Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Для решения задач применяется выражение представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса: Eсли Задача. Заряд q расположен в точке (0, 0, l). Найти поток вектора Решение: В плоскости xy зарядом создается поле При вычислении потока нам потребуется величина Тогда, поскольку В последнем выражении сделан переход к полярным координатам: r - это расстояние от начала координат в плоскости xy. Теперь можно производить интегрирование по площади круга: Задача. Вычислить поток вектора Ответ: Φ = 4π Ra Теорема Гаусса верна всегда (это математический закон), но помогает только в симметричных случаях, когда очевидна геометрия поля. В декартовом случае заряд должен изменяться только вдоль одной координаты (например x), в цилиндрическом - только в зависимости от удаления от оси цилиндра r, а в сферическом тоже только от r, но r - удаление от центра шара. Тогда при правильном выборе гауссовой поверхности поток вычисляется очень просто, так как Выбор гауссовой поверхности при расчете поля в точке x (или r): - плоскостная геометрия: цилиндрическая поверхность любой формы сечения yz и любой его площади (S), занимающая область (–∞... x) вдоль оси x; - сферическая геометрия: сфера радиуса r - цилиндрическая геометрия: цилиндрическая поверхность круглого сечения радиуса r, имеющая произвольную длину L вдоль оси z. Dx(–∞)≠ 0 только в некорректных задачах. При этом Dx (–∞) = –qinside(x = +∞)/2S. Как записать qinside для разных геометрий? Если мы различаем между зарядами ρ, σ, λ, q (то есть не пытаемся всё свести к ρ, приписывая ему и бесконечные значения), то qc - точечный заряд в центре, σi - заряды концентрических сфер радиусов Ri (таких сфер может быть произвольное количество), а Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x), применяя теорему Гаусса. Решение: Начать следует с нахождения поля как функции координаты Ex(x). Берем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, занимающей область (–∞... x) вдоль оси x и имеющей площадь сечения S в плоскости yz. Поскольку мы имеем выражение теоремы Гаусса в виде В зависимости от того, в какой диапазон попадает x (x<–a, –a<x<a, x>a), левая часть дает Подставляя qinside в теорему Гаусса, с учетом Dx = ε0Ex получаем поле: Теперь можно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу в которой x может быть как больше, так и меньше нуля. Соответственно, для каждого из трех отрезков, на которых найдено Ex, получаем: Как видим, в итоге получается тот же результат, который был ранее получен путем решения уравнения Пуассона. Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r) и φ(r). Решение: По теореме Гаусса, причем Cоответственно, поле на каждом из участков будет При вычислении потенциала мы должны вычислить интеграл В этих выражениях для φ(r) возможны очевидные алгебраические упрощения, но мы оставим их в таком виде, поскольку в дальнейших задачах они нам потребуются именно такими. Задача. Имеется равномерно заряженный по объему (ρ0) бесконечно длинный цилиндр круглого сечения радиуса R. Найти поле Er(r) и потенциал φ(r); при вычислении потенциала положить φ|r = 0 = 0. Решение: В цилиндрической системе координат при наличии только объемного заряда имеем: Здесь L - произвольно выбранная длина вдоль оси цилиндра, которая далее сокращается. При вычислении qinside необходимо раздельно рассматривать случаи r<R и r>R: После этого, так как Dr = ε0Er, получаем поле: Потенциал находится интегрированием Er с оговоренным в задаче условием φ|r = 0 = 0: Из вида получившегося φ(r) ясно, что на бесконечности потенциал оказывается бесконечным. Это следствие некорректности ситуации: описанный в задаче цилиндр имеет бесконечную длину и несет бесконечный суммарный заряд, чего на практике быть не может. Чтобы избежать проблем, возникающих при естественном условии φ|r = ∞ = 0, искусственно задано φ|r = 0 = 0. Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с. 2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
|