Абелевы универсальные алгебры "Абелевы универсальные алгебры" Содержание Введение 1. Основные определения, обозначения и используемые результаты 2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр 3. Формационные свойства нильпотентных алгебр 4. Классы абелевых алгебр и их свойства Заключение Список литературы Введение Теория формаций алгебраических систем, как самостоятельное направление современной алгебры, начало развиваться сравнительно недавно, в конце 60-х годов прошлого столетия. Отметим, что за последующие четыре десятилетия в таких классических областях исследования, как группы, кольца, алгебры Ли, мультикольца и т.д. формационные методы получили довольно широкое развитие. В теории же универсальных алгебр формационные методы не находят такого широкого применения, что, в первую очередь, связано со сложностью самого объекта исследований. Поэтому получение новых результатов, касающихся формационных свойств универсальных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая . Здесь на основе определения централизатора конгруэнции, введенного Смитом , дается определение абелевои алгебры и доказывается основной результат, что класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. Также рассматривается и свойства абелевых универсальных алгебр. Перейдем к краткому изложению результатов курсовой работы, которая включает в себя введение, четыре параграфа и список цитируемой литературы из восьми наименований. 1 является вспомогательным. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем. 2, 3 носят ивный характер. Здесь подробно с доказательствами на основании результатов работ [1] и [2] излагается теория централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматриваются формационные свойства нильпотентных алгебр работы[3]. Сразу же отметим, что все рассматриваемые универсальные алгебры принадлежат фиксированому мальцевскому многообразию. В 4, который является основным, на основании результатов 3 вводится понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказывается следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. 1 О сновные определения, обозначения и используемые результаты Приведем определения основных понятий, используемых в данной работе из источников [1] и[2]. Для введения понятия алгебы необходимо сначала определить -арные операции. Определение 1.1. Если – непустое множество и , то -арной операцией на множестве назовем отображение прямого произведения в . Рассматриваются и -арные операции, которые по определению, отмечают некоторый элемент из . Определение 1.2. Пара , где – непустое множество, а (возможно, пустое) множество операций на , называется универсальной алгеброй или, короче, алгеброй . Совокупность операций (или опрерационных символов) будем называть сигнатурой . Часто, при введении алгебры, указывают только множество и не указывают сигнатуру. Элемент алгебры отмечаемый -арной операцией . будем обозначать через . Определение 1.3. Подмножество называется подалгеброй , если для всякой -арной операции , а если и – -арная операция из , то Определение 1.4. Если , – алгебры сигнатуры , то прямое произведение становиться алгеброй той же сигнатуры, если для каждой -арной операции положить а для -арной операции , где , – Возникающая таким образом алгебра называется прямым произведением алгебр . Приведем некоторые определения из Определение 1.5. Отображение из алгебры в алгебру называется гомоморфизмом , если для любых элементов и любой -арной операции ( ) справедливо равенство Если же – нульарная операция, то полагаем Взаимнооднозначный гомоморфизм алгебры на называется изоморфизмом и обозначается . Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры . Изоморфизм алгебры в себя называется ее автоморфизмом . Определение 1.6. Конгруэнцией на алгебре называется всякая подалгебра прямого квадрата , обладающая следующими свойствами: 1) (рефлексивность ): для всех ; 2) (симметричность ): если , то ; 3) (транзитивность ): если и , то . Отметим, что условия 1) – 3) означают, что – эквивалентностъ на множестве . Определение 1.7. Пусть – гомоморфизм алгебры в . Ядром гомоморфизма называется подмножество В работе [3] приводятся следующие теоремы об изоморфизмах Теорема 1 Ядро гомоморфизма является конгруэнцией. Определение 1.8. Если – конгруэнция на алгебре и , то множество называется классом конгруэнции . Множество всех классов конгруэнции обозначают через . При этом для каждой -арной операции считают , а для -арной операции , где , – . Получившуюся алгебру называют фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции . Теорема Первая теорема об изоморфизмах 2 Если – гомоморфизм алгебры в , то Теорема Вторая теорема об изоморфизмах 3 Пусть конгруэнция на алгебре , – подалгебра алгебры . Тогда Определение 1.9. Если , – конгруэнции на алгебре и содержится в , то обозначим и назовем фактором алгебры или фактором на . Теорема Третья теорема об изоморфизмах 4 Пусть – фактор на алгебре . Тогда Определение 1.10. Если и – конгруэнции алгебры , то полагают Теорема 5 Произведение двух конгруэнции является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны. Определение 1.11. Класс алгебраических систем называется формацией , если выполняются следующие условия: 1) каждый гомоморфный образ любой -системы принадлежит ; 2) всякое конечное поддекартово произведение -систем принадлежит . Определение 1.12. Формальное выражение , где и – слова сигнатуры в счетном алфавите , называется тождеством сигнатуры . Скажем, что в алгебре выполнено тождество , если после замены букв любыми элементами алгебры и осуществления входящих в слова и операций слева и справа получается один и тот же элемент алгебры , т.е. для любых в алгебре имеет место равенство Определение 1.13. Класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским , если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны. 2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр Напомним, что класс алгебр сигнатуры называется многообразием , если существует множество тождеств сигнатуры такое, что алгебра сигнатуры принадлежит классу тогда и только тогда, когда в ней выполняются все тождества из множества . Многообразие называется мальцевским , если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны. Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2]. В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами. Если – конгруэнция на алгебре , то смежный класс алгебры по конгруэнции . или – диагональ алгебры . Для произвольных конгруэнции и на алгебре будем обозначать множество всех конгруэнции на алгебре таких, что тогда и только тогда, когда Так как , то множество не пусто. Следующее определение дается в работе[2]. Определение 2.1. Пусть и – конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если то Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы. Лемма 2.1. Пусть . Тогда: 1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1; 2) ; 3) если то Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается . В частности, если , то централизатор в будем обозначать . Лемма 2.2. Пусть , – конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) , где ; 3) если выполняется одно из следующих отношений: 4) из всегда следует Доказательство: 1) Очевидно, что – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и . 2) – конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит 3) Пусть . Тогда Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что Тогда получим т.е. Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3). 4) Пусть Тогда справедливы следующие соотношения: Следовательно, где – мальцевский оператор. Тогда то есть . Так как то . Таким образом . Лемма доказана. Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов. Лемма. 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре . Доказательство: Пусть Тогда из следует, что Аналогичным образом из получаем, что Итак, симметрично и транзитивно. Лемма доказана. Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его. Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на алгебре . Доказательство: Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда где Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре , причем Пусть то есть Тогда и, значит Пусть, наконец, имеет место Тогда справедливы следующие соотношения: применяя мальцевчкий оператор к этим трем соотношениям, получаем Из леммы 2.2 следует, что Так как то Значит, Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана. Лемма 2.5. Пусть , – конгруэнции на алгебре , и – изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, . Доказательство. Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как то определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции . Это и означает, что Лемма доказана. Определение 2.2. Если и – факторы на алгебре такие, что то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в . Напомним, что факторы и назыавются перспективными , если либо либо Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции. Теорема 6 Пусть , , , – конгруэнции на алгебре . Тогда: 1) если , то 2) если , то 3) если , и факторы , перспективны, то 4) если – конгруэнции на и , то где , . Доказательство. 1) Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то 2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что а в силу леммы 2.4 получаем, что Пусть – изоморфизм . Обозначим По лемме 2.5 , а по определению Следовательно, 3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции и на алгебре имеет место равенство Покажем вналале, что Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства: а) если , то б) для любого элемента , в) если то Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и Покажем, что – конгруэнция на . Пусть для . Тогда и Так как – конгруэнция, то для любой -арной операции имеем Очевидно, что и Следовательно, Очевидно, что для любой пары Значит, Итак, по лемме 2.3, – конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Пусть Тогда Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1. Если , то значит, Пусть, наконец, имеет место (1) и Тогда Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует . Докажем обратное включение. Пусть Тогда на алгебре определена конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как то то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1. Если , то следовательно, Пусть имеет место (3) и . Так как то Из (4) следует, что , следовательно, то есть На основании леммы 2.2 заключаем, что Следовательно, . А так как , то , то есть 4) Обозначим . Пусть и удовлоетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что Теорема доказана. Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах. 3. Формационные свойства нильпотентных алгебр Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1]. Напомним, что для и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если , то Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует . В этом случае . Заметим, что если и – конгруэнции на группе и , то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов , имеют место следующие соотношения: Тогда и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что По определению 2.1 получаем, что Следующее определение центральности принадлежит Смиту . Определение 3.1. , если существует такая , что для любого , Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что . Пусть и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента , Докажем обратное включение. Пусть . Так как , то из условия 2) следует, что В силу транзитивности имеем и, значит, в силу условия 3) . Итак Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если , то Это означает . Для получаем, что откуда . Согласно работе Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной , если существует такой ряд конгруэнции называемый центральным , что Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть – подалгебра нильпотентной алгебры . Так как обладает центральным рядом то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из всегда следует и 1) для любого элемента всегда выполняется 2) если и то Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что тогда и только тогда, когда Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре : где Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда Покажем, что – конгруэнция на алгебре . Пусть Тогда и для любой -арной операции имеем Следовательно, Итак, – подалгебра алгебры . Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, согласно лемме 2.3, – конгруэнция на алгебре . Пусть Тогда и так как , то Если , то и, значит, т.е. Пусть, наконец, Тогда и так как Следовательно, Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть и – конгруэнции на алгебре , и – изоморфизм, определенный на алгебре . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором Доказательство: Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то существует конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов , . Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что Лемма доказана. Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть центральный ряд алгебры . Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд является центральным, т.е. для любого . В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11 ) и леммы 3.2., достаточно показать, что Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы , что и Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре . Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда из соотношения следует, что Так как то . Итак, Пусть . Тогда для некоторого элемента , и . Таким образом, следовательно, Так как , то это означает, что Пусть где Покажем, что . В силу определения найдутся , что и При этом имеют место следующие соотношения: Следовательно, Но тогда по определению 3.2. А так как , то Теперь из того, что следует, что Лемма доказана. Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой. Лемма 3.4. Пусть – конгруэнция на алгебре , . Пологая тогда и только тогда, когда для любого , получаем конгруэнцию на алгебре . Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно. Доказательство: Очевидно, достаточно показать, что если , и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная алгебра. Пусть центральные ряды алгебр и соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную . Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом: где тогда и только тогда, когда , , . Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. для произвольного . Так как то на алгебрах и соответственно заданы конгруэнци и , удовлетворяющие определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: и только тогда, когда и Легко непосредственной проверкой убедиться, что – конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть имеет место Тогда согласно введенному определению и откуда следует, что т.е. Пусть Это означает Но тогда и Следовательно, Пусть имеет место Это означает, что и Значит, и , т.е. . Лемма, доказана. Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр. Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией. Определение 3.3. -арная группа называется нильпотентной , если она обладает таким нормальным рядом что и для любого . Так как конгруэнции на -арных группах попарно перестановочны (смотри, например, ), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп. Лемма 3.6. Пусть – -арная группа. и – нормальные подгруппы группы и . Тогда , где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе . Доказательство: Подгруппы и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом: – -арная операция. Определим на бинарное отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что Покажем, что – подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор . Пусть Так как , то Так как , то Поэтому в силу того, что , Итак, – подалгебра алгебры . Пусть – нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, что Тем самым доказало, что – конгруэнция на . Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана. Лемма 3.7. Пусть – нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1. Доказательство: Так как для любого , то индуцирует конгруэнцию на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана. В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию. 4. Классы абелевых алгебр и их свойства Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра называется нильпотентной , если существует такой ряд конгруэнций называемый центральным, что для любого . Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра называется, абелевой . Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева. Доказательство: Пусть подалгебра абелевой алгебры . Так как по определению , то на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если то Рассмотрим конгруэнцию Действительно, если для , то и для любой -арной опеации имеем Но поскольку подалгебра алгебры , получаем Значит, подалгебра алгебры . Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, конгруэнция ня алгебре . Пусть тогда то Если , то и, значит, т.е. Пусть, наконец, Тогда и значит . Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана. Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева. Доказательство: Пусть алгебра – абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы , , , , что и Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре . Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда Пусть Тогда , и по определению 2.1 При этом и . Согласно нашим обозначениям получаем, что Пусть Тогда найдутся , что и При этом Следовательно, Но тогда по определению 3.1. . А так как , то Теперь из того, что следует, что Лемма доказана. Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево. Доказательство: Очевидно, достаточно показать, что если , и – абелевы алгебры, то – абелева алгебра. Пусть и . Это означает, что на алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре . Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда Пусть . Это означает, что и . Но тогда и Следовательно, Пусть тогда и Это означает, что и . Таким образом Лемма доказана. Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией. Пусть – конгруэнция на алгебре . – подалгебра алгебры , и . Тогда введем новое обозначение Лемма 4.4. Пусть определено множество . Тогда – конгруэнция на , Доказательство: Так как , то для любого элемента всегда найдется такой элемент , что . Следовательно, где . Таким образом . Пусть теперь , . Тогда где . Следовательно, для любой -арной операции получаем Теперь, поскольку , то по лемме 3.2 – конгруэнция на . Пусть . Тогда, очевидно, т.е. . Так как то Покажем теперь, что . Допустим противное. Тогда найдется такая пара , что и . Из определения следует, что существует такая пара , что Так как то применяя мальцевский оператор получаем Из леммы 2.2. теперь следует, что . Итак, . Лемма доказана. Подалгебра алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры . Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной. Доказательство: Пусть – подалгебра абелевой алгебры . Так как , то по лемме 4.4. на существует такая конгруэнция , что Лемма доказана. Заключение Таким образом, в данной работе мы подробно с доказательствами на основании результатов работ [3] и [4] изложили теорию централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматрели формационные свойства нильпотентных алгебр работы[2], на основании результатов 3 ввели понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказали следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию. Список литературы Скорняков, Л.А., Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. – 272 с. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 256 с. Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554. Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. – 120 с. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.–351 с. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр // Вопросы алгебры. – 1996.–Вып.10 с. 144–152 Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. – 1992. – Вып.7.–с. 76–85