Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет Кафедра математичного аналізу Факультет заочної та дистанційної освіти ДИПЛОМНА РОБОТА Графічні методи розв’язування задач із параметрами
Виконавець Керівник роботи Студентка групи ЗММ-00-01к. ф. - м. н., доцент Лісняк Л.В. Трактинська В.М. “___” червня 200_ р. “____" червня 200_ р. Допускається до захисту Завідувач кафедроюРецензент доктор фіз. - мат. наук, професорк. ф. - м. н., доцент Бабенко В.Ф. Великін В.Л. “___” червня 200_ р. “___”червня 200_ р. м. Дніпропетровськ 200_ р. Дипломна робота містить 105 стор., 95 рис., 5 табл. ., 7 джерел. Об’єктом дослідження
є задачі з параметрами. Мета роботи
- систематизувати графічні методи розв’язання задач з параметрами. Методика дослідження
- вивчення метода та розв’язування задач. Результати досліджень
можуть бути застосовані при викладанні теми “Графічні методи розв’язування задач із параметрами" в математичних класах середніх шкіл та ліцеях. Перелік ключових слів:
ПАРАМЕТР, ФУНКЦІЯ, РОЗВ’ЯЗОК, РІВНЯННЯ, НЕРІВНІСТЬ, ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПЕРЕНОС, ПОВОРОТ, ГОМОТЕТІЯ, КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА, ПОХІДНА. Annotation This degree thesis of the 5th
year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with graphic methods of the decision of problems with parameters. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties. Bibliography: 7 Зміст 1.3 Гомотетія. Стиск до прямої
Розділ 2. Координатна площина (x; a)
Розділ 3. Застосування похідної
Список використаної літератури
В програмах по математиці для середніх шкіл задачам з параметрами відводять незначне місце. Тому, в перше чергу, необхідно вказати розділи загальноосвітньої математики, в яких присутня сама ідея параметра. Так, з параметрами учні зустрічаються при введенні деяких понять. Розглянемо як приклади наступні об’єкти: функція пряма пропорційність лінійна функція лінійне рівняння рівняння першої степені квадратне рівняння До задач з параметрами, які розглядаються в курсі середньої школи, можна віднести, наприклад, пошук розв’язків лінійних та квадратних рівнянь в загальному виді, дослідження кількості їх коренів в залежності від значень параметрів Природно, що такий невеликий клас задач багатьом учням не дозволяє усвідомити головне: параметр (фіксоване, але невідоме число) має двоїсту природу. По-перше, параметр можна розглядати як число, а по-друге, - це невідоме число. Таким чином, ділення на вираз, який містить параметр, добування кореня парного ступеня із таких виразів потребує попередніх досліджень. Як правило, результати досліджень впливають і на розв’язок, і на відповідь. Головне, що необхідно усвідомити при роботі з параметром - це необхідність обережного відношення до фіксованого, але невідомого числа. Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Графічні методи розв’язування задач з параметрами”. Робота складається із вступу, 3 розділів та списку використаної літератури. Кожний із 3 розділів присвячений одному із графічних прийомів. Розділи діляться на параграфи. Кожний параграф побудовано за такою структурою. На початку параграфа наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім даються задачі із подробним розв’язанням, а наприкінці наведені задачі для самостійної роботи з відповідями. І розділ роботи “Координатна площина ІІ розділ роботи “Координатна площина ІІІ розділ роботи “Застосування похідної” присвячений побудові графічного образу із застосуванням похідної.
Дипломна робота може бути використана вчителями та студентами старших курсів при проведенні педагогічної практики. На площині Не завжди графічний образ сім’ї функцій Говорячи про графічні методи, неможливо обійти одну проблему, породжену практикою конкурсних екзаменів. Мається на увазі питання про законність розв’язку, який заснований на графічних зображеннях. З формальної точки зору результат, який “знятий" з рисунку, знайдений нестрого. Але вимоги до рівня математичної строгості для учня повинні визначатися здоровим глуздом. Побудова графічних образів в даній роботі заснована на побудові графіків виду Почнемо з задач, в який членами сім’ї кривих 1.
Для кожного значення параметра а
визначити число розв’язків рівняння Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій З рисунка 1.1.1 випливає, що при Рис.1.1.1 Відповідь:
при 2.
Для кожного значення параметра Розв’язання.
Побудуємо графік функції З рисунка 1.1.2 випливає, що при Рис.1.1.2 Відповідь:
при 3.
Знайти число розв’язків рівняння Розв’язання.
Побудуємо графік функції Рис.1.1.3 З рисунка 1.1.3 випливає, що при Відповідь:
при 4.
Розв’язати рівняння Розв’язання.
Побудуємо графік функції Рис.1.1.4 Розв’язуючи рівняння Якщо Якщо 5.
При яких а рівняння Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.1.5 Графіки Відповідь:
а=-1 та а=-0,5. 6.
При яких значення параметра а
рівняння Розв’язання.
Побудуємо сім’ю функцій функцій Рис.1.1.6 Графіки функцій Відповідь:
7.
При яких значеннях а рівняння Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.1.7 Відповідь:
8.
Розв’язати нерівність Розв’язання.
Побудуємо графік прямої Рис.1.1.8 Якщо пів парабола розташована нижче прямої, то нерівність розв’язків немає. Розв’язки з’являються тільки з моменту дотику. Знайдемо значення параметра Якщо Далі, зсуваючи півпараболу ліворуч, зафіксуємо момент, коли графіки Коли півпарабола і пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку 9.
При яких Розв’язання.
Запишемо задане рівняння в такому виді: Рис.1.1.9 Задане рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо одна з сторін рухомого “кута" пройде через точку (-1,3). Маємо Відповідь:
10.
Знайти всі значення параметра Розв’язання.
З першого рівняння системи знаходимо Це рівняння задає сім’ю парабол, які “ковзають" вершинами вздовж прямої Рис.1.1.10 З’ясуємо, при яких значення параметра сім’я парабол має спільні точки з колом. Випадок дотику знайдемо з системи Відповідь:
Задачі для самостійної роботи 1.
Знайти всі значення параметра b,
при яких рівняння Розв’язання.
Позначимо Будуємо графік функції Рис.1.1.11 Знайдений графік сім’я прямих Відповідь: b >
100. 2.
При яких значеннях параметра Розв’язання.
Графіком функції Рис.1.1.12 Нам необхідно визначити ті значення параметра, при яких знайдуться точки півкола, розташовані вище відповідних точок прямої. Такі точки з’являться після того, як пряма Відповідь:
3.
При яких значеннях параметра а
корені рівняння Розв’язання.
Перша сім’я Рис.1.1.13 Маємо Розв’язавши цю систему, знайдемо Відповідь.
4.
Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння Розв’язання.
Графік функції Рис.1.1.14 При а = 0
рівняння має єдиний корінь. З сім’ї паралельних прямих у = х-а
нас цікавлять тільки ті, які перетинають побудований графік в трьох точках. Очевидно таких прямих тільки дві. Вони й побудовані на рисунку 1.1.14. Для прямої 1
маємо Відповідь: Тепер будемо розглядати сім’ї кривих, які задаються рівняннями 5.
Розв’язати нерівність Розв’язання.
Побудуємо прямую Рис.1.1.15 Значення параметра, яке відповідає дотику, можна знайти, вимагаючи від системи мати один Розв’язання, що рівносильне для рівняння Далі, зсуваючи "півпараболу" ліворуч, зафіксуємо останній момент, коли графіки При Коли "півпарабола" та пряма перетинаються тільки в одній точці (це відповідає випадку Відповідь:
при 6.
Скільки коренів має рівняння Розв’язання.
Зазначимо, що вводячи функції Розглянемо функції Рис.1.1.16 Очевидно, якщо абсциса вершини "півпараболи" більше одиниці, тобто Якщо Відповідь.
Якщо 7.
Знайти всі значення параметра а,
при яких система рівнянь має розв’язки Розв’язання.
З першого рівняння системи знайдемо Ліву частину другого рівняння системи розкладемонамножники. Маємо Тільки графіком другого рівняння є об’єднання двох прямих З’ясуємо, при яких значеннях параметра а
сім’я "півпарабол" має хоча б одну спільну точку з однією зі знайдених прямих. Рис.1.1.17 Скористаємося рис.1.1.17. Якщо вершини "півпарабол" знаходяться праворуч від точки А, але ліворуч від точки В
(точка В
відповідає положенню вершини в момент дотику "півпараболи" з прямою Якщо вершина розташована в точці А, то очевидно а
= −3. Випадок дотику знайдемо, вимагаючи від системи мати один Розв’язання, тобто рівняння Таким чином, початкова система не має розв’язків, якщо 8.
Знайти найменше с
,при якому система має єдиний розв’язок Розв’язання.
Перше рівняння системи зручно представити у вигляді Кожному з відмічених кіл відповідає деяке значення параметра с.
Оскільки умова задачі вимагає, щоб с
було найменшим, то з чотирьох кіл треба вибрати те, абсциса центра якого приймає найменше значення. Очевидно це буде коло з центром в точці О Рис.1.1.18 Маємо Відповідь:
9.
При яких а
множиною розв’язків нерівності Розв’язання.
Графіком функції Рис.1.1.19 Для цього випадку розв’язком початкової нерівності буде відрізок Якщо центр О1
співпадає з точкою A (-1; 0) або розташований ліворуч, то розв’язком нерівності буде відрізок довжиною 2. Разом з тим, якщо О Знайдемо значення x
Знайдене рівняння при За умовою Відповідь: 10
. Знайти всі значення параметра а,
при яких рівняння Розв’язання.
Представимо рівняння у вигляді Рис.1.1.20 Рівняння буде мати єдиний розв’язок, якщо вершина рухомого "кута" потрапить або в точку А
або в точку В.
Маємо А (
-4; 0), В (
-2; 0), і координати цих точок задовольняють рівнянню Відповідь: 11
. Знайти всі значення параметра а, для яких найменше значення функції Розв’язання.
Дана функція не задає сім’ю "кутів". За умовою задачі необхідно шукати значення параметра, при яких нерівність Одержану нерівність слід переписати так: "Кут" Рис.1.1.21 Абсциси а
1
и а
2
відповідають моменту дотику. Таким чином, шукані значення параметра визначаються сукупністю нерівностей єдиний корінь. Звідси Відповідь:
12.
При яких а
множиною розв’язків нерівності Розв’язання.
Маємо Рис.1.1.22 Якщо вершина "кута" знаходиться між точками А
та В,
то обов’язково знайдуться проміжки області визначення, на яких графік лівої частини нерівності не вище графіка правої частини. На рис.1.1.22 показано одно з проміжних положень "кута" з вершиною С. В цьому випадку розв’язком початкової нерівності будуть всі точки відрізку MN.
При 4) шуканою відповіддю. Але умова задачі вимагає, щоб розв’язком нерівності був відрізок числової прямої. А якщо вершина "кута" співпадає з будь-якою з точок відрізка EF,
включаючи Е
і не включаючи F
(рис.1.1.23, точка F
відповідає моменту дотику), то розв’язком нерівності буде або відрізок і точка, або два відрізки. Визначив координати точок Е
та F,
знаходимо Рис.1.1.23 Відповідь:
В цьому параграфі вибір сім’ї кривих не є різноманітним, а точніше він одноваріантний: члени сім’ї кривих Такий вибір обумовлено тим, що в рівності 1.
При яких Розв’язання
. Побудуємо графіки функцій Рис.1.2.1 Рівняння буде мати три розв’язки, коли пряма Обираємо Відповідь:
2.
Розв’язати рівняння Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.2.2 Якщо Якщо Знайдемо параметр Відповідь:
при 3.
При яких значеннях Розв’язання. Побудуємо графіки функцій Рис.1.2.3 З рисунка видно, що при Відповідь:
при 4.
При яких значеннях Розв’язання
. Запишемо ОДЗ рівняння: Побудуємо графіки функцій Прямі Рис.1.2.4 Рівняння можна переписати у вигляді: Якщо Якщо Відповідь:
при 5.
При яких Розв’язання.
Запишемо ОДЗ рівняння: Прямі Рис.1.2.5 З рисунка видно, що при Відповідь:
6.
Знайти значення Розв’язання
. Запишемо ОДЗ рівняння: Перепишемо рівняння у вигляді: Точку дотику двох функцій знайдемо з умови: Інші значення параметра Рис.1.2.6 Відповідь:
7.
При яких значеннях Розв’язання.
Знайдемо ОДЗ рівняння: Перепишемо рівняння у вигляді Рис.1.2.7 Знайдемо точку дотику двох графіків функцій: Також з рисунка видно, що рівняння буде мати єдиний розв’язок при Відповідь:
8.
Знайти всі значення параметра Розв’язання.
Переформулюємо задачу: знайти Перепишемо нерівність у вигляді: Положенню І відповідає Рис.1.2.8 Відповідь:
Задачі для самостійної роботи 1.
Знайти всі значення параметра k,
при яких система рівнянь має розв’язки Розв’язання.
Прямі сім’ї Задана система буде мати Розв’язання, якщо наведені прямі мають з "півпараболою" На рис.1.2.9 відмічені два положення прямої, яким відповідають деякі значення параметра Рис.1.2.9 На першій прямій лежить вершина. Друга пряма дотикається "півпараболи". Наглядно очевидно, що якщо прямі сім’ї "заметають" утворений кут (параметр k
змінюється від k1
до k2
)
, то система має розв’язки. Значення k1
знайдемо, підставляючи в перше рівняння системи пару (0; 0). Звідси мати єдиний Розв’язання, що рівносильне для рівняння Зауваження.
В деяких прикладах цього параграфу ми будемо розв’язувати стандартну задачу: для прямої з сім’ї прямих знаходити її кутовий коефіцієнт, який відповідає моменту дотику з кривою. Покажемо, як це робиться в загальному виді за допомогою похідної. Якщо Кутовий коефіцієнт k
дорівнює 2.
Знайти все значення параметра k,
при яких система рівнянь має два різних розв’язки. Розв’язання.
Наступна система рівносильна початковій На рис.1.2.10 зображено вітку гіперболи 8), складають сім’ю прямих у = 8 + k (x - 6
). МА
та MB -
дотичні до гіперболи. Рис.1.2.10 Лише прямі з сім’ї прямих, які проходять між сторонами кутів AMD
та ВМС,
перетинають гіперболу в двох точках. Можливо здається, що прямі, близькі до вертикального або горизонтального положення, наприклад, МК
та МР
мають тільки одну спільну точку з гіперболою. Однак це не так: будь-який промінь, який проходить в середині кутів AMD
та ВМС
і перетинає криву, обов’язково перетне вісь координат, тобто "зіштовхнеться" з гіперболою ще в одній точці. Кутовий коефіцієнт прямої МА: 3.
При яких значеннях а
система рівнянь не має розв’язків Розв’язання.
Система рівносильна початковій. На рис.1.2.11 точка (3; 0) - центр повороту. Якщо пряма сім’ї прямих Рис.1.2.11 Кутовий коефіцієнт прямої МА
дорівнює Існує ще одна пряма сім’ї прямих, а саме Відповідь: 4.
При яких значеннях параметра а
рівняння Розв’язання.
Розглянемо функції у = ах
та 1) і радіусом 1. На рис.1.2.12 це дуга АВ.
Всі прямі у = ах,
які проходять між променями ОА
та 0В
перетинають дугу в одній точці. Також одну точку с дугою мають пряма ОВ
та дотична ОМ.
Рис.1.2.12 Кутові коефіцієнти прямих 0В
та ОА
відповідно дорівнюють мати єдиний розв’язок, знаходимо Таким чином, прямі сім’ї у = ах
мають з дугою АВ
тільки одну спільну точку при 5.
Визначити, при яких значеннях параметра а
мінімум функції Розв’язання.
Перейдемо до рівносильного формулювання задачі: визначити, при яких значеннях а
нерівність На рис.1.2.13 зображено графік функції 1) - центр повороту. Рис.1.2.13 Якщо ці прямі "заповнюють" кут АМВ (МА -
дотична), то кожна точка побудованого графіка знаходиться вище відповідних точок прямих. Справедливе й обернене твердження. Знаходячи найбільше значення параметра а,
при якому рівняння Відповідь:
6.
При яких значеннях параметра а
система має три різних розв’язки? Розв’язання.
Розглянувши перше рівняння системи як квадратне відносно y,
легко розкласти його ліву частину на множники. Маємо Рис.1.2.14 Через точку А
(4; 0) проходять всі прямі сім’ї прямих Будемо вимагати від рівнянь Відповідь:
7.
Скільки різних розв’язків має система рівнянь в залежності від параметра а? Розв’язання.
Запишемо сукупність систем, рівносильну початковій. Маємо В цій задачі ми будемо мати справу одразу з двома перетвореннями - поворотом та паралельним переносом. Перша система сукупності має два розв’язки при будь-якому а (
рис.1.2.15). Знайдемо число розв’язків другої системи (рис.1.2.15): при Додатково з рисунка видно, що при Рис.1.2.15 Відповідь:
якщо Наступні дві задачі пов’язані з ще одним перетворенням - паралельним переносом. 8.
Знайти всі значення а, для яких існує пара від’ємних чисел х
та у,
які задовольняють умові Розв’язання.
Нерівність х + 2у > а
задає півплощину з "пливучою" межею х
+ 2у
= а
. Оскільки очевидно, що а
< 0, то система нерівностей Рис.1.2.16 Все прямі сім’ї прямих 1). Очевидно початкова система має Розв’язання, якщо прямі сім’ї перетинають вісь абсцис в точках, які лежать між А
та О
. Для прямої Відповідь: 9.
При яких значеннях параметра а
рівняння Розв’язання.
Розглянемо функції Нехай Очевидно ордината точки М
завжди від’ємна. За допомогою рис.39 легко побачити, що якщо прямі сім’ї прямих проходять між сторонами кута АМВ Рис.1.2.17 Таким чином, кутовий коефіцієнт Відповідь:
1.
Знайти число розв’язків системи рівнянь ( Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.3.1 Якщо коло лежить всередині квадрата, то розв’язків немає. Якщо коло вписане в квадрат, то з’являються розв’язки. В цьому випадку з теореми Піфагора: При При 2.
При яких дійсних значеннях має 8 різних розв’язків? Розв’язнання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.3.2 Знайдемо значення параметра З прямокутного трикутника (зі сторонами Зі збільшенням 3.
Визначити, при яких має точно два розв’язки. Розв’язання.
Перепишемо систему рівнянь у вигляді Перше рівняння визначає гомотетичні кола (з центром гомотетії (0,0) та радіусом Рис.1.3.3 Система буде мати точно 2 розв’язки, коли коло дотикається двох прямих. Знайдемо параметр 4.
Для кожного від’ємного числа Розв’язання.
Перепишемо нерівність у вигляді Кутовий коефіцієнт прямої Рис.1.3.4 Розв’язком нерівності для кожного від’ємного числа 5.
Скільки розв’язків в залежності від Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді Рис.1.3.5 З рис.1.3.5 видно, що при При З рис.1.3.6 видно, що при при при при Рис.1.3.6 Відповідь:
при 6.
При яких значеннях Розв’язання.
Необхідно розв’язати рівняння При Розглянемо випадок дотику двох графіків. Запишемо рівняння дотичних до кожного з графіків в точці Підставляємо Рис.1.3.7 Відповідь:
7.
При яких значеннях параметра Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.1.3.8 Розв’яжемо рівняння на проміжку Якщо Таким чином, при Відповідь:
при Задачі для самостійної роботи 1.
При яких с
система має хоча б один розв’язок? Розв’язання.
Спростимо нерівність системи. Маємо Графіком першої нерівності цієї системи є півплощина з межею Рис.1.3.9 Очевидно система може мати розв’язки, якщо х 2
+ у 2
= с
задає сім’ю гомотетичних кіл з центром в точці О
(0; 0). Рисунок підказує, що якщо радіус кола не менше довжини відрізка ОМ
, тобто відстань від точки О
до межі півплощини, то система має розв’язки. Маємо Відповідь: 2.
Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а? Розв’язання.
При Якщо квадрат (рис.1.3.10) знаходиться в колі Рис.1.3.10 Зі збільшенням а
(квадрат "роздувається") розв’язки з’являються лише в той момент, коли квадрат буде вписаним в коло. В цьому випадку (а
= 1) розв’язків буде чотири. Далі, при Відповідь:
якщо 3.
Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння Розв’язання.
Маємо З рис.1.3.11 видно, що зі збільшенням радіуса Рис.1.3.11 Зауважимо, що а
не є радіусом півкола, т. як Відповідь:
4.
Знайти всі а,
при яких системи рівносильні. Розв’язання.
Перепишемо першу систему в виді Перше рівняння системи задає сім’ю паралельних прямих, зображену на рис.1.3.12. Для випадку а
> 0 друге рівняння системи задає сім’ю кіл. Всі розв’язки другої з початкових систем містяться серед розв’язків першої. Обернена вимога виконується лише тоді, коли кола Рис.1.3.12 Оскільки ми розглядаємо випадок а
> 0, то значення а
= 0 потребує перевірки. Очевидно воно підходить. При а <
0 початкові системи розв’язків не мають, а значить, вони рівносильні. Відповідь: 5.
При яких додатних значеннях параметрів а
та мають однакове число розв’язків? Розв’язання.
Друга система задає сім’ю паралельних прямих 1) (рис.1.3.13). Оскільки за умовою Рис.1.3.13 Вона рівносильна сукупності наступних двох систем: Оскільки а
> 0, то сім’я паралельних прямих Рис.1.3.14 Остання умова досягається тоді, коли прямі Тепер залишилося з’ясувати, при яких а
друга з даних в умові систем має рівно чотири розв’язки. Розглянемо точку Тепер визначимо при яких Відповідь:
якщо Зауваження.
При фіксованому 6.
При кожному фіксованому значенні параметра а
розв’язати рівняння Розв’язання.
Розглянемо функції Рис.1.3.15 Очевидно шукані значення відповідно для Звідси Відповідь:
якщо якщо а
= 1, то 7.
Знайти всі натуральні значення b,
при кожному з яких вираз Розв’язання.
Оскільки вирази Графіком першої нерівності системи є всі точки координатної площини (х
; у),
окрім прямої Рис.1.3.16 Система має розв’язки, якщо сім’я гіпербол Відповідь: b=
3, 4,... 8.
При яких значеннях а
множина точок, задана нерівністю Розв’язання.
Графіком нерівності Рис.1.3.17 Нерівність Задача зводиться до пошуку значень а,
при яких ця фігура "стиснеться" до таких розмірів, що поміститься в ромб. Із міркувань симетрії для пошуку шуканих значень параметра достатньо вимагати від рівняння Рис.1.3.18 Рис.1.3.19 Відповідь:
В основі ідеї розв’язку задач цього підрозділу лежить питання про дослідження взаємного розташування двох прямих: 1.
Знайти значення має єдиний розв’язок. Розв’язання.
Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при Якщо Прямі паралельні, якщо Прямі співпадають, якщо Прямі перетинаються, якщо Відповідь:
система має єдиний розв’язок при 2.
Покажіть, що система рівнянь має єдиний розв’язок при всіх значеннях Розв’язання.
Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при Якщо Відповідь:
прямі перетинаються при всіх значеннях 3.
Знайти всі значення Розв’язання.
Графіками рівнянь системи є прямі. Перше рівняння при Якщо Система немає розв’язків, коли прямі паралельні, тобто Відповідь:
система немає розв’язків при 4.
При яких значеннях має нескінчену множину розв’язків? Розв’язання.
Графіками рівнянь системи є прямі. Друге рівняння при Якщо Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто Відповідь:
система має нескінчену множину розв’язків при 5.
Знайти всі пари значень має нескінчену множину розв’язків. Розв’язання.
Перепишемо систему рівнянь у вигляді Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто Помножуємо друге рівняння на 2 і додаємо до першого рівняння: Відповідь:
6.
При яких значеннях які задовольняють одночасно нерівностям Розв’язання.
Знаходимо з першого рівняння Тоді Відповідь:
7.
Знайти всі Розв’язання.
Розглянемо другу систему: Підставимо знайдені значення Перша система при Тому системи рівнянь рівносильні при Відповідь:
8.
Числа має нескінчено багато розв’язків, причому Розв’язання.
Перепишемо систему у вигляді: Система має нескінчену множину розв’язків, коли прямі співпадають, тобто Так як Тоді З системи трьох рівнянь знаходимо Відповідь:
9.
Знайти всі значення мала б хоча б один розв’язок Розв’язання.
Розглянемо задану систему як систему з двома невідомими З цієї системи маємо: система має розв’язки, якщо При Необхідно дослідити систему при При 10.
Знайти Розв’язання.
Перепишемо систему рівнянь у вигляді: Маємо Відповідь:
Задачі для самостійної роботи
1.
Визначити число розв’язків системи в залежності від значень параметра а.
Розв’язання.
Графіками рівнянь системи є прямі. Оскільки коефіцієнт при у
в першому рівнянні не дорівнює нулю, то це рівняння задає невертикальну пряму Прямі співпадають, якщо Прямі перетинаються, якщо Розв’язання першої системи Відповідь:
якщо Зауваження.
Розглянута система належить класу систем двох лінійних рівнянь с двома змінними х
та у,
тобто систем виду де 2.
Задані два твердження: а) система перетинаються в другій чверті декартової прямокутної системи координат. При яких значеннях а одне з тверджень істинно, а інше - хибне? Розв’язання.
Графіком першого рівняння системи є невертикальна пряма Знаходимо Прямі, задані в твердженні б), зручно записати так: Маємо Прямі перетинаються в другій чверті, якщо Таким чином, твердження а) істинно, якщо а
= 2, твердження б) - якщо Відповідь:
а < 2 або 3.
Знайти всі значення а, при кожному з яких для будь-якого значення b
система має хоча один розв’язок (х, у, z).
Розв’язання.
Маємо систему двох рівнянь с трьома змінними. Однак на цю систему можна дивитися, як на лінійну зі змінними х
та у і параметрами а, b, z.
Тоді Розв’язання проведемо за схемою, викладеною раніше. Маємо Звідси, якщо Відповідь: 4.
Знайти всі а
, при яких для будь-якого b
існують чотири різні значення с
, при яких система Розв’язання.
При Знаходимо Ця система має Розв’язання, якщо Відповідь: 5.
При яких а
та b система Розв’язання.
Перетворимо нерівність системи до вигляду Нерівність системи задає півплощину з межею Рис.1.4 1 Система має розв’язок, якщо пряма Почнемо з випадку b = 0.
Тоді рівняння Відповідь: 6.
При яких значеннях параметра а
система нерівностей має Розв’язання? Розв’язання.
Якщо межі півплощин, які задають нерівності системи, перетинаються, то дана система має розв’язки. Очевидно а
= 1 підходе. Якщо Розглянемо випадки а =
3 та а
= 4. При а
= 3 межі співпадають, і очевидно система розв’язків не має (нерівності системи задають різні півплощини). При Ця система також розв’язків не має (рис.1.4 2). Рис.1.4 2 Таким чином, а =
4 не підходе. Відповідь: Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення в графічних методах. Оскільки параметр "рівний в правах" зі змінною, то йому, природно, можна "виділити" і свою координатну вісь. Таким чином виникає координатна площина Відмова від традиційного вибору букв х
та у
для позначення осей, визначає один з ефективніших методів розв’язку задач з параметрами. Для того, щоб найбільш повно розкрити можливості цього метода, покажемо його застосування для розв’язування основних типів задач з параметрами. Дамо самі загальні признаки, які, можливо, допоможуть впізнавати задачі, які підходять під цей метод: в задачі фігурують лише один параметр а
та одна змінна х,
вони конструюють деякі аналітичні вирази F Сам процес розв’язування схематично виглядає так. Спочатку будується графічний образ, потім, перетинаючи отриманий графік прямими, перпендикулярними параметричній вісі, "знімаємо" потрібну інформацію. 1.
Знайти всі значення параметра задовольняється лише при одному Розв’язання
. Перепишемо систему в такому виді: Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією. Рис.2.1 Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку. Знаходимо точки перетину графіків: Лише прямі Відповідь:
2.
Знайти всі значення параметра задовольняється лише при одному Розв’язання.
Перепишемо систему в такому виді: Всі розв’язки цієї системи утворюють область, показану на рисунку штриховою лінією. Рис.2.2 Вимога єдності розв’язку даної системи: горизонтальні прямі повинні мати з цією областю тільки одну спільну точку. Знаходимо точки перетину графіків: З рисунка видно, що лише прямі Відповідь:
3.
При яких значеннях Розв’язання.
Маємо Рис.2.3 Графік цієї сукупності - об’єднання “кута" та параболи. Лише прямі Відповідь:
4.
При яких значеннях Розв’язання
. Розв’яжемо задане рівняння як квадратне відносно Графік цієї сукупності - об’єднання двох парабол. Рис.2.4 Знайдемо точки перетину графіків функцій: Лише прямі Відповідь:
5.
В залежності від параметра Розв’язання.
Розв’яжемо задане рівняння як квадратне відносно Графік цієї сукупності - об’єднання двох парабол. Рис.2.5 Знайдемо координати вершин кожної з парабол: Знайдемо також точки перетину графіків функцій: Відповідь:
якщо якщо якщо 6.
Знайти всі дійсні значення має тільки два різних коренів. Записати ці корені. Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді сукупності: Розв’язками системи є Відповідь:
якщо якщо 7.
Знайти всі числа Розв’язання.
Перепишемо систему в вигляді: Рис.2.6 На координатній площині Відповідь:
Задачі для самостійної роботи
1.
При яких значеннях а
рівняння Розв’язок.
Переходимо до рівносильної системи Ця система на координатній площині Рис.2.7 Відповідь:
2.
Знайти всі значення а
, при яких система має єдиний розв’язок. Розв’язок.
Перепишемо початкову систему в такому вигляді: Все розв’язки цієї системи (пари виду Рис.2.8 Вимога єдності розв’язка даної системи така: горизонтальні прямі повинні мати зі знайденою областю тільки одну спільну точку. Лише прямі а = 0
та а =
1 задовольняють висунутій вимозі. Відповідь: а
= 0 або а =
1. 3.
При яких значеннях а
рівняння рівно три кореня? Розв’язок.
Маємо Графік цієї сукупності - об’єднання "кута" та параболи (рис.2.9). Рис.2.9 Лише пряма Відповідь:
4.
Скільки розв’язків має система в залежності від значень параметра с
? Розв’язок.
Перепишемо систему у вигляді Кількість коренів другого рівняння системи дорівнює числу розв’язків самої системи. Маємо На рис.2.10 наведено сукупність рівнянь на координатній площині Рис.2.10 Координати точок перетину парабол можна знайти, розв’язавши рівняння Відповідь:
якщо розв’язків два; якщо 5.
Знайти всі значення параметра b,
при яких рівняння Розв’язок.
Задане рівняння рівносильне системі За допомогою цієї системи будуємо графік початкового рівняння (рис.2.11). Рис.2.11 Саме наявність "проколов" в цьому графіку дозволяє при Відповідь:
6.
При яких значеннях параметра а
рівняння Розв’язок.
Запишемо систему, рівносильну початковому рівнянню: Перші дві нерівності системи задають множину точок, наведену на рис.2.12 штриховою лінією, причому в цю множину не входять гіперболи ах =
7 та ах
= 6. Рис.2.12 Тоді відрізок АВ
та промінь BD,
відрізок EF
та промінь FK,
які лежать відповідно на прямих Відповідь: 7.
Знайти всі значення параметра а,
при яких рівняння Розв’язок.
Задане рівняння рівносильне сукупності двох систем: При побудови графіка початкового рівняння важливо врахувати, що параболи Графік початкового рівняння наведено на рис.2.13. Рис.2.13 Звідси знаходимо 8.
Знайти множину всіх чисел а,
для кожного з яких рівняння Розв’язок.
Перепишемо задане рівняння в наступному виді: Рис.2.14 Відповідь "зчитується" вертикальними прямими: Відповідь: 9.
Знайти всі невід’ємні числа Розв’язок.
Маємо Перше рівняння на координатній площині Рис.2.15 Тоді початковій системі задовольняють всі точки (і тільки вони), які лежать на променях і виділені на графіку жирними лініями. При фіксованому Відповідь: 10.
Для яких а
в множині розв’язків нерівності Розв’язок.
Запишемо сукупність двох систем, рівносильну початковому рівнянню: Оскільки в розв’язок першої системи ні при яких значеннях параметра а
не може входити відрізок Позначимо Рис.2.16 Тепер за допомогою рисунка легко встановити, що при Відповідь: 11.
При яких значеннях параметра а
система має розв’язки? Розв’язок.
Маємо Нерівність системи задає область, обмежену кутами АКБ
и CKD (
рис.2.17). . Рис.2.17 Тоді абсциси виділених дуг гіперболи Відповідь: 12.
Знайти всі значення а,
при яких будь-який розв’язок нерівності Розв’язок.
Перепишемо задану нерівність в такому виді: Графіки рівнянь Рис.2.18 Тепер, якщо при деякому фіксованому значенні Відповідь:
13.
При яких значеннях а
множина розв’язків нерівності Розв’язок.
Раніше встановлено, що задана нерівність рівносильна сукупності двох систем: За допомогою цієї сукупності наведено розв’язки початкової нерівності на рис.2.19. Рис.2.19 Проведемо прямі Відповідь:
14.
Розв’язати нерівність Розв’язок.
Наступна сукупність двох систем рівносильна заданій нерівності: Далі, при об’єднанні графічних образів кожної з цих систем необхідно врахувати, що пряма На рис.2.20 наведено всі розв’язки початкової нерівності. Горизонтальні прямі, які перетинають цю множину, перетинають її по відрізку (за виключенням однієї прямої Рис.2.20 Для одержання відповіді залишилося виразити х
через а
в рівнянні Відповідь:
при 15.
Розв’язати нерівність Розв’язок.
Задана нерівність рівносильна сукупності двох систем: На координатній площині Рис.2.21 Зазначимо, що, наприклад, пряма Відповідь:
Якщо Наприкінці, розглянемо технологію складання задач. Розглянемо задачу. Навести на координатній площині Рис.2.22 На рис.2.22 наведено цей розв’язок (область зі штриховою лінією). Тепер, замінивши у
на а
, за допомогою графічного образу легко скласти наступні задачі. При яких значеннях параметра а
система нерівностей 1) має розв’язок? 2) має єдиний розв’язок? 3) має тільки від’ємні розв’язки? 4) має тільки додатні розв’язки? 5) має тільки розв’язки, які задовольняють умові 6) має хоча б один розв’язок, якій задовольняє умові В цьому параграфі наведені задачі, для розв’язання яких використовуються наглядно-графічні міркування, причому при побудові необхідного графічного образу використовується апарат похідної. 1.
Скільки розв’язків в залежності від параметра Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді: (1/Ö5; 1) Побудуємо графік функції Рис.3.1 Якщо 2.
При яких Побудуємо графік функції Рис.3.2 Ті значення Відповідь:
3.
При яких Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді: Побудуємо графік функції Рис.3.3 Ті значення Відповідь:
4.
Скільки розв’язків має рівняння Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді: Знайдемо значення функції в граничних точках проміжку Рис.3.4 З рис.3.4 випливає, що при Відповідь:
якщо 5.
При яких значеннях Розв’язання.
Точка Функція (-¥, 2) (2; 4) Побудуємо графік функції Рис.3.5 Ті значення Відповідь:
6.
Розв’язати рівняння Розв’язання.
Із заданого рівняння одразу знаходимо Рис.3.6 Необхідно знайти такі значення параметра, при яких графік 7.
Визначити як розташовані корені рівняння Розв’язання.
Запишемо Знайдемо похідну Точка Функція Рис.3.7 Розташування коренів рівняння відносно проміжку Якщо якщо якщо якщо якщо якщо 8.
При яких значеннях параметра Розв’язання.
Запишемо задане рівняння в такому вигляді: Нехай Побудуємо графік функції находимо похідну f (x) ¯ Побудуємо графік функції Рис.3.8 Рівняння 9.
При яких дійсних Розв’язання.
Перепишемо рівняння у вигляді Нехай Далі знаходимо, Похідна дорівнює Побудуємо графік функції Знайдемо a ( Рис.3.9 Рівняння Приблизно це Відповідь:
10.
При яких Розв’язання.
Побудуємо графіки функцій Рис.3.10 Рівняння має чотири розв’язки, коли графік Відповідь:
Задачі для самостійної роботи 1.
Знайти всі значення Відповідь:
2.
Знайти всі значення Відповідь:
3.
Знайти всі Відповідь:
4.
При яких Відповідь:
5.
При Відповідь:
1. Вишенський В.О., Перестюк М.О., Самойленко А.М. Задачі з математики. - К.: Вища школа, 1985. - 264 с. 2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - К.: Євро індекс Лтд, 1995. - 336 с. 3. Горделадзе Ш.Х., Кухарчук М.М., Яремчук Ф.П. Збірник конкурсних задач з математики: Навч. Посібник. - 3-є вид., - К.: Вища школа, 1988. - 328 с. 4. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Наука, 1976. - 638 с. 5. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. - М.: Перспектива, 1990. - Ч.2. - 38 с. 6. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 576 с. 7. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986. - 128 с.
|