Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Архангельский государственный технический университет Кафедра эксплуатации автомобилей и МЛК (наименование кафедры) По дисциплине Основы теории надежности и диагностики На тему Расчет показателей надежности и законов их распределения Руководитель Кузнецов Н.И. Архангельск 2009 Задание
По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо: - определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального ремонта; - рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса; - определить коэффициент вариации ресурса; - построить эмпирический закон распределения ресурса; - подобрать теоретический закон; - проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений; - определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса. 1. Расчет параметров экспериментального распределения
Число классов статистического ряда определяем по формуле (11): где N– общее число наблюдений Принимаем Размах выборки для нашего ряда Значение классового промежутка находим по формуле (12): Для удобства вычислений принимаем Середина классов W – полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины. Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам: где h-принятая точность измерения случайной величины. Результаты расчетов сведены в таблицу 1. Таблица 1 - Cоставление статистического ряда 2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения
Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле где А - условная средняя, середина модального или близкого к нему класса; S1 - первая сумма, а - условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках, Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле где с - сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков, S2 – вторая сумма, Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3. Таблица 2 - Вспомогательные вычисления для определения Таблица 3 3. Определение вида закона распределения случайной величины
распределение экспериментальный случайный величина Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности: - выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений; - производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям c2 или l. 3.1 Экспоненциальный закон распределения
Теоретические частоты для распределения определяют по формуле где Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1. Таблица 4 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону Рисунок 1 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения 3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений
Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же. Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий c2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле где c02 – стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v; Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам: где r1,r2 - числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами. Крайние классы с частотой Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований b1>= 0,999; при обычной b2 >= 0,99; при большой b3 >= 0,95. Таблица 5 - Определение различий законов распределения Следовательно, c02: 13,3; 18,5 при b соответственно, 0,99, 0,999 Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения. 3.2 Нормальный закон распределения
Таблица 6 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону Рисунок 2 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения Таблица 7 - Определение различий законов распределения Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999 Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения. 3.3 Распределение Вейбула
Таблица 8 - Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула Рисунок 3 - Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула Таблица 9 - Определение различий законов распределения Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999 Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула. Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения. 4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X. Требуется определить ошибку замены параметра Xего точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e> 0, для которого Это равенство означает, что с вероятностью Интервал Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону. Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле где tb - коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tb= 1,658) Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле: Iβ=(4,812; 5,848) Вывод
: Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега. Список использованных источников
1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 36 с. 2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 14 с.
|