Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых.
Если дуга кривой задана уравнением y
=
f
(
x
),
a
≤
x
≤
b
, и имеет плотность 1
)
моменты инерции I
Х
и I
у
относительно тех же осей Ох
и Оу
вычисляются по формулам
а координаты центра масс
где l
— масса дуги, т. е.
Пример 1.
Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу
дуги цепной линии y
=
chx
при 0≤
x
≤
1. 1
) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и ◄ Имеем:
Пример 2.
Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint,
расположенной в первой четверти. ◄ Имеем: Отсюда получаем: ► В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена
. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3.
Найти координаты центра масс полуокружности ◄Вследствие симметрии Отсюда 2. Физические задачи.
Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7. Пример 4.
Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой ◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью
то имеем:
Пример 5.
Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? <4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом
|