Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
1. Найти сумму ряда: Решение. Разложим знаменатель на множители. Значит, Разложим дробь то есть: Следовательно, Тогда, исходный ряд примет вид: Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом: Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму. Тогда искомая сумма равна: Ответ: 2. Найти сумму ряда: Решение. Разложим дробь то есть: Следовательно, Тогда, исходный ряд примет вид: Найдём n – первых членов ряда Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму. Тогда искомая сумма равна: Ответ: 3. Исследовать ряд на сходимость Решение. Так как Воспользуемся признаком Даламбера. Тогда, Так как Ответ: Ряд 4. Исследовать ряд на сходимость Решение. Преобразуем n – член этого ряда. Сравним ряд Тогда, Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд Ответ: ряд 5. Исследовать ряд на сходимость Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Находим m по формуле: Тогда: Так как Ответ: ряд 6. Исследовать ряд на сходимость Решение. Рассмотрим ряд Поскольку Воспользуемся признаком Даламбера. Находим m по формуле: Тогда: Так как Согласно признаку сравнения сходится и ряд Ответ: ряд 7. Вычислить сумму ряда с точностью α.. Решение. Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость. Воспользуемся признаком Лейбница: 1) 2) Следовательно, ряд Проверим абсолютную сходимость ряда Воспользуемся признаком Даламбера: Находим m по формуле: Тогда: Следовательно, ряд Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001: а1
= -1,5 а2
= 0,1042 а3
= - 0,0016 а4
= 0,0000093 Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и Следовательно: Ответ: 8. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Рассмотрим два интервала: 1) Проверим необходимый признак сходимости рядов: Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при 2) Проверим необходимый признак сходимости рядов: Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при При то есть ряд расходится. Окончательно, получаем ряд расходится Ответ: 9. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Воспользуемся признаком Даламбера: В данном примере: Следовательно, ряд Ответ: 10. Найти сумму ряда: Решение. Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера: то есть При Следовательно, Перепишем данный ряд: Обозначим сумму трёх рядов через Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера: 1) то есть Следовательно, 2) то есть Следовательно, 3) то есть Следовательно, Найдём сумму ряда Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: Найдём сумму ряда Обозначим сумму ряда в скобках за Продифференцируем Отсюда: сумму ряда Обозначим сумму ряд в скобках за Тогда, продифференцируем Отсюда: Следовательно: Ответ:
|