КУРСОВА РОБОТА
"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"
Запоріжжя 2010
1.
Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами
Нехай
і
два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення
, яке ставляє у відповідність кожному вектору
простору
деякий вектор
простору
, будемо називати оператором
, діючий із
в
. Якщо
є образом вектора
, то пишуть .
Оператор
називається лінійним, якщо виконуються дві умови:
1.
(властивість адитивності);
2.
(властивість однорідності);
Тут
довільно взяті вектори простору
,
довільно комплексне число.
Позначимо через
множина всіх лінійних операторів, діючих із
в
. Два лінійних оператора
і
будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору
простору
. Визначимо тепер операцію додавання із множини
і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів
і
розуміють оператор
такий, що для будь – якого вектора
простору
.
Під добутком лінійного оператора
на комплексне число
розуміють оператор
такий, що для любого вектора
простору
Неважко переконатися в тому, що оператори
і
лінійні.
Оператор
називається нульовим, якщо для будь – якого вектору
простору
.
Щоб переконатися, що оператор
лінійний і, як наслідок, належності множині
, потрібно показати, що для довільно взятих векторів
простору
мають місце рівності
і
. Так як будь – якому вектору простору
оператор
ставить у відповідність вектор
, то
. Як наслідок,
- лінійний оператор.
Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору
. Оператор –
називається протилежним оператором
, якщо
. Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору
із
і що
лінійний оператор.
Введені на множині
лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:
1.
,
2.
,
3. існує один лінійний оператор
такий, що для будь – якого лінійного оператора
із
4. для кожного оператора
існує єдиний оператор –
такий, що
.
Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини
випливає, що множина
по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості
.
Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини
дозволяє стверджувати, що множина
є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.
2.
Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V
В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору
в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із
в
.
Назвемо тотожнім (одиничним) оператор
такий, що для любого вектора
простору
. Очевидно,
,
, для любих
. З цього випливає, оператор
– лінійний і, тому,
. Неважко упевнитися в тому, що оператор
– єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора
з
, існує ще один тотожний оператор
, тоді для будь-якого
будемо мати
,
, очевидно,
, тобто .
Введемо операцію множення операторів. Нехай
та
– два будь-яких лінійних оператора з
, а
– довільний вектор простору
. Очевидно вектор
, тому цей вектор можна привести за допомогою оператора
. В результаті вектор
буде перетворений до вектору
. Оператор, який приводить довільний вектор
простору
у вектор
, називається добутком операторів
та
і позначається так:
. За означенням добутку операторів
і
для будь-якого вектору
. Легко перевірити, що
,
, де
– довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто
. Зауважимо, що .
Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості
1)
, 3)
,
2)
, 4)
.
Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість
. Нехай
– довільний вектор простору
. Для довільного вектору
простору
за означенням добутку і суми операторів має
Таким чином,
, тобто
.
Якщо для оператору
можна вказати такий лінійний оператор
, що
, то оператор
називають оберненим для оператору
. Можна показати, що оператор
– єдиний.
Покажемо, що оператор
, що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо
, то й
. Спочатку доведемо, що
. Дійсно, так як
– лінійний оператор, то для будь-якого
. Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора
. Нехай
і
. Так як оператор
має обернений, то
, тобто
. Якщо припустити, що деякому
відповідає вектор
, тоді на основі установлених рівностей
і
виходило б, що
. А це заперечує початковому фактові, що
. З цього випливає, що припущення про те, що для деякого
, невірно, тому для будь – якого
.
Доведемо ще одну властивість оператора
, що має обернений. Такий оператор два різних вектора
та
перетворює у два різні вектори
і
. Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному
і
, для яких
, тоді для таких
і
або, що те саме
. За умовою оператор
має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності
випливає, що
, тобто
. Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою
. З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам
і
відповідають різні образи
і .
Оператор
називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори
і
він перетворює у різні вектори
і
. Із наведеного вище випливає, що оператор
, що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо
, то і
. Покажемо, що взаємно – однозначний оператор
лінійно незалежні вектори
,
, …,
перетворює в лінійно незалежні вектори
,
, …,
. Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори
, …,
– лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа,
що
. Так як оператор
– лінійний, то .
Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора
, тобто вектори
,
, …,
виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори
,
, …,
лінійно незалежні.
Із доведеного випливає, що будь-який вектор
простору
має єдиний прообраз
такий, що
. Доведемо тільки єдність прообразу вектора
. Дійсно, якщо припустити, що вектор
має декілька різноманітних прообразів, наприклад,
і
, то виявиться, що
. Звідси
, маємо
, так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор
– взаємно-однозначний, то кожному вектору
простору
він ставить у відповідність один і тільки один вектор
. Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.
Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.
Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор
мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.
Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора
називають таку множину
векторів простору
, що для любого
. Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор
в
, тобто
, тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .
Теорема 2.2. Якщо
містить єдиний вектор
, то оператор
є взаємно-однозначним.
Доведення. Нехай
- два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що
, то це буде означати, що оператор
є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора
і
, такі, що
, а
. Тоді для цих векторів
. За умовою теореми
складається із єдиного вектора
, тобто для вектора
і тільки для нього
. В силу цього
чи
. Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що
. Тому для будь-яких не рівних один одному векторів
і
простору
. Отже, твердження теореми вірне.
Теорема 2.3. Для того, щоб оператор
мав обернений, необхідно і достатньо, щоб
.
Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.
Образом оператора
називається множина
всіх векторів простору
, кожний з яких має прообраз, тобто якщо
, то існує такий вектор
, що
. Легко побачити, що якщо
містить тільки нульовий вектор, то
є весь лінійний простір
:
. Дійсно, якщо
, то оператор
є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор
простору
має єдиний прообраз
:
, так що .
Покажемо тепер, що множина
для довільного лінійного простору
є підпростором лінійного простору
. Нехай
і
– два довільно взятих вектори множини
. Так як
, то
. Нехай
– довільне число. Так як
, то
. Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини
дають вектори тієї ж множини, тобто
– підпростір простору .
Аналогічним способом доводиться, що множина
також є підпростором простору
.
Розмірність підпростору
називається дефектом оператора
. Розмірність підпростору
називається рангом оператора
. Для рангу оператора
використовується одне з позначень
або
, для позначення дефекту оператора використовується символ .
Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора
із
сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору
, тобто
або .
Теорема 2.5. Нехай
і
- два яких-небудь підпростори
- мірного простору
, причому
. Тоді існує такий лінійний оператор
, що
, а .
Доведення. Нехай
- розмірність підпростору
, тобто
, а
– розмірність підпростору
. За умовою теореми
. Виберемо базис
- мірного простору
так, щоб
векторів
було базисом підпростору
. В підпросторі
візьмемо який-небудь базис
. Розглянемо лінійний оператор
, який перетворює вектори
простору
у вектори
, а кожний з векторів
у нульовий вектор, тобто .
Оператор
довільний вектор
простору
приводить у вектор
, який належить підпростору
простора
. Звідси випливає, що
, тобто підпростір
містить образ оператора
. Щоб довести, що
, треба за означенням множини
показати, що будь-який вектор
підпростору
, має прообраз у просторі
. Розглянутий лінійний оператор
перетворює вектори
простору
у вектори
, тому довільно взятий вектор
підпростору
можна представити у вигляді
. В силу лінійності оператора и також того, що
, вектор
можна представити також і в такій формі:
, де
– довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору
означає, що він є образом вектора
простору
. Таким чином, .
Покажемо тепер, що підпростір
є ядром оператора
. Нехай
який-небудь вектор підпростору
. Так як
, то це означає, що вектор
входить в ядро оператора
. Звідси випливає, що підпростір
. Для доведення того, що
треба показати, що будь-який вектор
простору
, що не належить підпростору
, не може бути елементом ядра оператора
. Нехай
- вектор простору
, який не належить підпростору
. Зрозуміло, що хоча б одна із координат
цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку
. Розглянемо
. Так як
лінійно незалежні вектори, а серед чисел
є відмінні від нуля, то
. Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору
, не належить і ядру оператора
. Отже, .
Теорема 2.6. Нехай
і
– два яких-небудь лінійних оператора із множини
, тоді
, .
Доведення. Нехай
– довільний вектор простору
. Зрозуміло, що
. Будь-який вектор
множини
за означенням добутку операторів це вектор
. Останній є вектором множини
. З цього слідує, що має місце включення
. А це означає, що
, тобто
. Перше твердження теореми доведено.
Доведемо справедливість другого. Нехай
– довільний вектор ядра оператора
, тоді
, і, тому,
. Це означає, що якщо
, то
, тобто
. Звідси випливає нерівність
. Позначимо через
розмірність простору
. Згідно теореми 2.4
,
. Так як
, то
, тобто .
Теорема 2.7. Нехай
– розмірність простору
,
і
– лінійні оператори із
, тоді .
3.
Матриця лінійного оператора
Нехай
- деякий базис лінійного простору
, а
– який-небудь лінійний оператор, діючий із
в
. Вектор
оператор
перетворює в вектор
. Вектори
простору
розкладемо по векторах базису
цього простору. Побудуємо матрицю
порядку
, стовпці якої складені із координат векторів ,
,
,
.
Матриця
називається матрицею оператора
в базисі
.
Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі
простору
.
Розв’язок. Тотожний оператор
будь-який вектор простору
приводить в той же самий оператор. Тому
. А це означає, що матриця
тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору
. Нульовий оператор
будь-який вектор простору
перетворює в нульовий вектор, тому матриця
цього оператора – нульова в будь-якому базисі.
Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі
-мірного простору
з кожним лінійним оператором
можна зв’язати квадратну матрицю
порядку
. Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці
порядку
поставити у відповідність такий лінійний оператор
, матриця якого в заданому базисі
простору
співпадає з матрицею
? Стверджувальну відповідь на це питання дає
Теорема 3.1. Нехай
– деяка квадратна матриця порядку
. Нехай
– довільний обраний базис
-мірного лінійного простору
. Тоді існує єдиний лінійний оператор
, який у вказаному базисі має матрицю .
Доведення. Розглянемо лінійний оператор
, який вектори
базису простору
перетворює у вектори
,
. У базисі
оператор
, очевидно, має матрицю
. Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора
, існує ще лінійний оператор
, маючий матрицю
в базисі
. Це означає, що
,
. Виберемо який-небудь вектор
простору
і розглянемо вектори
і
. Маємо
.
Як наслідок, що для будь-якого
. Звідси витікає, що
. Теорему доведено.
Теорема 3.2. Нехай
– матриця лінійного оператора
в базисі
простору
. Ранг оператора
дорівнює рангу його матриці: .
Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці:
, ранг матриці
дорівнює рангу системи його стовпців.
Нехай
– який-небудь вектор
- мірного простору
. Образом вектора
є вектор
. Як бачимо, довільний вектор образу оператора
, тобто множини
, представляє собою лінійну комбінацію векторів
. Отже,
є лінійною оболонкою множини векторів
. Відомо, що розмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вони утворюють, тому
. За означенням у стовпцях матриці
оператора
розміщені координати векторів
у базисі
. Отже, на основі означення рангу матриці
. Таким чином, .
Нехай
і
матриці операторів
і
в якому-небудь базисі простору
, тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів
і
, де
і
– довільно взяті числа, рівні відповідно
і
. Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора
побудовані із координат векторів
у базисі
простору
. Визначимо елементи
-го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо
Звідси видно, що довільний елемент
матриці
оператора
дорівнює
, тобто дорівнює сумі добутків елементів
-го рядка матриці
на відповідний елемент
-го стовпця матриці
. А це означає, що
. Твердження доведено.
Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора
слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць
і
одного порядку .
,
,
Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора
, є умова
, де
– розмірність простору
. Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця
оператора
повинна бути не виродженою.
Іншими словами, щоб оператор
мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору
виявилась не виродженою.
4.
Перетворення матриці оператора при заміні базису
Нехай у просторі
обрані два базиси
і
. Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів
у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці
.
Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори
лінійно незалежні, тому
і, звісно, матриця
не вироджена.
Згідно сказаному
(4.1)
Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд
,
де
– транспонована матриця
.
Теорема 4.1. Матриці
і
оператора
в базисах
і
зв’язані співвідношеннями
,
,
де
– матриця переходу від старого базису
до нового
.
Доведення. За означенням матриці оператора
,
де
і
– елементи матриць
і
. Замінимо в останній рівності вектори
згідно формулам (4.1), отримаємо
(4.2)
З іншого боку
Але
Тому
(4.3)
Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що
У цій рівності вектори
лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,
,
Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність
. Якщо помножити обидві частини цієї рівності на
праворуч, то отримаємо
, якщо помножити на
злів, то будемо мати
. Теорему доведено.
Матриці
і
одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю
того ж порядку, що
. Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора
у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць
і
рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати
.
Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора
називають число
, рівне визначнику матриці оператора
в якому-небудь базисі простору.
Приклад. Лінійний оператор
діє на вектори базису
наступним чином:
. Знайти визначник оператора .
Розв’язок. Матриця оператора
у базисі
має вигляд
,
тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і
.
5.
Власні значення і власні вектори оператора
Число
називається власним числом лінійного оператора
, якщо у просторі
можна знайти такий ненульовий вектор
, що
(5.1)
Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора
, що відповідає власному значенню
.
Рівність (5.1) можна записати по іншому
, де
– тотожний оператор. Оскільки
– ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора
не менше одиниці. Нехай
– розмірність простору
, в якому діє оператор
. Відомо, що . Звісно,
. Але тоді
.
Таким чином, якщо число
є власним значенням оператора
, то
є коренем рівняння
(характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).
Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння
будуть власними значеннями оператора
. Нехай
– який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення
. Це означає, що матриця оператора
буде виродженою у будь-якому базисі простору
. Як наслідок,
. Так як
, то
. А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор
, такий, що
чи
. Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння
буде власним значенням оператора
, тобто вірне твердження.
Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число
було власним значенням лінійного оператора
, необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння
.
Нехай
– базис простору
и нехай
,
матриця лінійного оператора
у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора
в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору
оператор
характеризується такою матрицею
.
Визначник цієї матриці, тобто
, називається характеристичним або віковим визначником оператора
. Легко побачити, що добуток елементів
головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені
, решта членів визначника будуть многочленами степені не вище
. З цього видно, що віковий визначник оператора
є многочленом степені
. За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має
коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора
, діючого в
-мірному просторі, дорівнює
, якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.
Відомо, що в різних базисах простору
матриці оператора
, взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору
, в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі
існує базис
всі вектори якого є власними векторами оператора
, тобто
. У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд
.
Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору
матриця лінійного оператора
має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора
. Таким чином, доведено наступне твердження.
Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора
у базисі
простору
була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори
були власними векторами оператора
. Теорема 5.3. Якщо власні значення
лінійного оператора
, діючого в
-мірному просторі
, різні, тоді відповідні їм власні вектори
лінійно незалежні.
Наслідок. Якщо характеристичне рівняння
має
різних коренів, то у
-мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора
має діагональний вид.
Якщо оператор
має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора
не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор
. У зв’язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.
Вектор
називається приєднаним вектором оператора
, що відповідає кратному власному значенню
цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число
, що
. Число
називається порядком приєднаного вектора
. Нехай
– приєднаний вектор порядку
, що відповідає власному значенню
. Позначимо через
вектор
. Тоді за означенням приєднаного вектора
або
. Вектор
виявляється власним вектором оператора
. Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .
Теорема 5.4. (теорема Жордана). У
-мірному векторному просторі
існує базис
, побудований із
власних векторів
і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що
,
;
, .
У цьому базисі матриця оператора
має наступний вид
,
де
- квадратна матриця порядку
(клітка Жордана):
.
Вказана в теоремі 5.4 форма матриці
оператора
називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.
На кінець відмітимо, що якщо
– власний вектор лінійного оператора
, то і вектор
, де
– довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора
. Дійсно,
.
Приклад 1. З’ясувати, які з перетворень
, заданих шляхом завдання координат вектора
як функцій координат вектора
, являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів
і .
.
Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіома адитивності:
.
Для будь-яких векторів
та
повинно виконуватись
.
.
Аксіома адитивності виконується.
Перевіримо аксіому однорідності:
Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення
– лінійне.
Приклад 2. З’ясувати, які з перетворень
, заданих шляхом завдання координат вектора
як функцій координат вектора
, являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів
і .
.
Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіома адитивності:
.
Для будь-яких векторів
та
повинно виконуватись
.
Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення
– не лінійне.
Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю
являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:
,
,
,
Розв’язання: За означенням матриці лінійного перетворення
,
. Знаходимо образи базисних векторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:
Розташувавши отримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійного перетворення:
.
Приклад 4. Лінійне перетворення
в базисі
має матрицю
A=
Знайти матрицю цього ж перетворення в базисі: e
,
,
,
+.
Розв’язання: Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:
Обернену матрицю знайдемо за допомогою приєднаної:
Підставляємо отримані значення в формулу, отримаємо:
.
Приклад 5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею:
.
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:
Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.
Приклад 6. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=
Власні вектори мають вигляд:
.
,
Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:
.
Матриця діагоналізована.
Приклад 7. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=
A=
Матриця не може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.
Висновки
В даній курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів, поняття матриці лінійного оператора та питання зв’язку матриць оператора у різних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємості матриці оператора, які пов’язані з існуванням базису, що складається з власних векторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зроблена підборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися в теоретичному матеріалі.
оператор вектор лінійний матриця базис
Перелік посилань
1. Курош А.Г. Курс вищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.
2. Кострикін А.И., Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
|