Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Министерство образования и науки республики Казахстан Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева Факультет информационных технологий Кафедра математики "Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца" Петропавловск, 2007 Аннотация В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств. Содержание Введение 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции 2. Общие свойства интерполяционных пространств 3. О норме и спектральном радиусе неотрицательныхматриц 4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств Заключение Список использованной литературы Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах lp
. Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p≤q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p≤q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума. 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции
Пусть (u,μ) – пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры. При этом обозначим через lp
(u,dμ) или просто (lp
(dμ), lp
(u) или lp
) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина конечна, здесь 1≤p<∞. В случае, когда p=∞, пространство lp
состоит из всех μ-измеримых ограниченных функций. В этом случае Пусть T- линейное отображение пространства lp
=lp
(u,dμ) в пространство lq
=lq
(v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g). Если к тому же T- ограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq. Число μ называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы: Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина) Предположим, что Тогда T: Неравенство (*) означает, что μ как функция от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая функция. Доказательство теоремы приведено в [1]. Для скалярнозначной μ-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле Ясно, что m(σ,f) представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на положительной вещественной полуоси и Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp
-пространства, обозначаемые через В предельном случае p=∞, положим Заметим, что Действительно, ясно, что Применяя неравенство Последнее означает, что Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича) Пусть p0
≠p1
и T: T: Положим Тогда T: Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях. Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает. Пусть A- векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) 1) 2) 3) Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен. Пусть A0
и A1
– топологических векторных пространства. Говорят, что A0
и A1
совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0
и A1
, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A0
+ A1
, и пересечение A0
∩A1
. Сумма состоит из всех a Справедлива следующая лемма Лемма 2.1. Пусть A0
и A1
-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда A0
∩A1
, есть нормированное векторное пространство с нормой A0
+ A1
, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой При этом если A0
и A1
– полные пространства, то A0
∩A1
и A0
+ A1
также полны. Дадим некоторые важные определения: Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B. Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C. Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA
, такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T Через σ1
обозначим категорию всех совместимых пар Определение 2.1. Пусть Если, кроме, того T: Более общим образом, пусть Если выполнено В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства. Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если В случае с=1 говорят, что A и B- точные интерполяционные пространства типа θ. 3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования. В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса. Определим пространство a=(a1
, a2
,…, aN
) с нормой Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности NxN. Любое множество Q0
={(ki
,lj
): Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве r(A)= где lk
- собственные значения оператора A. Пусть m ≤ N, d1
,…,dm
- положительные числа. Через Dm
обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d1
,…,dm
. Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm
. Если D={(ki
,lj
), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется. Пусть даны положительные числа d1
,…,dm
и натуральное число m < N2
. Будем исследовать следующие вопросы: Как расположить числа d1
,…,dm
в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ
соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной? Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQ
соответствующей полученной решетке была максимальной? Как расположить числа d1
,…,dm
в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)? Справедливы следующие теоремы: Теорема 3.1 Пусть d1
,…,dm
положительные числа, Dm
- класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d1
,…,dm
. Если m ≤ N, Q0
-произвольная подрешетка размерности 1 Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем Неравенство в обратную сторону очевидно. Теорема доказана. Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце. Теорема 3.2 Пусть d1
=…=dm
=d, то есть Dm
– множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q0
-произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности n где [m1/2
] - целая часть числа m1/2
. Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm
Пусть Q1
-подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности А=А1
+А0
, где А1
,А0
ÎDm
, Р(А1
)=Q1
, P(A0
)ÌQ1
\Q0
. Учитывая, что матрицы А0
и А1
неотрицательны, получаем поэтому r(A0
)≤r(A). С другой стороны А1
– симметричная матрица и следовательно Таким образом, Теорема доказана. Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности n Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0. Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2
=0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0. Теорема доказана. Теорема 3.4 Пусть AÎDm
. Пусть Q0
-минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0
ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A. Пусть Ad
– матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда Доказательство. Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0
={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0
,j0
) вне решетки Q0
. Возможны три случая: 1) 1 ≤ i0
≤ l, j0
> m; 2) i0
> l, 1 ≤ j0
≤ m; 3) i0
> l, j0
> m. Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1
m
=0. Получаем: Используя неравенства имеем: Пусть z1
=x1
, z2
=x2
,…,zm
= тогда где элемент Следовательно Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al
1
=0. Аналогично первому случаю имеем: Используя неравенства получаем: Пусть z1
=y1
, z2
=y2
,…,zm
= тогда где элемент Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm
=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем: где элемент Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5]. 4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств: где Определим семейство конечномерных пространств |e| - количество элементов множества e. При q=∞ положим Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1]. Будем говорить что {AN
} ↪ {BN
} если существует константа c, такая что Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q1
≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, то есть где с не зависит от выбора N. Доказательство. Пусть то есть Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q1
< ∞, и воспользуемся неравенством (1) Лемма доказана. Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p1
<∞, 1≤q,q1
≤∞. Тогда имеем место вложение Доказательство. Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p1 :
Получаем: Лемма доказана. Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от Доказательство. Сначала докажем соотношение: Заметим, что Поэтому Теперь покажем обратное неравенство. Пусть ~ Заметим, что Согласно (2) получаем: то есть Докажем обратное включение. Пусть Тогда Пусть для определенности Возможны следующие случаи: В первом случае получаем, что Во втором случае Получаем Заметим, что существует Положим Таким образом, получаем Из того, что Имеем То есть Лемма доказана. Для пары пространств Пусть где При q=∞ Лемма 4.4 Пусть Справедлива следующая Теорема 4.1 Пусть ≤p0
<p1
<∞, 1<q0
,q1
≤∞, M – произвольная сеть. Тогда где Доказательство. Учитывая, что Пусть Так как представление a=a0
+a1
произвольно, то из (3) следует Где лемму 4.4 , получаем: Теорема доказана. Теорема 4.2 Пусть 1≤p0
<p1
<∞, 1<q0
,q1
≤∞, Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими Доказательство. По теореме 4.1 и того, что Определим элементы Заметим что где где Тогда Из (4) и (5) имеем: Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера: где Таким образом, получаем, что ~ Таким образом, получаем где c не зависит от Теорема доказана. Теорема 4.3 Пусть Причем соответствующие константы не зависят от Доказательство. Воспользуемся эквивалентными представлением нормы где Применим неравенство Гельдера Учитывая лемму 3, имеем Обратно, пусть e произвольное множество из M1
, Тогда В силу произвольности выбора e из M1
получаем требуемый результат. Следствие. Пусть p0
<p1
, q0
<q1
, Доказательство. Из теоремы 3 следует, что Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем то есть С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем Следствие доказано. Заключение В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств. Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров. Список использованной литературы
1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. 2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491. 4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2. 5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102. 6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178. 7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107. 8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.
|