=-
С (
17-C),
b
= -
В (
17´),
n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),
Окончательные решения в случае 5:
где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= С +В =
const
´´
, с –
b
= 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
18 и 5
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где ********
«Новый» случай 19
(
Отличающийся «новым свойством Случай 19. Случай 4. с = - В
(
16-B),
с = - С
(
16´),
b
=
С (
17+C),
b
=
В (
17),
n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),
Окончательные решения в случае 4:
где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= -С - В =
const
´´
, с –
b
= 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
19 и 4
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где ********
«Новый» случай 20
(
Отличающийся «новым свойством Случай 20. Случай 3. с = В
(
16+B),
с = С
(
16),
b
= -
С (
17-C),
b
= -
В (
17´),
n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),
Окончательные решения в случае 3
: где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= С + В =
const
´´
, с –
b
= - 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
20 и 3
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. ********
«Новый» случай 21
(
Отличающийся «новым свойством Случай 21. Случай 2. с = -В
(
16-B),
с = - С
(
16´),
b
=
С (
17+C),
b
=
В (
17),
n
=-
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),
Окончательные решения в случае 2
: где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= - С - В =
const
´´
, с –
b
= - 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
21 и 2
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где *********
«Новый» случай 22
(
Отличающийся «новым свойством Случай 22. Случай 1. с = В
(
16+B),
с = С
(
16),
b
= -
С (
17-C),
b
=-
В (
17´),
n
=
N
(
18),
n
=
N
(
18),
Окончательные решения в случае 1:
где Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением»
и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с
и
b
» (
с
b
= - СВ =
const
´
, с –
b
= С + В =
const
´´
, с –
b
= 2К =
const
´´´
) выполняются,
то Случаи
22 и 1
имеют одинаковый вид окончательных решений
уравнения (15),
т.е. где **********
Вывод
Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили
.
*********
«Новый» случай 23
(
Отличающийся «новым свойством Случай 23. Случай 12. с = В
(
16+B),
с = - С
(
16´),
b
=
С (
17+C),
b
= -
В (
17´),
n
= -
N
(
18´),
n
= -
N
(
18´),
|