Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Кафедра: Высшая математика
по дисциплине «Высшая математика»
Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
Тольятти, 2008
Введение
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных
Определение.
Величина u
называется функцией нескольких независимых переменных (x
,
y
,
z
, …,
t
), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u
. Если переменная является функцией от двух переменных х
и у
, то функциональную зависимость обозначают z
=
f
(
x
,
y
).
Символ f
определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z
по данной паре значений х
и у
. Так, для функции z
=
x
2
+ 3xy
при х
= 1 и у
= 1 имеем z
= 4, при х
= 2 и у
= 3 имеем z
= 22, при х
= 4 и у
= 0 имеем z
= 16 и т.д. Аналогично называется величина u
функцией от трех переменных x
,
y
,
z
,
если дано правило, как по данной тройке значений x
,
y
иz
вычислить соответствующее значение u
: u
=
F
(
x
,
y
,
z
).
Здесь символ F
определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u
, соответствующего данным значениям x
,
y
иz
. Так, для функции u
=
xy
+
2xz
–
3yz
при х
= 1, у
= 1 и z
= 1 имеем u
=
0, при х
= 1, у
= -2 и z
= 3 имеем u
=
22, при х
= 2, у
= -1 и z
= -2 имеем u
=
-16 и т.д. Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п
чисел (x
,
y
,
z
, …,
t
) из некоторого множества Е
ставится в соответствие определенное значение переменной u
, то и u
называется функцией от п
переменных x
,
y
,
z
, …,
t
, определенной на множестве Е
, и обозначается u
=
f
(x
,
y
,
z
, …,
t
). Переменные x
,
y
,
z
, …,
t
называются аргументами функции, множество Е
– областью определения функции. Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М
0
(x
0
,
y
0
,
z
0
, …,
t
0
) и обозначается f
(М
0
) = f
(x
0
,
y
0
,
z
0
, …,
t
0
). Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции. Функция двух переменных z
=
f
(
x
,
y
)
в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х
, у
пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу
, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность. Функцию трех переменных u
=
F
(
x
,
y
,
z
)
рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п
переменных u
=
f
(x
,
y
,
z
, …,
t
) рассматривают как функцию точки некоторого п
-мерного пространства. Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х
и у
. По определению функция f
(
x
,
y
)
имеет предел в точке (х
0
, у
0
), равный числу А
, обозначаемый так: (пишут еще f
(
x
,
y
)
→А
при (
x
,
y
)
→ (х
0
, у
0
)), если она определена в некоторой окрестности точки (х
0
, у
0
), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел какова бы ни была стремящаяся к (х
0
, у
0
) последовательность точек (xk
,
yk
). Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f
имеет в точке (х
0
, у
0
) предел, равный А
, если она определена в некоторой окрестности точки (х
0
, у
0
) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что | f
(
x
,
y
)
– A
| < ε(3) для всех (
x
,
y
)
, удовлетворяющих неравенствам 0 < Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х
0
, у
0
) такая, что для всех (x
,
y
) из этой окрестности, отличных от (х
0
, у
0
), выполняется неравенство (3). Так как координаты произвольной точки (x
,
y
) окрестности точки (х
0
, у
0
) можно записать в виде х = х
0
+
Δх
, у = у
0
+ Δу
, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству: Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х
0
, у
0
), кроме, быть может, самой этой точки. Пусть ω = (ωх
, ωу
) – произвольный вектор длины единица (|ω|2
= ωх
2
+ ωу
2
= 1) и t
> 0 – скаляр. Точки вида (х
0
+ t
ωх
, y
0
+ t
ωу
) (0 < t
) образуют луч, выходящий из (х
0
, у
0
) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию f
(х
0
+ t
ωх
, y
0
+ t
ωу
) (0 < t
< δ) от скалярной переменной t
, где δ – достаточно малое число. Предел этой функции (одной переменной t
) если он существует, естественно называть пределом f
в точке (х
0
, у
0
) по направлению ω. Пример 1.
Функции определены на плоскости (x
,
y
) за исключением точки х
0
= 0, у
0
= 0. Имеем (учесть, что Отсюда (для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f
(
x
,
y
)
| < ε, если Далее, считая, что k
– постоянная, имеем для y
=
kx
равенство из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y
=
kx
, х
> 0, имеет вид Пример 2.
Рассмотрим в R
2
функцию Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y
=
kx
, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю: Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х
2
Будем писать |f
(
x
,
y
)
| > N
, коль скоро 0 < Можно также говорить о пределе f
, когда х
, у
→ ∞: Например, в случае конечного числа А
равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N
> 0, что для всех х
, у
, для которых |x
| > N
, |y
| > N
, функция f
определена и имеет место неравенство |f
(
x
,
y
)
– А
| < ε. Справедливы равенства где может быть х
→ ∞, у
→ ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f
и φ. Докажем для примера (7). Пусть (xk
,
yk
) → (х
0
, у
0
) ((xk
,
yk
) ≠ (х
0
, у
0
)); тогда Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk
,
yk
) стремится к (х
0
, у
0
) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f
(
x
,
y
)
∙φ (
x
,
y
)
в точке (х
0
, у
0
). Теорема.
если функция f
(
x
,
y
)
имеет предел, не равный нулю в точке (х
0
, у
0
), т.е. то существует δ > 0 такое, что для всех х
, у
, удовлетворяющих неравенствам 0 < она удовлетворяет неравенству Поэтому для таких (
x
,
y
)
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (
x
,
y
)
следует A
< 0 (сохранение знака). По определению функция f
(
x
) =
f
(
x
1
, …, xn
) =
A
имеет предел в точке x
0
= (пишут еще f
(
x
)
→ A
(x
→ x
0
)), если она определена на некоторой окрестности точки x
0
, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел какова бы ни была стремящаяся к x
0
последовательность точек х
k
из указанной окрестности (k
= 1, 2, ...), отличных от x
0
. Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f
имеет в точке x
0
предел, равный А
, если она определена в некоторой окрестности точки x
0
, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех х
, удовлетворяющих неравенствам 0 < |x
–
x
0
| < δ. Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U
(
x
0
)
точки x
0
такая, что для всех х
Очевидно, что если число А
есть предел f
(
x
)
в x
0
, то А
есть предел функции f
(
x
0
+ h
)
от h
в нулевой точке: и наоборот. Рассмотрим некоторую функцию f
, заданную во всех точках окрестности точки x
0
, кроме, быть может, точки x
0
; пусть ω = (ω1
, ..., ωп
) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t
> 0 – скаляр. Точки вида x
0
+ t
ω (0 < t
) образуют выходящий из x
0
луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию от скалярной переменной t
, где δω
есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t
) если он существует, естественно называть пределом f
в точке x
0
по направлению вектора ω. Будем писать Можно говорить о пределе f
, когда х
→ ∞: Например, в случае конечного числа А
равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N
> 0, что для точек х
, для которых |x
| > N
, функция f
определена и имеет место неравенство Итак, предел функции f
(
x
)
= f
(
x
1
, ..., хп
)
от п
переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных. Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных. Число А
называется пределом функции f
(
M
)
при М
→ М
0
, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М
, отличных от М
0
и удовлетворяющих условию | ММ
0
| < δ, будет иметь место неравенство |f
(
M
)
– А
| < ε. Предел обозначают Теоремы о пределах.
Если функции f
1
(
M
)
и f
2
(
M
)
при М
→ М
0
стремятся каждая к конечному пределу, то: а) б) в) Пример 1.
Найти предел функции: Решение. Преобразуем предел следующим образом: Пусть y
=
kx
, тогда Пример 2.
Найти предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Пример 3.
Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f
(
x
,
y
)
непрерывна в точке (х
0
, у
0
), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х
0
, у
0
) и если предел f
(
x
,
y
)
в этой точке равен ее значению в ней: Условие непрерывности f
в точке (х
0
, у
0
) можно записать в эквивалентной форме: т.е. функция f
непрерывна в точке (х
0
, у
0
), если непрерывна функция f
(х
0
+ Δх
, у
0
+ Δу)
от переменных Δх
, Δу
при Δх
= Δу =
0. Можно ввести приращение Δи
функции и
= f
(
x
,
y
)
в точке (
x
,
y
)
, соответствующее приращениям Δх
, Δу
аргументов Δи
= f
(х
+ Δх
, у
+ Δу)
– f
(
x
,
y
)
и на этом языке определить непрерывность f
в (
x
,
y
)
: функция f
непрерывна в точке (
x
,
y
)
, если Теорема.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х
0
, у
0
) функций f
и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х
0
, у
0
) ≠ 0. Постоянную с
можно рассматривать как функцию f
(
x
,
y
)
= с
от переменных x
,
y
. Она непрерывна по этим переменным, потому что Следующими по сложности являются функции f
(
x
,
y
)
= х
и f
(
x
,
y
)
= у
. Их тоже можно рассматривать как функции от (
x
,
y
)
, и при этом они непрерывны. Например, функция f
(
x
,
y
)
= х
приводит в соответствие каждой точке (
x
,
y
)
число, равное х
. Непрерывность этой функции в произвольной точке (
x
,
y
)
может быть доказана так: Если производить над функциями x
,
y
и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x
,
y
. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x
,
y
– непрерывные функции от этих переменных для всех точек (
x
,
y
)
Отношение P
/
Q
двух многочленов от (
x
,
y
)
есть рациональная функция от (
x
,
y
)
, очевидно, непрерывная всюду на R
2
, за исключением точек (
x
,
y
)
, где Q
(
x
,
y
)
= 0. Функция Р
(
x
,
y
)
= х
3
– у
2
+ х
2
у
– 4 может быть примером многочлена от (
x
,
y
)
третьей степени, а функция Р
(
x
,
y
)
= х
4
– 2х
2
у
2
+ у
4
есть пример многочлена от (
x
,
y
)
четвертой степени. Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций. Теорема.
Пусть функция f
(
x
,
y
,
z
)
непрерывна в точке (
x
0
,
y
0
,
z
0
)
пространства R
3
(точек (
x
,
y
,
z
)
), а функции x
= φ(u, v), y
= ψ(u, v), z
= χ(u, v)
непрерывны в точке (
u
0
,
v
0
)
пространства R
2
(точек (
u
,
v
)
). Пусть, кроме того, x
0
= φ (
u
0
,
v
0
),
y
0
= ψ (
u
0
,
v
0
),
z
0
= χ (
u
0
,
v
0
)
. Тогда функция F
(
u
,
v
) =
f
[ φ (
u
,
v
),
ψ (
u
,
v
),
χ (
u
,
v
)
] непрерывна (по (
u
,
v
)
) в точке (
u
0
,
v
0
)
. Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то Теорема.
Функция f
(
x
,
y
)
, непрерывная в точке (х
0
, у
0
) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f
(х
0
, у
0
) в некоторой окрестности точки (х
0
, у
0
). По определению функция f
(
x
) =
f
(
x
1
, ..., хп
)
непрерывна в точке х
0
= (х
0
1
, ..., х
0
п
)
, если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х
0
, и если предел ее в точке х
0
равен ее значению в ней: Условие непрерывности f
в точке х
0
можно записать в эквивалентной форме: т.е. функция f
(
x
)
непрерывна в точке х
0
, если непрерывна функция f
(х
0
+ h
)
от h
в точкеh
= 0. Можно ввести приращение f
в точке х
0
, соответствующее приращению h
= (
h
1
, ..., h
п
)
, Δh
f
(х
0
) =
f
(х
0
+ h
)
– f
(х
0
)
и на его языке определить непрерывность f
в х
0
: функция f
непрерывна в х
0
, если Теорема.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х
0
функций f
(
x
)
и φ (
x
)
есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х
0
)
≠ 0. Замечание. Приращение Δh
f
(х
0
)
называют также полным приращением функции f
в точке х
0
. В пространстве Rn
точек х
= (
x
1
, ..., хп
)
зададим множество точек G
. По определению х
0
= (х
0
1
, ..., х
0
п
)
есть внутренняя точка множества G
, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G
. Множество G
Говорят, что функции х
1
= φ1
(t)
, ..., хп
=
φп
(t)
(a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a
, b
], определяют непрерывную кривую в Rn
, соединяющую точки х
1
= (х
1
1
, ..., х
1
п
)
и х
2
= (х
2
1
, ..., х
2
п
)
, где х
1
1
= φ1
(а)
, ..., х
1
п
=
φп
(а)
, х
2
1
= φ1
(
b
)
, ..., х
2
п
=
φп
(
b
)
. Букву t
называют параметром кривой. Множество G
называется связным, если любые его две точки х
1
, х
2
можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G
. Связное открытое множество называется областью. Теорема.
Пусть функция f
(
x
)
определена и непрерывна на Rn
(во всех точках Rn
). Тогда множество G
точек х
, где она удовлетворяет неравенству f
(
x
)
> с
(или f
(
x
)
< с
), какова бы ни была постоянная с
, есть открытое множество. В самом деле, функция F
(
x
) =
f
(
x
)
– с
непрерывна на Rn
, и множество всех точек х
, где F
(
x
)
> 0, совпадает с G
. Пусть х
0
| х
– х
0
| < δ, на котором F
(
x
)
> 0, т.е. он принадлежит к G
и точка х
0
Случай с f
(
x
)
< с
доказывается аналогично. Таким образом, функция нескольких переменных f
(М)
называется непрерывной в точке М
0
, если она удовлетворяет следующим трем условиям: а) функция f
(М)
определена в точке М
0
и вблизи этой точки; б) существует предел в) Если в точке М
0
нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f
(М)
называется непрерывной в области G
, если она непрерывна в каждой точке этой области. Пример 1.
Найти точки разрыва функции: z
=
ln
(
x
2
+ y
2
)
. Решение. Функция z
=
ln
(
x
2
+ y
2
)
терпит разрыв в точке х
= 0, у
= 0. Следовательно, точка О
(0, 0) является точкой разрыва. Пример 2.
Найти точки разрыва функции: Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x
2
+ y
2
– z
2
= 0. Следовательно, поверхность конуса x
2
+ y
2
= z
2
является поверхностью разрыва. Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики. В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций). Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики. Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных. Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с. 2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с. 3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.
|