Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Специальность «Математические методы в экономике» Практическое применение интерполирования гладких функций 2010 Содержание Введение 1. Постановка задачи интерполяции 1.1 Определение термина интерполяции 1.2 Как выбрать интерполянт 1.3 Полиноминальная интерполяция 1.4 Интерполяционный полином Лагранжа 1.5Про погрешность полинома 2.Один вид обобщенной интерполяции 2.1 Обобщенная интерполяция 2.2 Важное представление гладкой функции Заключение Список использованной литературы В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно рассмотрим для начала само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке. Цель работы: изучение интерполирования гладких функций и практическое применение интерполирования функций.
1. Постановка задачи интерполяции
интерполяция погрешность полином
Пусть для функции f(x), определенной на какой - либо части R, известны её значения на некотором конечном множестве точек x1
, x2
, …, xn
Î [a,b], и в этих точках функция f(x) определена как: Требуется вычислить, хотя бы приближенно, значения при всех x. Такая задача может возникнуть при проведении различных экспериментов, когда значения искомой функции определяются в дискретные моменты времени, либо в теории приближения, когда сложная функция сравнительно просто вычисляется при некоторых значениях аргумента, для функций заданных таблицей или графически и т.п. Обычно функцию g(xi
), xi
Î [a,b], (1)
Такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием. Точки x1
, x2
, …, xn
называют узлами интерполяции, если точка x, в которой вычисляется f(x), лежит вне отрезка [a,b], то употребляют термин экстраполяции. Функцию g(xi
), При этом следует ответить на следующий вопрос. Такие функции строятся на основе комбинаций из элементарных функций. (2) Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R
- пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и (3) Совершенно ясно, почему число коэффициентов Естественно, интерполянт необходимо построить в виде более легкой учетной функции, поэтому за часто берут такие системы как: {1, х, х2
, …, хn
}, {1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, sin(nx), cos(nx)} , {1, ex
b1
, ex
b2
, …, ex
b
n
} (biÎR, bi≠bj (i≠j), nÎN). Если то можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один. Найдем интерполяционный полином из вида (4). В это время, на основе (5), для нахождения неопределённых коэффициентов используем систему линейных уравнений: a0
x0
+ a1
x0
+ a2
x0
2
+ …+ an
x0
n
= f0 ,
a0
x0
+ a1
x1
+ a2
x1
2
+ …+ an
x1
n
= f1 ,
(6) ………………………………………………………….
a0
x0
+ a1
xn
+ a2
xn
2
+ …+ an
xn
n
= fn ,
В этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений выглядит так: Этот определитель является определителем Вандермонда и отличен от нуля в случае, когда все узлы xi
различны. Поскольку матрица системы невырождена, то решение системы существует и единственно. Единственность интерполяционного полинома можно доказать следующим способом. Предположим, что есть два интерполяционных полинома Ln
и Pn
ÎHn
[1]
: Ln
≠ Pn
. Из (5) : Ln
(xi
) - Pn
(xi
) º0 и Ln
(xi
) ºPn
(xi
) ( так, выходит противоречие. Единственность установлена. А так как полином единственный, то у соответствующей системы линейных алгебраических уравнений есть только одно решение. Сейчас перед нами задача, которая состоит из нахождения такого многочлена, степени n, который совпадает с заданной f(x) в точках x1
, x2
, …, xn
Î [a,b], т.е. чтобы выполнялось равенство (6) f(xj
)=Ln
(xj
) ( Чтобы решить эту задачу, введем многочлены степени n, которые в точках при i≠j равны нулю, а в точке при i=j равны единице. Очевидно, что: (7) fj
ÎHn
, fj
(x)=Aj
(x-x0
)(x-x1
)…(x-xj
-1
)(x-xj
+1
)…(x-xn
)= где постоянная А находится из условия fj
(xj
)=1, тогда Таким образом, получаем, что fj
(x) Получаем, что поставленную задачу решает многочлен (8) Многочлен (8) называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Пусть задана интерполяционная таблица: Построить интерполяционный полином Лагранжа. Решение. Из (8) следует: Задача 2.
Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через точки Р0
(х0
, у0
) и Р1
(х1
, у1
), если х0
=-1, у0
=-3, х1
=2, у1
=4. Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид Уравнение искомой прямой есть По строению И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав, Замечание 1
. чем постоянно записывать равенство, слагаемое Теорема 1.
Если (9) Берем любую точку и зафиксируем ее ( (10) Значение Существует Сейчас для этой теоремы берем точки Существует Когда закончим этот процесс, то получим следующее: $ Итак, при t = x из (10) вытекает (9). Что и требовалось доказать. Следствие 1:
Пусть В то время Задача
3:
С помощью узлов 1) 2) в [a,b] найти максимальную погрешность полинома. Решение: 1) На основании Следствия 1 в непрерывном виде находим: Замечание 2:
Полученные с помощью этой формулы множества полиномов называются полиномами Чебышева. В отдельных случаях: В теории приближения функции хорошо известен следующий факт: если в качестве узлов интерполяции взять корни полинома В этом случае из Следствия 1 следует, что (11) будут однородными с корнями Последнее неравенство полностью дает оптимальную оценку на отрезке [a,b], т.е. мы оцениваем погрешность интерполяции на отрезке [a,b], чтобы узлы (11) были оптимальными.
2. Один вид обобщенной интерполяции
Рассмотрим пример интерполяции для элементов множества Пусть точки (12) построить многочлен Теорема 2.
Если взять в произвольной форме fÎC{m;0}, удовлетворяющее условию (12), то существует «обобщенный» интерполяционный полином и он единственен. Доказательство: Найдем интерполяционный полином в стандартном виде: (13) Затем, учитывая (13) для того, чтобы найти коэффициенты (14) Эту систему упорядочим в матрицу S, являющуюся прямой суммой двух квадратных матриц размерностью m и n+1. Здесь Значит, основываясь на фактах линейной алгебры, определяем Что и требовалось доказать. Сейчас поставим перед собой цель записать многочлен G(x) в явном виде. Будет полезно рассмотреть стандартный вид многочлена Лагранжа. Из (13) видно, что Поэтому имеет место следующее: (14) Возьмем параметры из (13): (15) Таким образом, из (13), (14), (15) следует, что (16) Замечание 3:
Если m=0, C{0;0} Сейчас поговорим о погрешности обобщенной интерполяции. В этом случае Теорема 3
. Если Здесь Доказательство: Приняв во внимание (16) получаем (17) Следующие приведения к формуле теоремы легко доказываются из (17) и теоремы 1. Следствие 2.
Пусть В это время:
2.2
Важное представление гладкой функции
Теорема 4.
Верна следующая связь: (18) Вдобавок (19) Доказательство: Пусть Отсюда выходит следующее неравенство: (20) При изучении производной (21) здесь Таким образом, находим в нашем случае необходимый вид: Значит Замечание 6.
Рассмотрев, оператор (22) Мы убедились, что в вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. В данной курсовой работе рассматривается интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке, определили понятие погрешности интерполяции. У нас возникла задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, поэтому в данной работе были приведены конкретные примеры по построению интерполяционного полинома Лагранжа, по оцениванию погрешности интерполяционного полинома. В нашем случае для более полного раскрытия данной темы подробно проиллюстрировано само понятие интерполяции, далее интерполирование непосредственно гладкой функции и интерполирование гладкой функции в точке.
Список использованной литературы
1. Н.С.Габбасов. Некоторые применения производной. Наб.Челны, 1998г. 2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1984г. 3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. М.: «Наука», 1990г. 4. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М.: «Наука», 1989г. 5. И.А.Марон. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: «Наука», 1970г. 6. А.А.Самарский. Введение в численные методы. М.: «Наука», 1987. [1]
Здесь Hn
– это множество всех алгебраических многочленов степени n. [2]
На непрерывном отрезке и в точке Верно следующее соответствие:
|