Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Зміст
Введення Рішення рівнянь із параметрами Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями Висновок Література Введення
Актуальність
даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання знань. Ціль
даної роботи розповісти про рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі
: дати визначення поняттям рівняння з параметрами; показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках; показати рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями. Для виконання поставленої мети були використані наступні методи
: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008 році. Об'єктом дослідницької роботи
було рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій. Структура даної роботи
містить у собі теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список. Рішення рівнянь із параметрами
рівняння параметр функція логарифмічна Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи. Більшість посібників адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми по математиці. Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним. Природно, такий невеликий клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, - ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь. Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади. Необхідність акуратного обігу з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д. Звичайно в рівняння буквами позначають невідомі. Вирішити рівняння - значить: знайти множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь. При одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два корені. При рішенні таких рівнянь треба: 1) знайти множину всіх доступних значень параметрів; 2) перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву; 3) привести подібні доданки; 4) вирішувати рівняння ax = b. Можливо три випадки. 1. а 2. а = 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х рішень не має. Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення. У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь. Відповідь: х = х - будь-яке число при а = 0, b = 0; рішень немає при а = 0, b ? 0. Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями
1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
не має коренів? Рішення
: перетворимо задане рівняння: 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
; 15·10 х
+ n· 10х + 1
= n + 20; 10 х
·(15 + 10n) = n + 20; 10 х
= Рівняння не буде мати рішень при Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо: Відповідь
: 2. Знайдемо всі значення параметра а
, при яких рівняння lg2
(1 + х2
) + (3а – 2)· lg(1 + х2
) + а2
= 0 не має рішень. Рішення
: позначимо lg(1 + х2
) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2
+ (3а – 2) · z + а2
= 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2
– 4а2
= 5а2
– 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2
– 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2. Відповідь: (0,4; 2). 3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а
, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a
– 7 має рішення. Рішення
: перетворимо задане рівняння: cos2x + a
sinx = 2a
– 7; 1 – 2sin2
х – asinx = 2a
– 7; sin2
х - (sinх – 2) · Рішення рівняння (sinх – 2) · (sinх - 2) = 0; х належить порожній множині. sinх - Відповідь
: 6. 4. Указати найбільше ціле значення параметра а
, при якому корінь рівняння 4х2
- 2х + а
= 0 належить інтервалу (- 1; 1). Рішення
: корінь заданого рівняння рівні: х1
= х2
= За умовою -1 < - 1 < Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < Нерівність - 3 < Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0. Відповідь
: 0. 5. При яких значеннях параметра а
число корінь рівняння Рішення
: побудуємо ескіз графіка функції, в = в = х2
- 8х + 7 з мінімумом умін
рівним - 9 при х хв
= 4, і коріннями х1
= 1 і х2
= 7; суцільними лініями зображена частина параболи в = х2
- 8х + 7 при 1 < х < 7. (Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у). Проводячи горизонталі в = а
, а
а Таким чином, а
= k при а
= 7. Відповідь
: 7. 6. Указати значення параметра а
, при якому рівняння х4
+ (1 – 2а)х2
+ а2
– 4 = 0 має три різних корені. Рішення
: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля. Корінь заданого рівняння рівні: х = Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = 4а2
– 4а +1 = 17 – 4а Відповідь
: 2. Указати ціле значення параметра p
, при якому рівняння Рішення
: р
≥ 0; 2 – р
≥ 0 0 ≤ р
≤ 2. При р
= 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2 При р
= 1 вихідне рівняння приймає вид: cosx-2sinx = Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить sin (arctg(-2)) = Отже, при р
= 1 рівняння рішень не має. При р
= 2 вихідне рівняння приймає вид Максимальне значення різниці Відповідь
: 2. 8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння Рішення
: х ≠ 0, n ? 10. Рівняння х2
– 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0 У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6. Відповідь
: 6. 9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння Рішення
: за умовою 1 > sinx > 0 1 > cosx > 0 Отже, 2 < а < + Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо: Уведемо змінну z = z2
+ 2z – а2
= 0. Воно має рішення при будь-якому а,
оскільки його дискримінант D = 1 + а2
позитивний при будь-якому а
. З огляду на, що 2 < а
< + Відповідь: 3. Висновок
Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями » і якоюсь мірою одержали нові. По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань. Література
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002. 2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р. 3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р. 4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р. 5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
|