Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Тема: «Линейные системы уравнений»
Содержание
1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра 2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов 3. Нормы векторов и матриц 4. Матрицы и определители 5. Собственные значения и собственные векторы 6. Ортогональные матрицы из собственных векторов 7. Функции с матричным аргументом 8. Вычисление проекторов матрицы Пример использования числовых характеристик матриц 10. Оценка величины и нахождение собственных значений Литература 1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра
Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений. Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n
неизвестными может быть представлена следующим образом: Здесь Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта: список переменных – список правых частей – матрицу коэффициентов – Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой
, а второй – квадратной матрицей. Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: Если рассмотреть i-
тую строку исходной системы то в ней кроме упорядоченного расположения компонент Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений: или Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца
принята за каноническую (основную). Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений. 2. Умножение векторов и матриц
Среди n-
мерных векторов и векторных операций над ними важно выделить сумму n
векторов, умноженных на числовые константы: которая при произвольном выборе Линейно независимый набор единичных векторов с геометрической точки зрения можно рассматривать как n-
мерную систему координат. Набор компонент любого вектора в этой n-
мерной системе определяет координаты точки конца вектора, исходящего из начала координат, а также являются длинами проекций вектора на координатных осях. Среди матриц размера Фактически мы имеем дело с заменой системы координат. Рассмотрим методику вычисления коэффициентов результирующей матрицы уравнения: где Произведение матриц в общем случае не коммутативно. Ассоциативный и распределительный законы в матричных выражениях выполняются. 3.
Нормы векторов и матриц
Интерпретация упорядоченного набора чисел, как вектора в многомерном пространстве, позволяет говорить и о его длине. В прямоугольной системе координат по известным длинам проекций на координатные оси длину самого вектора вычисляют, как корень квадратный из суммы квадратов проекций: где В качестве нормы в литературе иногда используют квадрат длины вектора или другое выражение с компонентами вектора, лишь бы оно обладало свойствами расстояния: было положительным, линейным и удовлетворяло неравенству треугольника. Деление вектора на величину его нормы называют нормированием
, т.е. приведением вектора к единичной длине. Норма матрицы в принципе тоже может быть определена в виде корня квадратного из суммы квадратов ее элементов или другими выражениями со свойствами расстояний. Однако в ряде случаев работы с векторно-матричными выражениями нормы векторов и матриц должны быть согласованными ввиду того, что результатом произведения матрицы на вектор является опять же вектор. Если выражение для нормы вектора принято, то где функция sup говорит о том, что из всех отношений норм, стоящих в числителе и знаменателе, взятых при любом векторе x
, кроме нулевого, выбирается наименьшее, т.е. это функция выбора нижней границы значений. Согласованная матричная норма для евклидовой нормы вектора удовлетворяет неравенству Нормы вектора и матрицы служат, в основном, для сопоставительной оценки матриц и векторов, указывая на возможный диапазон представления строгих числовых характеристик. К числу последних, в первую очередь, нужно отнести определители матриц, собственные значения и собственные векторы матриц и ряд других. 4.
Матрицы и определители
Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы
обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц: Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E
)=1, можно найти матрицу B
и ее определитель из уравнения: откуда следует, что Из свойств определителей нелишне помнить и такие: где n
– размер квадратной матрицы A
, s, c=
0,1,…, n –
число выполненных перестановок строк и / или столбцов. Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной записи, решение уравнений можно представить в следующем виде: Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения. Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле: где Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций. Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы коэффициентов, получаются тривиально. Поэтому основные усилия разработчиков методов решения алгебраических уравнений направлены на поиск и обоснование эквивалентных преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму. 5.
Собственные значения и собственные векторы
Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования. Найдем вектор, который под воздействием матрицы A
изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части: В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром Полагая, что решение все же существует, т.е. Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n
относительно Это уравнение называется характеристическим уравнением
матрицы и имеет в общем случае n
корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями
матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы
. Относительно n
корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные. Важным свойством характеристического уравнения матрицы A
является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A
удовлетворяет ему: где Подставляя каждое Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A
образуют систему n
линейно независимых векторов таких, что 6.
Ортогональные матрицы из собственных векторов
Из правых собственных векторов можно составить матрицу T,
а из левых – матрицу Умножив матрицу A
слева на матрицу Каждое скалярное произведение Поэтому, результатом преобразования матрицы A
будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали: Если вместо A
взять единичную матрицу и проделать аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство Последнее показывает, что умножение матрицы A
на Продолжая использовать T-
матрицу, несложно получить следующие важные результаты: 7.
Функции с матричным аргументом
Пусть теперь задана некоторая матричная функция от матрицы A
: С другой стороны очевидно и обратное где где Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц
, т.е. матриц, все степени которых равны первой. Для невырожденных проекторов ( Представление функции от матрицы A
в виде взвешенной суммы проекций называется спектральным разложением
матричной функции по собственным значениям матрицы A
: Если в качестве матричных функций взять 8. Вычисление проекторов матрицы
Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом: По известному спектру Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов: В случае, когда в спектре матрицы имеются кратные собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных точках. Разложение матричной функции по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид: где 9. Пример использования числовых характеристик матриц
Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр. Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. Для заданных векторов построим систему векторов Откуда последовательно находятся коэффициенты Взаимной ортогональности векторов v
можно было бы добиваться и так, чтобы каждый Определитель этой системы называют определителем Грама
: где Если грамиан
положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы Для заданного выше набора векторов Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы: После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т
-матрица с этими векторами есть Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора Умножая каждое собственное значение Аналогично получается обратная матрица: С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A
: 10.
Оценка величины и нахождение собственных значений
Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы. Для любой матрицы A
с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v
существует отношение Рэлея,
связывающее скалярное произведение векторов v
и Av
с минимальным и максимальным собственными значениями: К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной. Характеристическое уравнение матрицы A
с кратным корнем На основании этой записи можно составить минимальное
характеристическое уравнение
Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах ( где A
– произвольная матрица размера V
– некоторая невырожденная матрица размера Характеристическое уравнение жорданова блока размера Если выразить матрицу V
в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов Здесь При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами. Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой: Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности
произведения матрицы A
на свою транспонированную, оцениваемая отношением Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений. Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов. Литература
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с. 2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с. 3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с. 4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.
|