Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей
n
.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x
=
a Другие формулы: x
= В (1) a
и b
любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a
– чётное, b
–
нечётное: a
=2
c После подстановки значений a
и b
в (1) получим: X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d где c
и d
любые целые положительные числа; c
,d
и их суммы взаимно просты; X
,
Y
,
Z
– взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c
и d
, то определены и целы все три числа X
,
Y
,
Z
.
Предположим, что уравнение Ферма x
(
x Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие: x Чтобы числа x
,
y
,
z были целыми, из всех трёх чисел X
,
Y
,
Z должны извлекаться целочисленные корни степени n
(n
– нечётное положительное целое число): x
= Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n
: d
=
g Так как x
,
Тройка решений g
,
h
,
k
удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x
первой тройки решений, потому что наибольшее число k
из g
,
h
,
k
меньше Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g
,
h
,
k
,
начиная с (4): (
g d
=
p p При данных конечных целых положительных числах x
,
y
,
z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n
(
n
>2)
не существует. Для чётных n
=2
m
не кратных 4
: (x
|