Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Вычисление радиальных функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость. Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца: где Эллиптические координаты Полагая где Дифференциальное уравнения Матье имеет вид где обычно переменная Собственные значения соответствуют чётным функциям Матье нечётным функциям Матье В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: Собственные значения Модифицированное уравнение Матье получается из уравнения Матье (2) подстановкой Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ). Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: Вычисление функций Матье
I
рода
Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка удовлетворяющие в нуле условию И на бесконечности условию где Параметр Для решения задачи (6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций. Введём замену переменных: Здесь Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для где Для совместного решения задач Коши для где Поскольку для любых решений причём Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем: 1. Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка 2. Полагая 3. По формуле (10) вычисляем функции 4. Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции В качестве сглаживающей функции предлагается следующая функция Вычисление функций Матье
III
рода
Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале: Условие на бесконечности Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию: и при достаточно больших Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших Рассмотрим алгоритм нахождения функций где Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки. По всему отрезку потребовав выполнение условия Функции Матье 3-его рода ищем по формуле: где Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле: функция матье дифференциальное уравнение Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши. Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. – с.4. 2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
|