Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Содержание Введение Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах § 1. Экстремальная задача § 2. Свойства отображения § 3. Доказательство теоремы Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥) Литература Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов. Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1
, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1
<A2
<…<Ak
+1
, такие, что а) б) знаки функции D(t) на множествах A1
, A2
, …, Ak
+1
перемежаются. Пусть f(t) и g(t) – функции на R1
. Пишем Нетрудно видеть, что отношение а) не существует точки x1
, …, xk
(-¥<x1
<…<xk
<¥) такие, что (-1)k-i
f(xi
) > (-1)k-i
g(xi
), б) существуют точки y1
, …, yk
(-¥<y1
<…<yk
<¥) такие, что (-1)k-i
f(yi
) > (-1)k-i
g(yi
), Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF. Определение 2. Пишем Функция f имеет индекс k-
в F, если выполнено отношение Через Ik
-
(Ik
+
), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k-
(k+
) в F. Пусть U – семейство функций на [0, ¥). Через FU
обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы абсолютно сходятся. В случае Множество Лемма 1. Пусть системы u1
(t), …, un
(t) и u1
(t), …, un
(t), un
+1
(t) образуют T+
-системы на [0, ¥) такие, что Доказательство. Допустим, что Так как то есть где di
(-1)k
-
i
, Из (1) следует, что detH( где 0£x1
<x2
<…<xk
<¥. Так как векторы Так как где di
=(-1)n
+1-
i
, где H – матрица, записанная в (3) слева, Определение 3. Скажем, что последовательность {fi
}i
³
1
функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f для всех uÎU. Определение 4. Множество AÌFU
назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид Множество AÌFU
назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А. Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF; 2. 3. Множества Ik
-
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1; 4. Из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌI-
k
+1
(k>n) такой, что можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции Пусть система Рассмотрим систему функций Теорема 1. Пусть система Доказательство. Пусть Если fl
ÎIk
-
, где k£n+1, то положим fl
*
=fl
. Пусть k>n+1 и s={ Рассмотрим произвольные Таким образом, отображение Пусть Имеем где cl
i
– i-ая компонента вектора Так как константа К не зависит от f, то ml
>-¥. Кроме того, Возьмем последовательность Fk
-1
(flp
)>Fk
-1
(flq
)=ml
при p<q и Рассмотрим произвольные flp
и flq
, где p<q. Так как Так как Отношение fl
’
ÎIk
-
невозможно, в силу определения числа ml
и принципа инвариативности области. Отношения fl
’
ÎIm
-
для m<k-1 невозможны, так как Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен; 2. 3. Множества Ik
+
(k-1, U) – открыты для всех k>n+1; 4. Для k>n из любой последовательности {fi
}i
³
1
ÌIk
+
такой, что можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции 5. Ik
+
ÌFU
для k³n+1. Теорема 2. Пусть система Определение 6. Систему Лемма 2. Пусть (-1)n-i
Fi
(f) ³ (-1)n-i
Fi
(g), Тогда отношения Доказательство. Допустим, что имеет место отношение Пусть x1
, …, xp
-1
(-¥<x1
<…<xp
-1
<¥) – точки перемен знака функции где hi
=±1. Из условия где А – матрица, записанная в (4) слева, An
i
– матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как Случай Теорема 3. Пусть Доказательство. Пусть для Согласно теореме 1, для любого Существует j1
, такое, что Выберем j2
так, чтобы Продолжая таким образом, получим последовательность Рассмотрим произвольные Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем т. е. существует функция Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1 Экстремальная задача
Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W(
k
)
(t)>0 для tÎ[a, b] и Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла на множестве Для классов Âo
- всех ФР на [a, b] и ВL
– ФР на [a, b], удовлетворяющих условию Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5]. Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов. Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР. Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo
, BL
, класс унимодальных ФР на [a, b] и др. Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): Ik
+
(Ik
-
) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+
(k-
); Основной результат работы содержится в утверждении. Теорема. Пусть 1. 2. 3. 4.
§ 2 Свойства отображения Нам понадобятся два факта из [6]. 1. Для любого 2. Если Пусть Функция Ás
непрерывна слева на [a, b] и Ás
(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás
(x) не убывает по x. Далее, из sk
Þs при k®¥ следует Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0
(f)<…<Bm
(f) (под X<Y (X, YÌR1
) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j
f(x)>0 (или (-1)j
+1
f(x)>0 при xÎBj
(f), Лемма 1. Для любого распределения Á Доказательство. Предположим, что функция Ám
- Á Равенство где Очевидно, что последовательности u0
, …, uk
, Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi
(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0
(f)=(-¥, infB1
(f)], Pi
(f)=[supBi
-1
(f), infBi
+1
(f)], Зафиксируем ФР {Da
=Ás
- Á Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da
(db
) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da
(db
) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da
(db
) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна. Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0
(a), …, Xn
+2
(a) (Y0
(b), …, Yn
+2
(b)) следующим образом. Если a (b) есть: 1.параметр первого типа, то Xi
(a)=Pi
(Da
), 2. 3.параметр второго типа, то Xi
(a)=Pi-1
(Da
), (Yi
(b)=Pi
(db
), 4.параметр третьего типа, то Xi
(a)=Pi
(Da
), (Yi
(b)=Pi
-1
(db
), Таким образом: (-1)n-i
Da
(t)£0 при tÎIntXi
(a), (-1)n-i
db
(t)³0 при tÎIntYi
(b), При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi
(a) и (-1)n
-
i
Da
(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi
(b) и (-1)n
-
i
db
(t)³0 при tÎY. Заметим также, что Xi
(0)=Yi
+1
(0), Xi
+1
(1)=Yi
(1). Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1
непрерывно, если из gi
®g0
, xi
®x0
, где g0
, gi
Î[0, 1], xi
ÎZ(gi
), i³1, следует x0
ÎZ(g0
). Лемма 2. Отображения Xi
(a), Yi
(b), Доказательство. Пусть aj
®a, j®¥. Обозначим через Итак, причем -¥=a0
<a1
£b0
£a2
£b1
£…£an+1
£bn
£an+2
£bn+1
<bn+2
=+¥. (-1)n-i
Da
(t)£0 (3) при tÎ(ai
, bi
), если ai
¹bi
. Из (3) и Непрерывность отображений Yi
(b) доказывается аналогично. § 3 Доказательство теоремы
В случае Пусть Лемма 3. Для любого ФР Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi
(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0
£0. В этом случае положим Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi
(0). Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi
(1). Пусть б) Предположим, что xÎYi
(1)=Xi
+1
(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi
+1
(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi
+1
(a¢). Если a¢=0, то xÎXi
+1
(0)=Yi
+2
(0). Это противоречит условию xÎXi
+1
(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а). Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn
+2
(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I. б) Пусть xÎYn
+2
(1). Так как Yn
+2
(1)ÌYn
+1
(1), то xÎYn
+1
(1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn
+1
(1), так как в этом случае множества Yn
+1
(1) и Yn
+2
(1) совпадают, что невозможно. Так как xÎYn
+1
(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn
+1
(1), то d1
(t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем Итак, доказано существование такой ФР Теорема следует из леммы 3 и утверждения: Пусть d= Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0,
¥
)
В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥). Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0
º1 на [0, ¥) функций образуют T+
-системы на [0, ¥). Положим (1£i£n, sÎÂ): Пусть Найти 10
. Первый подход заключается в урезании справа класса Â в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх
решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â. Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх
={sÎÂ:s(x+0)=1}. Очевидно, для любых x1
<x2
Предположим, что для любого x>0 Âх
- индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]). Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение где Ii
-
- множество всех ФР, имеющих индекс i-
в Â. Кроме того, для этих классов справедливо включение Лемма 1. Доказательство. Пусть Из (2) следует существование последовательностей Тогда для достаточно больших k выполнено равенство где Следовательно, Из леммы 1 следует, что где Из (1) следует, что Вид экстремальных ФР 20
. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0
всех ФР на [0,¥). Лемма 2. Если u0
, u1
, …, un
– T+
-система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы Доказательство. Из определения T+
-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции uj
(t) и auj
(t)+buj
(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках. Пусть х – наибольшее решение уравнения uj
(t)=0. Рассмотрим уравнение auj
(t)+buj
(t)=0, t>x. (3) Уравнение Пусть Допустим, что Введем последовательности {ti
}i
³
1
, {ti
}i
³
1
, удовлетворяющие условиям: а) tk
®¥,tk
®¥ при k®¥; б) в) t1
<t1
<t2
<t2
<…<tm
<tm
<… . Пусть cÎ(A, B). Из-за непрерывности функции имеет бесконечное множество решений на (x, ¥). Выберем 0£j0
£n так, чтобы Пусть число t0
таково, что Рассмотрим функцию Пусть Легко видеть, что системы v0
, v1
, …, vn
и v0
, v1
, …, vn
, W являются T+
-системами на [0, ¥). Предположим, что эти системы являются T+
-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0
<t1
<…<tn
-1
<tn
<¥ где Через Пусть Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций Имеем Заметим, что отображение Таким образом, Пусть Необходимо найти Из равенств (sÎÂ0
U
) следует, что задача (4) эквивалентна следующей. где Таким образом, задача в классе Â0
сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3]. Именно для любого где где r - величина скачка функции Литература
1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973. 2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988. 3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976. 4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988. 5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.
|